Komplexe Exponentialfunktion über Exponentialreihe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Für jedes ${{}} z \in \C$ heißt die Reihe

$\sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!}$

die Exponentialreihe in ${{}} z$.

Dies ist also die Reihe

$1+z+ \frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + \frac{z^5}{120} + \ldots .$

Satz

Für jedes ${{}} z \in \C$ ist die Exponentialreihe

$\sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!}$

absolut konvergent.

Beweis

Für ${{}} z=0$ ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

${{}} \mid\! \frac{ \frac{z^{n+1} }{(n+1)!} }{\frac{z^n}{n!} }\!\mid = \mid\! \frac{z}{n+1} \!\mid = \frac{ \mid\! z\!\mid }{n+1} \, .$

Dies ist für ${{}} n \geq 2 \mid\! z\!\mid$ kleiner als ${{}} 1/2$. Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.

$\Box$

Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren.

Der Graph der reellen Exponentialfunktion

Definition

Die Abbildung

${{}} \C \longrightarrow \C , \, z \longmapsto \operatorname{exp} \, z  : = \sum_{n=0}^\infty \frac{ z^n }{n!} \, ,$

heißt (komplexe) Exponentialfunktion.

Wir werden später sehen, dass diese Funktion für reelle Argumente die Exponentialfunktion zur Basis ${{}} \operatorname{exp} \, 1$ ist, und dass ${{}} \operatorname{exp} \, 1$ mit der früher eingeführten eulerschen Zahl ${{}} e$ übereinstimmt.

Satz

Für komplexe Zahlen ${{}} z,w \in \C$ gilt

$\operatorname{exp} (z+w) = \operatorname{exp} \, z \cdot \operatorname{exp} \, w .$

Beweis

Das Cauchy-Produkt der beiden Exponentialreihen ist

$\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }$

mit ${{}} c_n = \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{z^{i} }{i!} \frac{ w^{n-i } }{ (n-i)!}$. Diese Reihe ist nach Fakt absolut konvergent und der Grenzwert ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der ${{}} n$-te Summand der Exponentialreihe von ${{}} z+w$ gleich

${{}} \frac{(z+w)^n}{n!} = \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i} z^{i} w^{n-i} = c_n \, ,$

so dass die beiden Seiten übereinstimmen.

$\Box$

Korollar

Die Exponentialfunktion

${{}} \C \longrightarrow \C , \, z \longmapsto \operatorname{exp} \, z \, ,$

besitzt folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${{}} \operatorname{exp} \, 0 = 1$.
2. Für jedes ${{}} z \in \C$ ist ${{}} \operatorname{exp} (-z) = ( \operatorname{exp} \, z )^{-1}$. Insbesondere ist ${{}} \operatorname{exp} \, z \neq 0$.
3. Für ganze Zahlen ${{}} n \in \Z$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, n = ( \operatorname{exp} \, 1)^n$.
4. Für reelles ${{}} z$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, z \in \R_+$.
5. Für reelle Zahlen ${{}} z >0$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, z > 1$ und für ${{}} z <0$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, z <1$.
6. Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.

Beweis

(1) folgt direkt aus der Definition.
(2) folgt aus

${{}} \operatorname{exp} \, z \cdot \operatorname{exp} (-z) = \operatorname{exp} (z-z) = \operatorname{exp} \, 0 = 1 \,$

aufgrund von Fakt.
(3) folgt aus Fakt und (2).
(4). Der Wert der Exponentialreihe für eine reelle Zahl ist wieder reell, da die reellen Zahlen in ${{}} \C$ abgeschlossen sind. Die Nichtnegativität ergibt sich aus

${{}} \operatorname{exp} \, z = \operatorname{exp} ( \frac{z}{2} + \frac{z}{2} ) = \operatorname{exp} \, \frac{z}{2} \cdot \operatorname{exp} \, \frac{z}{2} = ( \operatorname{exp} \, \frac{z}{2}) ^2 \geq 0 \, .$

(5). Für reelles ${{}} x$ ist ${{}} \operatorname{exp} \, x \cdot \operatorname{exp} (-x) =1$, so dass nach (4) ein Faktor ${{}} \geq 1$ sein muss und der andere Faktor ${{}} \leq 1$. Für ${{}} x > 0$ ist

${{}} \operatorname{exp} \, x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^n > \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} (- x)^n = \operatorname{exp} (-x) \, ,$

da ja für gerades ${{}} n$ die Summationsglieder übereinstimmen und für ungerades ${{}} n$ die linke Seite größer als die rechte ist. Also ist ${{}} \operatorname{exp} \, x > 1$.
(6). Für reelle ${{}} w > z$ ist ${{}} w-z >0$ und daher nach (5) ${{}} \operatorname{exp} (w-z)>1$, also

${{}} \operatorname{exp} \, w = \operatorname{exp} (w-z + z) = \operatorname{exp} (w-z) \operatorname{exp} \, z > \operatorname{exp} \, z \, .$

$\Box$