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Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 29/latex

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\setcounter{section}{29}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d$ und sei $R$ der zugehörige \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass für \definitionsverweis {Rang}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $R^{\times}$ die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, R^{\times} }
{ \leq} {d-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, R^{\times} }
{ \geq} { \begin{cases} { \frac{ d }{ 2 } } -1, \text{ bei } d \text{ gerade} , \\ { \frac{ d-1 }{ 2 } }, \text{ bei } d \text{ ungerade} , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungdrei{Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } } }
{ =} { \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge? }{Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf den von $0$ verschiedenen \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R^{\times}$ die folgende Menge von vier Abbildungen.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} {\{ \text{Identität}\, , \text{Negation} \, , \text{Invertierung} ,\, \text{Negation des Inversen} \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{} ist. Was ist die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} der Abbildungen? Was ist der Isomorphietyp der Gruppe? }{Die Gruppe $G$ \definitionsverweis {operiert}{}{} in natürlicher Weise auf $\R^{\times}$. Bestimme die \definitionsverweis {Bahnen}{}{} zu dieser Operation, wie viele Elemente besitzen die Bahnen? Gibt es \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{?} }{Bestimme ein übersichtliches \definitionsverweis {Repräsentantensystem}{}{} für die Operation aus (2). }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $A_D$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} $> 1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $A_D$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{6 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} $> 1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für den \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $A_D$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} $> 1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man Lemma 29.3 auch mit der zweiten Komponente formulieren kann. Zeige ferner, dass die erste Komponente nur in der \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} minimal ist, während die zweite Komponente mehrfach minimal sein kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} von $\Z[\sqrt{5}]$ \definitionsverweis {isomorph}{}{} zu
\mathl{\{1,-1\} \times \Z}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[Y]/ { \left( Y^2-6Y+1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Restklasse $y$ von $Y$ in $R$ kein Quadrat ist, wohl aber im \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q(R)$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $u$ die \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{\Z[\sqrt{2}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $u$ in $R/pR$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{2,3,5,7,11 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{} \maabbeledisp {} { R^{\times} } { \Omega_{ R {{|}} \Z } } {f} { { \frac{ df }{ f } } } {,} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[\sqrt{2}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Hilfe einer \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} von $R$. Was ist die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} des Bildes einer Fundamentaleinheit?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {logarithmische Ableitung}{}{} \maabbeledisp {} { R^{\times} } { \Omega_{ R {{|}} \Z } } {f} { { \frac{ df }{ f } } } {,} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[\sqrt{7}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Hilfe einer \definitionsverweis {Fundamentaleinheit}{}{} von $R$. Was ist die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} des Bildes einer Fundamentaleinheit?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass im 15. \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_{15} }
{ = }{ \Q[X]/ { \left( \Phi_{15} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{15} }
{ =} { X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das Element $X-1$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungvier{Bestimme für den 15. \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_{15} }
{ = }{ \Q[X]/ { \left( \Phi_{15} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_{15} }
{ =} { X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X+X^{-1} }
{ = }{ X+X^{14} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{ \Z[Y] }
{ \subseteq }{ R_{15} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der von $Y$ erzeugte Unterring. Bestimme die \definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} von $S$. }{Ist $Y$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $S$? }{Beschreibe die Einheitengruppe von $S$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { \Z[Y]/ { \left( Y^4-Y^3-4Y^2+4Y+1 \right) } }
{ \subseteq} {R_{15} }
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^8-X^7+X^5-X^4+X^3-X+1 \right) } }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{X+X^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z }
{ =} { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu $S$ gehört. }{Schreibe $Z$ als polynomialen Ausdruck in $Y$. }{Beschreibe $S$ als quadratische Erweiterung von $\Z[ Z]$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen und es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_{r+s-1}}{} ein System von \definitionsverweis {Fundamentaleinheiten}{}{} von $R$. Es sei $\Lambda$ das von
\mathl{L(u_1) , \ldots , L(u_{r+s-1})}{} im Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{ { \left\{ (v_1 , \ldots , v_{r+s}) \mid \sum_{j = 1}^{r+s} v_j = 0 \right\} } }
{ \subset }{ \R^{r+s} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erzeugte \definitionsverweis {Gitter}{}{.} Zeige, dass zwischen dem \definitionsverweis {Regulator}{}{} und dem Volumen einer \definitionsverweis {Grundmasche}{}{} $\mathfrak M$ von $\Lambda$ der Zusammenhang
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{r+s} \cdot \operatorname{Reg} (R) }
{ =} { \operatorname{vol} { \left( \mathfrak M \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}