Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Verzweigungsverhalten}
Schon mehrfach haben wir das Wort \anfuehrung{Verzweigung}{} fallen lassen. Jetzt werden wir diesen Begriff verschiedene Präzisierungen und Charakterisierungen angeben.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem injektiven
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{}
nennt man die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
einer
\definitionsverweis {Ortsuniformisierenden}{}{}
von $R$ in $S$ die
\definitionswort {Verzweigungsindex}{}
der Erweiterung.
}
Statt Verzweigungsordnung sagt man auch \stichwort {Verzweigungsindex} {.} Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} und Primidealen ${\mathfrak q}$ über ${\mathfrak p}$ nennt man die Verzweigungsordnung von \maabbdisp {} {R_{\mathfrak p}} {S_{\mathfrak q} } {} auch die Verzweigungsordnung von ${\mathfrak q}$ über ${\mathfrak p}$ oder einfach von ${\mathfrak q}$, da ja ${\mathfrak p}$ durch ${\mathfrak q}$ bestimmt ist. Wenn man von ${\mathfrak p}$ ausgeht, hängt im Allgemeinen die Verzweigungsordnung von den darüber liegenden Primidealen ab.
\inputdefinition
{}
{
Ein injektiver
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{}
heißt
\definitionswort {verzweigt}{,}
wenn seine
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
$\geq 2$ ist.
}
Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
sagt man auch, dass ein Primideal ${\mathfrak q}$ aus $S$ verzweigt, wenn
\maabbdisp {} {R_{\mathfrak p}} {S_{\mathfrak q}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ R \cap {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verzweigt, und man sagt, dass ein Primideal ${\mathfrak p}$ von $R$ in $S$ verzweigt, wenn es darüber ein Primideal ${\mathfrak q}$ gibt, in dem Verzweigung stattfindet
\zusatzklammer {es darf also auch noch Primideale darüber geben, in denen keine Verzweigung stattfindet} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Dedekindbereichen}{}{}
und es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} S
}
{ =} { {\mathfrak q}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak q}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Idealzerlegung des
\definitionsverweis {Erweiterungsideales}{}{}
${\mathfrak p} S$ im Sinne von
Satz 12.2.}
\faktfolgerung {Dann ist $r_j$ die
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
von
\maabbdisp {} {R_{\mathfrak p}} { S_{ {\mathfrak q}_j}
} {.}}
\faktzusatz {Insbesondere findet über ${\mathfrak p}$ genau dann Verzweigung statt, wenn ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_j
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies beruht darauf, dass ${\mathfrak p}$ in $S_{ {\mathfrak q}_j }$ die Ordnung $r_j$ besitzt, was auf Lemma 11.11 (1) beruht.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {K[Y]} {K[X]
} {Y} {X^n
} {,}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der der Abbildung
\maabbeledisp {} {K} {K
} {x} {x^n = y
} {}
entspricht. Zu einem maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (X-a)
}
{ =} { (Y-a^n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und oberhalb von
\mathl{(Y-b)}{} liegen die maximalen Ideale $(X-a)$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^n
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist die idealtheoretische Interpretation der $n$-ten Potenzierung. Insbesondere liegen die Ringhomomomorphismen
\maabbeledisp {} { K[Y]_{(Y-b)} } { K[X]_{(X-a)}
} {Y} {X^n
} {}
zwischen
\definitionsverweis {diskreten Bewertungsringen}{}{}
vor. Dabei wird die Ortsuniformisierende $(Y-b)$ auf
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ X^n-b
}
{ =} { X^n-a^n
}
{ =} { (X-a) ( X^{n-1} + X^{n-2} a^1 + \cdots + Xa^{n-2} +a^{n-1} )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet. In dieser Produktdarstellung ist der linke Faktor die Ortsuniformisierende des zweiten Bewertungsringes. Der zweite Faktor wird, wenn man für $X$ die Zahl $a$ einsetzt, zu $na^{n-1}$. Wenn $n$ und $a$ beide Einheiten in $K$ sind,
so ist dieser Faktor eine Einheit in
\mathl{K[X]_{(X-a)}}{} und daher ist die
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
gleich $1$, es liegt also keine Verzweigung vor. Wenn hingegen $n$ keine Einheit ist, wenn also die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $K$ ein Teiler von $n$ ist, so liegt Verzweigung vor. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die positive Charakteristik ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{}
{ X^p-a^p }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und die Verzweigungsordnung ist in jedem Punkt gleich $p$. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Verzweigungsordnung direkt gleich $n$ im Nullpunkt.
}
\zwischenueberschrift{Verzweigung und Ableitung}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $R,S$
\definitionsverweis {Dedekindbereiche}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ = }{R[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {monogene}{}{}
\definitionsverweis {endliche Ringerweiterung}{}{.}
Es}
\faktfolgerung {Dann ist ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ von $R$ mit
\definitionsverweis {perfektem}{}{}
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
in $S$ genau dann
\definitionsverweis {unverzweigt}{}{,}
wenn
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
in
\mathl{\kappa ({\mathfrak p})[X]}{} teilerfremd sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
von $R$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} S
}
{ =} { {\mathfrak q}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak q}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Zerlegung des Erweiterungsideales ${\mathfrak p} S$ in Ideale, die es nach
Satz 12.2
gibt. Das bedeutet insbesondere, dass die Ortsuniformisierende $p$ zu ${\mathfrak p}$ in $S_{ {\mathfrak q}_j }$ die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$r_j$ besitzt. Es liegt
nach Lemma 18.3
genau dann
\definitionsverweis {Verzweigung}{}{}
vor, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_j
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für mindestens ein $j$ gilt. Der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
ist unter Verwendung von
Satz 12.8
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \kappa ({\mathfrak p} ) [X]/(F)
}
{ =} { S/{\mathfrak p} S
}
{ =} { S/ {\mathfrak q}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak q}_k^{r_k}
}
{ =} { S/ {\mathfrak q}_1^{r_1} \times \cdots \times S/ {\mathfrak q}_k^{r_k}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Ring ist genau dann reduziert, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_j
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ gilt. Deshalb folgt die Aussage aus
Lemma Anhang 8.3.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $D$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie}{}{}
Zahl $\neq 0,1$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ =} {2,3 \mod 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{,}
der nach
Satz 9.8
die Restklassenbeschreibung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_D
}
{ = }{ \Z[X]/(X^2-D)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt. Die Ableitung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {X^2-D
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{2X}{} und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach
Lemma 18.5
das Ideal
\mathl{(2X,X^2-D)}{} zu betrachten. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und kein Teiler von $D$ ist, so ist dies über $\Z/(p)$ das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn $p$ ein Teiler von $D$ oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung $2$ vor.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
Satz 9.8
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_D
}
{ = }{ \Z[Y]/(Y^2 - Y - { \frac{ D-1 }{ 4 } } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Ableitung ist
\mathl{2Y-1}{.} Oberhalb von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
findet keine Verzweigung statt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Modulo $p$ ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (Y^2 - Y - { \frac{ D-1 }{ 4 } }, 2Y-1 )
}
{ =} {(4Y^2 -4 Y - D+1, 2Y-1 )
}
{ =} { 1-2 -D+1
}
{ =} { D
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von $D$ vor.
}
\inputfaktbeweis
{Polynomring/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Erweiterung/Ableitung/Verzweigung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\maabbeledisp {} {K[Y]} { K[X] \cong K[Y] [X]/(Y-P(X))
} {Y} { P(X)
} {,}
der zugehörige
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist ein Primideal $(X-a)$ genau dann
\definitionsverweis {verzweigt}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und über einem Primideal
\mathl{(Y-b)}{} liegt genau dann Verzweigung vor, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(a)
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wenden
Lemma 18.5
auf die endliche Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[Y]
}
{ \subseteq }{ K[Y] [X]/(Y-P(X))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, ist $K$
\definitionsverweis {vollkommen}{}{}
und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich $K$. Verzweigung oberhalb von $(Y-b)$ ist also die Frage, ob
\mathkor {} {F =Y-P(X)} {und} {F' = -P'(X)} {}
im Restekörper teilerfremd sind. Dabei ist $Y$ als $b$ zu interpretieren, es geht also darum, ob
\mathkor {} {P(X)-b} {und} {P'(X)} {}
teilerfremd sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese beiden Polynome keine gemeinsame Nullstelle in $K$ besitzen.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Ringerweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K(t)[Y]
}
{ \subseteq} { K(t) [Y] [X]/(X^p-t)
}
{ =} { K(t) [X]/(X^p-t) [Y]
}
{ \cong} { K(x) [Y]
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X^p-t)'
}
{ =} { pX^{p-1}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist
\maabbdisp {} {K(t)[Y]_{(Y)} } { K(x) [Y]_{(Y)}
} {}
\definitionsverweis {unverzweigt}{}{,}
da $Y$ in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass
Lemma 18.5
ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Erweiterung/Separabel/Verzweigung/Endlich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
und $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es nur endlich viele
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
von $R$, über denen
\definitionsverweis {Verzweigung}{}{}
stattfindet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {K[x]
}
{ =} {K[X]/(F)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem normierten Polynom $F$, was es
nach dem Satz vom primitiven Element
gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq} {R[x] \cong R[X]/(F)
}
{ \subseteq} {S
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wobei $S$ die Normalisierung von $R[x]$ ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { R[x] [ { \frac{ g_1 }{ f_1 } } , \ldots , { \frac{ g_n }{ f_n } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_i,f_i
}
{ \in }{ R[x]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wobei wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen dürfen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \prod f_i
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_f[x]
}
{ =} { R[x]_f
}
{ =} { S_f
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das heißt, dass oberhalb von $R_f$ der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von $(f)$ nur endlich viele Primideale in $R$ gibt, genügt es zu zeigen, dass in $D(f)$ nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} {R[x]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {monogen}{}{}
annehmen. Wir betrachten das von
\mathkor {} {F} {und} {F'} {}
erzeugte Ideal in $R[X]$. Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in $K[X]$ das Einheitsideal, was in $R[X]$ bedeutet, dass es Polynome $P,Q$ gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{FP+F'Q
}
{ =} {g
}
{ \in} {R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies heißt wiederum, dass in $R_g[X]$ die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach
Lemma 18.5
auf $D(g)$ keine Verzweigung statt. Oberhalb von $g$ gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus $D(g)$ verzweigen nicht.
\zwischenueberschrift{Verzweigung und Faserringe}
In Lemma 15.1 und Lemma 15.7 haben wir von der Reduziertheit der Faserringe auf die Normalität des \zusatzklammer {lokalisierten} {} {} Zahlbereiches geschlossen. Wir werden sehen, dass diese Reduziertheit direkt mit der Unverzweigtheit zusammenhängt und dass diese somit stärker als die Normalität ist.
\inputfaktbeweis
{Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Erweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Dedekindbereichen}{}{}
und es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} S
}
{ =} { {\mathfrak q}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak q}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Idealzerlegung des
\definitionsverweis {Erweiterungsideales}{}{}
${\mathfrak p} S$ im Sinne von
Korollar 12.3.}
\faktfolgerung {Dann ist ${\mathfrak p}$ in $S$ genau dann
\definitionsverweis {verzweigt}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
zu $S$ über ${\mathfrak p}$ nicht
\definitionsverweis {reduziert}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 12.2
liegt in $S$ eine Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} S
}
{ =} { {\mathfrak q}_1^{r_1} \cdots {\mathfrak q}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor und nach
Satz 12.8
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S/ {\mathfrak p} S
}
{ \cong} { S/ {\mathfrak q}_1^{r_1} \times \cdots \times S/ {\mathfrak q}_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dieser Restklassenring, der der Faserring zu $S$ über ${\mathfrak p}$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten $r_i$ gleich $1$ sind. Dies charakterisiert nach
Lemma 18.3
auch die Unverzweigtheit.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(X^p-p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \neq }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
über $(q)$ gleich
\mathl{\Z/(q) [X]/(X^p-p)}{.} Da $p$ eine Einheit in $\Z/(q)$ ist, sind
\mathl{X^p-p}{} und die Ableitung
\mathl{pX^{p-1}}{} teilerfremd in $\Z/(q) [X ]$ und daher ist nach
Korollar 15.2
$\Z_p [X]/(X^p-p)$
\definitionsverweis {normal}{}{}
und die
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
von
\maabbdisp {} { \Z_{(q)}} { R_{\mathfrak q}
} {,}
wobei ${\mathfrak q}$ ein Primideal oberhalb von $(q)$ bezeichnet, ist gleich $1$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ das Hauptideal $(X )$, die Verzweigungsordnung in $p$ ist gleich $p$. Deshalb ist insgesamt $R$ der
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset }{\Q[X]/(X^p-p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und er ist nur im Punkt $(p)$ verzweigt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es seien $p,q$ verschiedene
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[X]/(X^p-q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für eine Primzahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{p,q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
über $(r)$ gleich
\mathl{\Z/(r) [X]/(X^p-q)}{.} Da $p$ und $q$ Einheiten in $\Z/(r)$ sind, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(X^p-q ,pX^{p-1})
}
{ =} { (X^p-q ,X^{p-1})
}
{ =} { (q ,X^{p-1})
}
{ =} { (q)
}
{ =} {1
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Z/(r) [X ]}{,} d.h.
\mathl{X^p-q}{} und die Ableitung
\mathl{pX^{p-1}}{} sind teilerfremd in $\Z/(r) [X ]$ und daher ist nach
Korollar 15.2
$\Z_r [X]/(X^p-q)$
\definitionsverweis {normal}{}{}
und die
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
von
\maabbdisp {} { \Z_{(r)}} { R_{\mathfrak r}
} {,}
wobei ${\mathfrak r}$ ein Primideal oberhalb von $(r)$ bezeichnet, ist gleich $1$.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das einzige Primideal oberhalb von $(q)$ das Hauptideal $(X )$, die Verzweigungsordnung in $q$ ist gleich $p$.
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Faserring gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(p) [X]/(X^p-q)
}
{ =} { \Z/(p) [X]/(X-q)^p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das einzige Primideal oberhalb von $(p)$ ist also $(X-q,p )$, was im Allgemeinen kein Hauptideal ist. Der Ring $R$ ist im Allgemeinen nicht der ganze Abschluss, wobei die Singularität oberhalb von $(p)$ liegt.
}
\zwischenueberschrift{Verzweigung und Diskriminante}
Die Faserringe zu einem Zahlbereich über einer Primzahl $p$ sind im Allgemeinen kein Körper, sie sind aber freie endlich erzeugte $\Z/(p)$-Algebren und daher ist dort auch die Spur und die Diskriminante \zusatzklammer {allerdings aber nur bis auf eine Einheit} {} {} definiert. Unter der \stichwort {Spurform} {} auf einer freien $K$-Algebra $A$ versteht man die symmetrische Bilinearform \maabbeledisp {} {A \times A} {K } {(x,y)} { \operatorname{Spur} { \left( xy \right) } } {.}
\inputfaktbeweis
{Vollkommener Körper/Endliche Algebra/Reduziert/Spur/Ausartung/Diskriminante/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{}
und $A$ eine endlichdimensionale
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$A$ ist
\definitionsverweis {reduziert}{}{.}
}{$A$ ist ein Produkt von Körpern.
}{Die
\definitionsverweis {Spurform}{}{}
ist
\definitionsverweis {nichtausgeartet}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
zu einer $K$-Basis von $A$ ist ungleich $0$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar aufgrund von
Aufgabe 17.17.
Es sei (2) erfüllt,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ L_1 \times \cdots \times L_r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Voraussetzung vollkommen sind die Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
Die Spur
\maabb {} {A} {K
} {}
setzt sich zusammen aus der Summe der Spuren zu den Körpererweiterungen, da man von diesen jeweils Basen wählen kann und sich diese zu einer Gesamtbasis von $A$ zusammensetzen. Bezüglich einer solchen Basis sind die Multiplikationsmatrizen Diagonalblockmatrizen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden ist auch eine Komponente $x_j$ in einem Körper $L_j$ von $0$ verschieden. Im Körperfall ist die Spurform nichtausgeartet und daher gibt es
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_j
}
{ \in }{L_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {das wir in $A$ auffassen können} {} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(x,y_j)
}
{ = }{ S(x_j y_j)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
(3) und (4) sind äquivalent. Wenn die Spurform nicht ausgeartet ist, so besitzt die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
davon eine von $0$ verschiedene Determinante, und umgekehrt, siehe
Aufgabe 38.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
bzw.
Lemma 8.3.
Es sei nun $A$ nicht reduziert. Zu einem nilpotenten Element $f$ ist das Minimalpolynom gleich $X^m$ und damit ist auch das charakteristische Polynom gleich $X^n$, wobei $n$ den Grad der Erweiterung bezeichnet \zusatzklammer {für einen Körper $A$ wurde dies in Lemma 7.10 gezeigt, es gilt aber auch sonst} {} {.} Deshalb ist die Spur von $f$ nach Aufgabe 7.19 gleich $0$. Zu einem nilpotenten Element $f$ und einem beliebigen Element $x$ ist auch $fx$ nilpotent und daher ist, wenn es ein nichttriviales nilpotentes Element gibt, die Spurform ausgeartet.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Spur/Faserring/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $f$ modulo $p$ gleich der im
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
$R/(p)$ über $\Z/(p)$ berechneten Spur von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overline{f}
}
{ \in }{R/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Korollar 8.6
ist $R$ ein freier $\Z$-Modul, dessen Rang der Grad $n$ der zugrunde liegenden Körpererweiterung ist, und nach
Korollar 8.8
ist der Faserring über $\Z/(p)$ eine
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
$\Z/(p)$-Algebra. In beiden Fällen kann man also die Spur über die Multiplikationsmatrix bezüglich einer Basis berechnen. Es sei eine $\Z$-Basis
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} von $R$ fixiert. Eine $\Z$-Basis von $R$ wird modulo $p$ zu einer $\Z/(p)$-Basis von $R/(p)$, siehe den Beweis zu
Korollar 8.8.
In der Multiplikationsmatrix zu $f$ bezüglich
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} stehen die ganzen Zahlen $c_{ij}$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fb_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n c_{ij}b_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind. Da
\maabb {} {R} {R/(p)
} {}
ein Ringhomomorphismus ist, folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\overline{f}\overline{b}_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n \overline{c}_{ij} \overline{b}_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist die Multiplikationsmatrix zu $\overline{f}$ bezüglich
\mathl{\overline{b}_1 , \ldots , \overline{b}_n}{} einfach die komponentenweise reduzierte Matrix. Deshalb ist insbesondere die Reduktion der Spur
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( f \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n c_{ii}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gleich
\mathl{\sum_{i = 1}^n \overline{c}_{ii}}{,} also gleich der Spur der Reduktion.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle_R$. Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $p$ genau dann ein Teiler von $\triangle_R$, wenn der
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
zu $R$ über $p$ nicht
\definitionsverweis {reduziert}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
von $R$. Die Matrix $M$ mit den Einträgen
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( b_ib_j \right) }}{} ist die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
der Spurform. Die Gramsche Matrix $M'$ der Spurform zu $R/(p)$ über $\Z/(p)$ bezüglich der $\Z/(p)$-Basis
\mathl{\overline{b}_1 , \ldots , \overline{b}_n}{} entsteht daraus nach
Lemma 18.14
durch komponentenweise Reduktion. Da das Berechnen der Determinante mit beliebigen Ringwechseln verträglich ist, ist die Determinante von $M'$ gleich der Determinante von $M$
\zusatzklammer {also der Diskriminante von $R$} {} {}
modulo $p$ genommen. Somit ist $p$ genau dann ein Teiler der Diskriminante von $R$, wenn die Diskriminante des Faserringes gleich $0$ ist. Dies ist nach
Satz 18.13
äquivalent dazu, dass der Faserring nicht reduziert ist.