Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak p} )}{} ein Primideal in $R$ ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines \definitionsverweis {maximalen Ideales}{}{} kein maximales Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zur \definitionsverweis {Reduktion}{}{} \maabbdisp {} {R} {R/ {\mathfrak n}_R } {} eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe das
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R_{\mathfrak p} \right) }}{} einer
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ an einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die Ringerweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z
}
{ \subseteq} {R
}
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^3+2X-1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faserringe}{}{}
zu den Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2,3,5,11
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme insbesondere, ob sie reduziert sind, ob ein Körper vorliegt, wie viele Primideale sie enthalten und wie die Restekörper aussehen.
}
{} {}
Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 18.9.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Primideale in $R$, die über den Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ 2,3,5,7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
zur
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zur Ringerweiterung
\mathl{R \subseteq R[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $R$ und $S$ integre, endlich erzeugte $K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} und ${\mathfrak n}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $S$ mit $\varphi^{-1}( {\mathfrak n}) = {\mathfrak m}$. Die Abbildung induziere einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} $R_{\mathfrak m} \rightarrow S_{\mathfrak n}$. Zeige, dass es dann auch ein $f \in R$, $f \not \in {\mathfrak m}$, gibt derart, dass $R_f \rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} mit \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{} $R_{\mathfrak m}$. Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann $R_{\mathfrak m}$ auch eine Lokalisierung von $R/{\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
der
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R[X]
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fasern}{}{} der
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} zu
\mathl{\Q[X] \subseteq \R[X]}{.} Welche sind endlich?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $A$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{.}
Zeige, dass $A$ genau dann eine
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist, wenn $A$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist, für den zusätzlich
\mathdisp {r (ab) =(ra)b \text{ für alle } r \in R,\, a,b \in A} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ auf genau eine Weise die Struktur eines $\Z$-\definitionsverweis {Moduls}{}{} trägt. Kommutative Gruppen und $\Z$-Moduln sind also äquivalente Objekte.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Modul}{}{}
über dem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Es seien $s_1 , \ldots , s_k \in R$ und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
\mathkor {} {M} {und} {N} {} zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
ein
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Für einen
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(S)}{} ein Untermodul von $N$.
}{Insbesondere ist das Bild
\mathl{\operatorname{bild} \varphi= \varphi(M)}{} der Abbildung ein Untermodul von $N$.
}{Für einen Untermodul
\mathl{T \subseteq N}{} ist das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} ein Untermodul von $M$.
}{Insbesondere ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untermodul von $M$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $L$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grad der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{\R \subseteq {\mathbb C}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$1$. Zeige, dass $L=K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Automorphismus}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $\varphi$ auf den \definitionsverweis {Prim\-körper}{}{} von $L$ die Identität ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Q[\sqrt{ 7 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $2 +5 \sqrt{ 7 }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in L}{} Elemente, die eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bilden. Sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass auch
\mathl{xv_1 , \ldots , xv_n \in L}{} eine $K$-Basis von $L$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mathl{K \subset L}{} eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es dann ein
\mathbed {x \in L} {}
{x \notin K} {}
{} {} {} {,}
mit
\mathl{x^2 \in K}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die \anfuehrung{Gradformel}{} für eine Kette von \definitionsverweis {endlichen Kör\-pererweiterungen}{}{} $K \subseteq L \subseteq M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $p$, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Es sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in K} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $K[x]=L$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl $n$ eine Körpererweiterung
\mathl{\Q \subseteq L}{} vom Grad $n$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{x_1 , \ldots , x_n \in L}{} eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte
\mathbeddisp {x_i x_j} {}
{1 \leq i\leq j \leq n} {}
{} {} {} {,}
eindeutig festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {}
zwei
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{}
von $\Q$ vom Grad
\mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien
\mathkor {} {d} {und} {e} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass dann
\mathdisp {K \cap L = \Q} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man $\sqrt{3}$ nicht als $\Q$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{} von \mathkor {} {1} {und} {\sqrt{2}} {} schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Es sei
\mathl{a \in K}{} ein Element, das in $K$ keine $p$-te
\definitionsverweis {Wurzel}{}{} besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^p-a}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^3-3X+1
}
{ \in }{\Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
und definiert daher eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \defeqr} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus $L$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ =} { \alpha^2 -2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ =} { - \alpha^2 - \alpha + 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Nullstellen von $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt.
\aufzaehlungdrei{$L$ ist ein Körper.
}{$L$ ist von der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[\epsilon]/\epsilon^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{$L$ ist der
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ K \times K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{\Q \subseteq \R}{} nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen
\mathkor {} {\Q} {und} {{\mathbb C}} {.}
Für Körper
\mathl{K_1,K_2 \in M}{} setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_1
}
{ \sim }{K_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls es einen Körper
\mathl{L \in M}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_1
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K_2
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich gibt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R
}
{ \sim }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \sim }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R
}
{ \subseteq }{ \R(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\R(X)$ den
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
bezeichnet, nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte. Zeige, dass die $e$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {F} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
durch
\mathl{f \mapsto f^q}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mathl{p >0}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zum
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_q} {{\mathbb F}_q
} {}
bezüglich einer geeigneten
${\mathbb F}_p$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von ${\mathbb F}_q$ für
\mathl{p=2}{} und
\mathl{q=4}{} bzw.
\mathl{q=8}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{ 3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(p)
}
{ \subseteq} { \Z/(p) [ { \mathrm i} ]
}
{ =} { \Z/(p) [X]/ { \left( X^2+1 \right) }
}
{ =} { {\mathbb F}_{ p^2 }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
von $\Z/(p)$. Zeige, dass die Konjugation
\mathl{{ \mathrm i} \mapsto - { \mathrm i}}{} mit dem
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\mathl{f \mapsto f^p}{} übereinstimmt.
}
{} {}