Kubische Hyperfläche/Gruppenstruktur/Aufgabe

Es sei ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine glatte Hyperfläche vom Grad ${}3$. Woran scheitert bei ${}n\geq 3$ die Idee, mit Hilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte ${}P,Q\in V_{+}(F)$ gegebenen Geraden eine Addition auf ${}V_{+}(F)$ zu definieren? Wie sieht es bei ${}n=1$

aus?

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