Ein Vektor ist durch seine Länge und seine Richtung festgelegt, und kann als eine Verschiebung im Raum (2D oder 3D) verstanden werden.
Arten und Eigenschaften [ Bearbeiten ] Ein Vektor wird in folgender Schreibweiße dargestellt:
(
x
1
x
2
x
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}}
Wobei der Wert von
x_1 für die x_1 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.x_2 für die x_2 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.x_3 für die x_3 Achse im Kartesisches Koordinatensystem steht.
1. Darstellung in 2D Einen Vektor, der den Ursprung:
O
→
=
(
0
0
0
)
{\displaystyle {\vec {O}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}
P =
(
P
1
P
2
P
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{1}\\P_{2}\\P_{3}\end{pmatrix}}}
Beispiel
2. Darstellung in 2D Der Ortsvektor zum Punkt P(4|2) ist
P
→
=
(
4
2
)
{\displaystyle {\vec {P}}={\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}}
Der Ortsvektor zum Punkt Q(-5|4) ist
Q
→
=
(
−
5
4
)
{\displaystyle {\vec {Q}}={\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}}}
(Bild 2.)
Verbindungsvektoren beschreiben die Verschiebung von einem Punkt A(a1|a2|a3) zu einem Punkt B(b1|b2|b3) .
A
→
B
=
(
b
1
−
a
1
b
2
−
a
2
b
3
−
a
3
)
{\displaystyle {\vec {A}}B={\begin{pmatrix}b1-a1\\b2-a2\\b3-a3\end{pmatrix}}}
Beispiel
Zur Veranschaulichung kannst du die Eigenschaften von Verbindungsvektoren in diesem interaktiven Arbeitsblatt selbst (in 2D) untersuchen.
Ein Vektor wird als Einheitsvektor bezeichnet, wenn er die Länge 1 beträgt.
Um den Einheitsvektor
a
→
0
{\displaystyle {\vec {a}}^{0}}
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
a
→
0
{\displaystyle {\vec {a}}^{0}}
a
→
|
a
→
|
{\displaystyle {\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}}
Betrag eines Vektors [ Bearbeiten ] Der Betrag eines Vektors gibt die "Länge der Verschiebung" im Raum an.
Er wird durch folgende Formel ermittelt:
a
=
|
a
→
|
=
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
=
a
→
⋅
a
→
{\displaystyle a=|{\vec {a}}|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}}
Beispiel
Der Betrag vom Vektor
V
→
=
(
−
5
4
2
)
{\displaystyle {\vec {V}}={\begin{pmatrix}-5\\4\\2\end{pmatrix}}}
|
V
→
|
{\displaystyle |{\vec {V}}|}
|
V
→
|
=
V
→
⋅
V
→
=
−
5
2
+
4
2
+
2
2
=
40
{\displaystyle |{\vec {V}}|={\sqrt {{\vec {V}}\cdot {\vec {V}}}}={\sqrt {{-5}^{2}+{4}^{2}+{2}^{2}}}=40}
Rechnen mit Vektoren [ Bearbeiten ] Addition / Subtraktion [ Bearbeiten ] Zwei Vektoren
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
Muster
a
→
=
(
a
1
a
2
a
3
)
{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}}
b
→
=
(
b
1
b
2
b
3
)
{\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}}
a
→
+
b
→
=
(
a
1
a
2
a
3
)
+
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
a
1
+
b
1
a
2
+
b
2
a
3
+
b
3
)
{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}}
bzw.:
a
→
−
b
→
=
(
a
1
a
2
a
3
)
−
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
a
1
−
b
1
a
2
−
b
2
a
3
−
b
3
)
{\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\a_{3}-b_{3}\end{pmatrix}}}
Beispiel
Skalare Multiplikation [ Bearbeiten ] Ein Vektor
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
r
∈
R
{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
r multipliziert wird.
Dabei wird die Länge des Vektors verändert, seine Richtung bleibt jedoch gleich.
Muster
r
a
→
=
r
(
a
1
a
2
a
3
)
=
(
r
a
1
r
a
2
r
a
3
)
{\displaystyle r{\vec {a}}=r\,{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{1}\\ra_{2}\\ra_{3}\end{pmatrix}}}
Beispiel
lineare (Un-)Abhängigkeit [ Bearbeiten ] Muster
Beispiel
Muster
Beispiel
3. Darstellung in 3D Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt gennant) zweier Vektoren
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
c
→
{\displaystyle {\vec {c}}}
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
(Bild 3.)
Muster
Gebildet wird das Kreuzprodukt mit folgender Formel.
a
→
×
b
→
=
(
a
1
a
2
a
3
)
×
(
b
1
b
2
b
3
)
=
(
a
2
b
3
−
a
3
b
2
a
3
b
1
−
a
1
b
3
a
1
b
2
−
a
2
b
1
)
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}\,}
Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften des Vektors
c
→
{\displaystyle {\vec {c}}}
c
→
⋅
a
→
=
0
{\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {a}}=0}
c
→
⋅
b
→
=
0
{\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {b}}=0}
|
a
→
×
b
→
|
=
|
a
→
|
|
b
→
|
sin
θ
.
{\displaystyle |{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\sin \theta \,.}
Dabei bezeichnen
|
a
→
|
{\displaystyle \vert {\vec {a}}\vert }
|
b
→
|
{\displaystyle \vert {\vec {b}}\vert }
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
b
→
{\displaystyle {\vec {b}}}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \,}
θ
{\displaystyle \theta }
Beispiel
(
1
2
3
)
×
(
−
7
8
9
)
=
(
2
⋅
9
−
3
⋅
8
3
⋅
(
−
7
)
−
1
⋅
9
1
⋅
8
−
2
⋅
(
−
7
)
)
=
(
−
6
−
30
22
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 9-3\cdot 8\\3\cdot (-7)-1\cdot 9\\1\cdot 8-2\cdot (-7)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6\\-30\\22\end{pmatrix}}\,.}
weitere Lernangebote [ Bearbeiten ] TheSimpleMaths: [ttps://youtu.be/UKfKOPjOGio?list=PLjaA00udJtOpn73fqft-kcdST4ac2HW4U Grundlagen Vektoren]
