Komplexe Zahl/Quadratwurzel/Reell/Untere Halbebene/Cauchy-Riemann/Aufgabe

Es sei ${}U={\left\{a+b{\mathrm {i} }\mid b<0\right\}}$ und

$\psi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} },\,a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}}\right)}.$

Zeige, dass diese Abbildung stetig partiell differenzierbar ist und dass die partiellen Ableitungen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.

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