Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 8/latex
\inputaufgabe
{2}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non_cohen_macaulay_scheme_thumb.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Non cohen macaulay scheme thumb.png } {} {Jakob.scholbach} {en.wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
Finde ein \definitionsverweis {Ideal}{}{,} dessen \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} das folgende Gebilde ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mathl{C \subset{ {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } }}{} der Schnitt von zwei Zylindern mit Radius $1$
\zusatzklammer {$C$ ist also die Vereinigung von zwei Ellipsen} {} {.}
Wir betrachten die durch einen Vektor
\mathl{v=(a,b,c) \neq 0}{} definierte senkrechte Projektion
\maabbdisp {p_v} { { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } } { {\mathbb A}^{2}_{\R}
} {.}
Man charakterisiere, in Abhängigkeit von
\mathl{a,b,c}{,} die möglichen Bilder unter diesen Projektionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte die Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb A^2_K } } {{\mathbb A^2_K }
} {(x,y) } { (x^2,y^2) = (u,v)
} {.}
Wie sieht das Bild der Ebene und wie das Bild des Einheitskreises unter dieser Abbildung für
\mathl{K=\R}{} und wie für
\mathl{K={\mathbb C}}{} aus? Im reellen Fall, wenn der Kreis einmal durchlaufen wird, wie oft wird das Bild durchlaufen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Sei
\maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ r } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
eine polynomiale Abbildung und sei
\mathl{T \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ r } }}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{\varphi(T)}
}
{ =} { \overline{\varphi(\overline{T} ) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Aussage von Aufgabe ***** nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass die Abbildung polynomial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Sei \maabb {\varphi} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } {} eine \definitionsverweis {polynomiale Abbildung}{}{} und sei $C$ eine ebene \definitionsverweis {rationale}{}{} Kurve. Es sei ferner vorausgesetzt, dass $C$ durch $\varphi$ nicht auf einen einzigen Punkt abgebildet wird. Zeige, dass dann $\overline{\varphi(C)}$ ebenfalls eine rationale Kurve ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Betrachte in ${\mathbb A}^{2}_{\R}$ die beiden Nullstellenmengen
\mathdisp {K=V(X^2+Y^2-1) \text{ und } C=V(X^4+Y^4-1)} { . }
Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über $\Q$ definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über $\Q$ überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von $C$ nach $K$ geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von $K$ nach $C$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen $\mathbb C$ nicht \definitionsverweis {kompakt}{}{} in der metrischen Topologie ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die affine Ebene $\mathbb A^2_K$ mit der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{10}
{
Schreibe eine Computeranimation, die die Stangenkonfiguration bzw. die zugehörigen Trajektorien aus Beispiel ***** darstellt.
}
{} {}