Kurs:Algebraische Kurven/3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 7 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 9 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 63 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelledreizehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {ebene affin-algebraische Kurve} {} über einem Körper $K$.
}{Das \stichwort {Verschwindungsideal} {} zu einer Teilmenge
\mathl{T \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{.}
}{Ein \stichwort {noetherscher} {} $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $M$.
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Die \stichwort {eingesetze} {} Potenzreihe $F(G)$.
}{Der \stichwort {projektive Raum} {}
\mathl{{\mathbb P}^{n}_{K}}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Charakterisierung von noetherschen Ringen mit Idealketten} {.}}{Der \stichwort {Hilbertsche Basissatz} {.}}{Der \stichwort {Satz von Bezout} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von
\mathl{V(X^2+Y^2-1)}{} und
\mathl{V(Y-3X^2+2)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei
\mathl{V \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine irreduzible
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
mit
\definitionsverweis {Verschwindungsideal}{}{}
\mathl{\operatorname{Id} \,(V)}{.} Zeige, dass
\mathl{\operatorname{Id} \, (V)}{} ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper. Betrachte die durch \maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( t^2+1 , \, t^3-t \right) } {} definierte polynomiale Abbildung. Bestimme eine \zusatzklammer {nichttriviale} {} {} algebraische Gleichung, die für alle Bildpunkte dieser Abbildung erfüllt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise die Charakterisierung von \definitionsverweis {noetherschen Ringen}{}{} mit Idealketten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und $R$ eine \definitionsverweis {integre}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{} $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Es seien $f,g \in R$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungzwei {$D(f) \subseteq D(g)$ } {Es gibt einen $R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} $R_g \to R_f$. } Zeige ferner, dass diese Äquivalenz für $K=\R$ nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Ein Geldfälscher stellt $6-, 9-, 14-$ und $25-$Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Multiplizität und die Tangenten
\zusatzklammer {einschließlich ihrer Multiplizitäten} {} {}
im Nullpunkt $(0,0)$ der ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V { \left( Y^6-2XY^5+X^2Y^3+3X^3Y^2+5X^4Y \right) }
}
{ \subseteq} {{\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve
\mathdisp {V { \left( -2X^3+3X^2Y-Y+ \frac{2}{3} \sqrt{\frac{1}{3} } \right) } \subset {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V(X^4-X^2+3Y^2-2XY^3)} { }
\zusatzklammer {über einem Körper der Charakteristik $0$} {} {}
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung
\mathl{Y=F(X)}{} im Nullpunkt bis zum dritten Grad.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass es eine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ = }{ C_1 \cup C_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei affinen, in $C$ offenen
\definitionsverweis {ebenen Kurven}{}{}
\mathkor {} {C_1} {und} {C_2} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (4+3+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Wir betrachten die beiden Kurven
\mathl{C=V { \left( Y^2-X^b \right) }}{} und
\mathl{D=V { \left( Y^2-X^c \right) }}{} mit
\mathl{c > b \geq 3}{,} $b,c$ ungerade.
a) Berechne die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizität}{}{}
der beiden Kurven im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}
b) Berechne die Schnittmultiplizität der beiden Kurven in
\mathl{(1,1)}{.}
c) Bestimme die unendlich fernen Schnittpunkte der beiden Kurven.
}
{} {}