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Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 14/latex

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\setcounter{section}{14}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ in $A_D$. Zeige, dass das konjugierte Ideal $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe}{}{} das Inverse zu ${\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und es seien \mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {} \definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{.} Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} definieren, wenn sie als $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.} Zeige, dass ein \definitionsverweis {exakter Komplex}{}{}
\mathdisp {1 \longrightarrow R^{\times} \longrightarrow Q(R)^{\times} \longrightarrow \operatorname{Div} { \left( R \right) } \longrightarrow \operatorname{DKG} { \left( R \right) } \longrightarrow 0} { }
vorliegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Interpretiere Lemma 14.4 für die folgenden Fälle: \aufzaehlungvier{$S$ wird durch ein Element erzeugt. }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} }{ $R_S$ ist faktoriell. }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ R \setminus {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} einen natürlichen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {N} { \operatorname{DKG} { \left( R \right) } } { \Q^{\times}_+ / T } {} definiert, wobei $T$ die Menge der Beträge von Normen von Elementen $\neq 0$ aus $R$ bezeichnet. Zeige ferner, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \left( \Q^{\times}_+ \right) }^d }
{ \subseteq }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $S$ der \definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{} von $\Z$ in der \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{\Q[\sqrt{-5}, \sqrt{2}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungfuenf{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{ { \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{-10} }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu $S$ gehört. }{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sqrt{-5} }
{ \in }{ \Z[z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sqrt{2} }
{ \notin }{ \Z[z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $z$ über $\Z[\sqrt{-5} ]$. }{Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $z$ über $\Z$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Ringerweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z }
{ \subseteq} { \Z[ \sqrt{-5}] }
{ =} {R }
{ \subseteq} { \Z[ \sqrt{-5}, { \mathrm i} ] }
{ \subseteq} {T }
} {}{}{,} wobei $T$ den \definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{} von $\Z$ in $\Q [ \sqrt{-5}, { \mathrm i} ]$ bezeichnet. Zeige, dass das \definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ =} { (2, 1 + \sqrt{-5}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $T$ ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Erkläre \anfuehrung{geometrisch}{,} warum die \definitionsverweis {Primideale}{}{} der Form
\mathl{(X-a,Y-b)}{} des Ringes
\mathl{\R[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} keine \definitionsverweis {Hauptideale}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \R[X,Y]/ { \left( X^2+Y^2-1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass alle \definitionsverweis {Primideale}{}{} von $R$ der Form
\mathl{(X-a,Y-b)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die gleiche \definitionsverweis {Divisorklasse}{}{} festlegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { K [X,Y]/(X^2+Y^2-1) } { K[U,V]/(U^2+V^2-1) } {(X,Y)} { (U^2-V^2,2UV) } {,} über jedem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {ganz}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ \R [X,Y] /(X^2+Y^2-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ = }{ (X,Y-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus Beispiel 14.7. Zeige, dass der Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_{\mathbb C} }
{ = }{ {\mathbb C} [X,Y] /(X^2+Y^2-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} ist und bestimme einen Erzeuger für das \definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{}
\mathl{(X,Y-1) R_{\mathbb C}}{.}

}
{} {}