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Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 28/latex

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\setcounter{section}{28}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Menge
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid \betrag { \tau(x) } = 1 \text{ für alle Einbettungen } \tau \right\} }} { }
eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der Einheitengruppe von $K$ ist, die die \definitionsverweis {Einheitswurzelgruppe}{}{}
\mathl{\mu_{ } { \left( K \right) }}{} umfasst, und dass die Einheitswurzelgruppe im Allgemeinen kleiner ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} mit ausschließlich \definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{} und $L$ besitze keine reelle Einbettung. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} K^{\times} & \stackrel{ \tau^\R }{\longrightarrow} & { \left( \R^{\times} \right) }^r & \stackrel{ \ln \betrag { - } }{\longrightarrow} & \R^r & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \cdot 2 \!\!\!\!\! & & \\ L^{\times} & \stackrel{ \tau^\R }{\longrightarrow} & { \left( {\mathbb C}^{\times} \right) } ^r & \stackrel{ 2 \ln \betrag { - } }{\longrightarrow} & \R^r &\!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
existiert, wobei die Abbildungen rechts komponentenweise zu verstehen sind und wobei die horizontalen Abbildungen die \definitionsverweis {logarithmischen Gesamtabbildungen}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die Situation in Lemma 28.6 für verschiedene \definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{} von kleinem Grad.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Delta }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {diskrete}{}{} \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {beschränkte}{}{} Teilmenge derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\bigcup_{ v \in \Delta } v+B }
{ = }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Zeige, dass $\Delta$ ein \definitionsverweis {Gitter}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Im Folgenden sind die Graphen zu normierten irreduziblen Polynomen $F$ vom Grad $4$ mit ganzzahligen Koeffizienten abgebildet. Es sei $R$ der \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} zur \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ = }{\Q[X]/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme den \definitionsverweis {Rang}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $R^{\times}$.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Polynomialdeg4.svg} }
\end{center}
\bildtext {a)} }

\bildlizenz { Polynomialdeg4.svg } {} {Geek3} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Courbe quatrième degré 04.png} }
\end{center}
\bildtext {b)} }

\bildlizenz { Courbe quatrième degré 04.png } {} {Lydienoria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Courbe quatrième degré 10.png} }
\end{center}
\bildtext {c)} }

\bildlizenz { Courbe quatrième degré 10.png } {} {Lydienoria} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u,v }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Einheiten}{}{} und $a,b$ von $0$ verschiedene ganze Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u^a }
{ = }{v^b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es ganze Zahlen $c,d$ und \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta, \xi }
{ \in }{ \mu_{ } { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine Einheit $w$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ = }{ \zeta w^c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ \xi w^d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{,} die keine \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} sei. Zeige, dass man aus $u$ nur zu endlich vielen Exponenten Wurzeln ziehen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Teil eines Systems von \definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{.} Zeige, dass $u$ keinerlei \definitionsverweis {Wurzel}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass $\zeta u$, wobei $\zeta$ eine Einheitswurzel in $R$ bezeichnet, in $R$ keinerlei \definitionsverweis {Wurzel}{}{} besitze. Zeige, dass dann $u$ Teil eines Systems von \definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{} und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r+s }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine fixierte reelle Einbettung. Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Einheiten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ < }{u }
{ \leq }{1+ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ \Z[Y]/ { \left( Y^2 -6Y+1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $p$ eine ungerade \definitionsverweis {Primzahl}{}{} derart, dass $Y^2-6Y+1$ in
\mathl{\Z/(p)[X]}{} irreduzibel ist. Zeige, dass $Y$ kein Erzeuger der multiplikativen Gruppe von
\mathl{\Z/(p)[Y]/ { \left( Y^2-6Y+1 \right) }}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[X]/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom $F$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Es sei $p$ eine Primzahl mit den folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungdrei{ \mathkor {} {n} {und} {p-1} {} sind nicht teilerfremd. }{ $F$ ist irreduzibel in $\Z/(p) [X]$. }{Die Restklasse von $X$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{ \Z/(p) [X]/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $L^{\times}$ } Zeige, dass dann $X$ in $R$ keine $n$-te Wurzel besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[X]/(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} mit einem normierten ganzzahligen irreduziblen Polynom $F$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} fixiert. Es sei $p$ eine Primzahl derart, dass $p-1$ nicht teilerfremd zu $n$ sei. Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Restekörper}{}{} des \definitionsverweis {Faserringes}{}{} $R/pR$ mit der Eigenschaft, dass die Restklasse von $X$ in $L$ ein Erzeuger der multiplikativen Gruppe $L^{\times}$ sei. Zeige, dass dann $X$ in $R$ keine $n$-te Wurzel besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige mit Aufgabe 28.13, dass die Restklasse $x$ von $X$ in $R$ keine dritte Wurzel besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{X^3-3X+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über $\Z/(7)$. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $F$ ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{} in
\mathl{\Z/(7) [X]}{} ist. }{Es sei $x$ die Restklasse von $X$ in $\Z/(7) [X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }$. Berechne $x^7$ und $x^{49}$. }{Zeige, dass $x$ in $\Z/(7) [X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }$ eine dritte Wurzel besitzt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{} und sei \maabb {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass dies einen Homomorphismus \maabbdisp {} { \operatorname{Tor} { \left( G \right) } } { \operatorname{Tor} { \left( H \right) } } {} zwischen den \definitionsverweis {Torsionsuntergruppen}{}{} und einen Homomorphismus \maabbdisp {} {G/ \operatorname{Tor} { \left( G \right) } } { H/\operatorname{Tor} { \left( H \right) } } {} derart induziert, dass sich ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Tor} { \left( G \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G & \stackrel{ }{\longrightarrow} & G/ \operatorname{Tor} { \left( G \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 0 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Tor} { \left( H \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H & \stackrel{ }{\longrightarrow} & H/ \operatorname{Tor} { \left( H \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 0 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
mit \definitionsverweis {exakten}{}{} Zeilen ergibt. }{Sei $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{.} Zeige, dass dann auch die induzierten Homomorphismen aus (1) injektiv sein müssen. }{Sei $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{.} Müssen die induzierten Homomorphismen aus (1) surjektiv sein? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{} und sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} 1 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \mu_{ } { \left( R \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R^{\times} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & R^{\times}/ \mu_{ } { \left( R \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 1 & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ 1 & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \mu_{ } { \left( S \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S^{\times} & \stackrel{ }{\longrightarrow} & S^{\times}/ \mu_{ } { \left( S \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & 1 &\!\!\!\!\! \end{matrix}} { }
von \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} mit \definitionsverweis {exakten}{}{} Zeilen existiert, und dass die vertikalen Homomorphismen injektiv sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{} und sei \maabb {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Einheit}{}{,} die in $R^{\times} / \mu_{ } { \left( R \right) }$ keinerlei Wurzel besitze \zusatzklammer {dazu ist äquivalent, dass $u$ Teil eines Systems von \definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{} ist} {} {.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u }
{ =} {v^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $n$ ein Teiler von $d$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R_n$ der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_n }
{ = }{R_n \cap \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} vergleiche Aufgabe 17.5. Zeige, dass die \definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{R_n^{\times}/ S_n^{\times}}{} endlich sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{,} $R_p$ der $p$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S_p }
{ = }{R_p \cap \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} vergleiche Aufgabe 17.5. Zeige, dass für die \definitionsverweis {Einheitengruppen}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_p^{\times} }
{ =} { \mu_{ } { \left( R_p \right) } \cdot S_p^{\times} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. D.h. die Einheitengruppe wird von den Einheitswurzeln und den reellen Einheiten erzeugt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Teil eines Systems von \definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{} von $R$. Zeige, dass es eine Erweiterung von Zahlbereichen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \subseteq }{S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass $u$ in $S$ nicht zu einem System von Fundamentaleinheiten gehört.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe Beispiele für eine endliche \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit zugehörigem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ derart, dass der natürliche \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) } { \operatorname{Aut} \, ( R^{\times} ) } {} \aufzaehlungvier{bijektiv, }{injektiv und nicht surjektiv, }{surjektiv und nicht injektiv, }{weder injektiv noch surjektiv } ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$ und sei $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} mit $r$ \definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{} und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe $\Z^{r+s-1}$ durch \definitionsverweis {lineare Automorphismen}{}{} wirkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {reell-quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times} / \{ \pm 1\} }
{ \cong} { \Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Negation wirkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} mit \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$ und sei $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} mit $r$ \definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{} und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Zeige, dass die Galoisgruppe in natürlicher Weise auf der Gruppe $\Z^{r+s-1}$ durch \definitionsverweis {lineare Automorphismen}{}{} wirkt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten den \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist \zusatzklammer {vergleiche Beispiel 25.5} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( R {{|}} \Z ) }
{ \cong} { \Z/(3) }
{ =} { \langle \varphi \rangle }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\times}/ \{\pm 1\} }
{ \cong} { \Z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Bestimme die Matrix, die die Wirkung von $\varphi$ auf $\Z^2$ beschreibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $A$ eine kommutative $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.} Zeige, dass durch \maabbeledisp {} { A^{\times} } { \Omega_{ A {{|}} R } } {f} { { \frac{ df }{ f } } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} in den \definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{} definiert wird.

}
{} {}

Die vorstehende Abbildung heißt \stichwort {logarithmische Ableitung} {.}


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{} explizit für die \definitionsverweis {imaginär-quadratischen Zahlbereiche}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $R_p$ der $p$-te \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{.} Zeige, dass durch die \definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \mu_{ } { \left( R_p \right) } } { \Omega_{ R_p {{|}} \Z } } {} gegeben ist, dessen \definitionsverweis {Kern}{}{} gleich $\{ \pm 1\}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} mit $r$ reellen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} ein Element mit der Primidealzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f) }
{ =} { {\mathfrak p}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak p}_k^{r_k} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $R_f^{\times}$ der \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_f$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{\mu_{ } { \left( R \right) } \times \Z^{r+s+k-1}}{} ist.

}
{} {}