Kurs:Analysis/Teil I/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	2	2	8		2	2	5	6	11	4	4	5	2	8	3	4	4	4	6	5	3	2	2	3	97

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$(-2x^{3}+3x^{2}+3x-2)^{2}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms

$1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ endliche Mengen mit ${}\ell ,m$ bzw. ${}n$ Elementen. Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,N\right)},\,(f,g)\longmapsto g\circ f,$

die durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben ist. Zeige, dass ${}\Psi$ genau dann surjektiv ist, wenn

${}m\geq \operatorname {min} \left(\ell ,\,n\right)\,$

ist.

Aufgabe ( Punkte)

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist ${}500$ Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit ${}180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ Metern pro Sekunde von ganz hinten nach ganz vorne.

1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.

Aufgabe * (6 (2+2+1+1) Punkte)

Wir betrachten die beiden Sätze „Für jeden Topf gibt es einen Deckel“ und „Es gibt einen Deckel für jeden Topf“, die man im alltäglichen Verständnis wohl als gleichbedeutend ansehen würde. Wenn man aber die beiden Aussagen streng prädikatenlogisch (quantorenlogisch) von vorne nach hinten abarbeitet, so ergeben sich zwei unterschiedliche Bedeutungen.

1. Formuliere die beiden Aussagen durch zusätzliche Wörter so um, dass die unterschiedlichen Bedeutungen deutlich hervortreten.
2. Es sei ${}T$ die Menge der Töpfe und ${}D$ die Menge der Deckel. Es sei ${}P$ ein zweistelliges Prädikat derart, dass (für ${}x\in T$ und ${}y\in D$) ${}P(x,y)$ besagt, dass ${}y$ auf ${}x$ passt. Formuliere die beiden Aussagen allein mit geeigneten mathematischen Symbolen.
3. Kann man aus der Aussage, dass es für jeden Topf einen Deckel gibt, logisch erschließen, dass es für jeden Deckel einen Topf gibt?
4. Wie kann man erklären, dass die beiden Aussagen im alltäglichen Verständnis als gleichbedeutend interpretiert werden?

Aufgabe * (11 (5+4+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$. Beweise die folgenden Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten ${}m,n\in \mathbb {Z}$. Dabei darf man die entsprechenden Gesetze für Exponenten aus ${}\mathbb {N}$ sowie die Tatsachen, dass das Inverse des Inversen wieder das Ausgangselement ist und dass das Inverse von ${}u^{k}$ gleich ${}{\left(u^{-1}\right)}^{k}$ ist, verwenden.

1. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

2. ${}{\left(a^{m}\right)}^{n}=a^{mn}\,.$

3. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

$g\colon ]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine stetige Funktion mit ${}g(1)=1$. Zeige, dass durch

${}f(x):={\begin{cases}g(x)\,,{\text{ für }}x\leq 1,\,\\{\frac {1}{g\left({\frac {1}{x}}\right)}}{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

gegeben ist, die die Bedingung

${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei

$h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion, wir betrachten dazu die zusammengesetzte Funktion

${}f:=\exp \circ h\circ \ln \,,$

also

${}f(x):=\exp \left(h{\left(\ln x\right)}\right)\,$

auf ${}\mathbb {R} _{+}$.

1. Bestimme für die lineare Funktion (mit dem Proportionalitätsfaktor ${}c$)

   ${}h(t)=ct\,$

   die zugehörige Funktion ${}f(x)$.

2. Es sei nun ${}h$ eine beliebige ungerade Funktion. Zeige, dass ${}f$ die Bedingung

   ${}f\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {1}{f(x)}}\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ erfüllt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir definieren rekursiv eine Folge von reellen Polynomen ${}P_{n}$ durch ${}P_{0}=0$ und

${}P_{n+1}(t)=P_{n}(t)+{\frac {1}{2}}{\left(t-P_{n}(t)^{2}\right)}\,.$

Zeige, dass diese Folge auf ${}[0,1]$ punktweise gegen ${}{\sqrt {t}}$ konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}u\in \mathbb {R}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{u},$

stetig ist.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Wachstumsdominanz der (ganzzahligen) Exponentialfunktion gegenüber Potenzfunktionen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden ${}G$ und des Kreises ${}K$, wobei ${}G$ durch die Gleichung ${}y-3x+1=0$ und ${}K$ durch den Mittelpunkt ${}(-2,3)$ und den Radius ${}4$ gegeben ist.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten auf ${}\mathbb {R} _{+}$ die Funktion

${}f(x)=\arctan x+\arctan {\left(x^{-1}\right)}\,.$

1. Zeige mit Hilfe der Ableitung, dass ${}f$ konstant ist.
2. Bestimme den konstanten Wert von ${}f$.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Dezimalsystem, das (beispielsweise in der Schule) schrittweise aufgebaut wird. Zuerst sind endliche Ziffernfolgen der Form

$6108$

erlaubt, die eine natürliche Zahl repräsentieren. Dann erweitert man zu Ziffernfolgen der Form

$6108,3956$

(die gewisse rationale Zahlen repräsentieren). Warum sind im weiteren Aufbau des Dezimalsystems Ziffernfolgen der Bauart

$6108,3956236582952309045...$

mit „unendlich vielen“ Ziffern hinter dem Komma erlaubt, aber keine Ziffernfolgen der Bauart

$...23775800449523096108,3956$

mit „unendlich vielen“ Ziffern vor dem Komma? Kann man die zuletzt genannten Ziffernfolgen sinnvoll interpretieren? Kann man sie sinnvoll als „Zahlen“ interpretieren?

Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Wir betrachten die Polynome ${}f_{n}={\left(x^{2}-1\right)}^{n}$.

1. Zeige

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=-{\frac {2n}{2n+1}}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n-1}dx\,.$

2. Man folgere

   ${}\int _{-1}^{1}{\left(x^{2}-1\right)}^{n}dx=(-1)^{n}\cdot 2\cdot {\frac {2^{n}(n!)}{(2n+1)(2n-1)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}\,.$

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Wir betrachten das reelle Polynom

${}f(x)=x^{2}-{\frac {1}{2}}\,$

1. Skizziere ${}\vert {f(x)}\vert$ auf dem Intervall ${}[-1,1]$.
2. Zeige, dass ${}f$ die Eigenschaft besitzt, dass

   ${}{\max {\left(\vert {f(x)}\vert ,-1\leq x\leq 1\right)}}={\frac {1}{2}}\,$

   ist.

3. Zeige, dass es außer ${}f$ kein weiteres normiertes reelles Polynom vom Grad ${}2$ gibt, das die in Teil (2) beschriebene Eigenschaft erfüllt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der Jensensschen Ungleichung, angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen ${}t_{1},\ldots ,t_{n}>0$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1\,$

und Zahlen ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

${}x_{1}^{t_{1}}\cdot x_{2}^{t_{2}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{t_{n}}\leq t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}+\cdots +t_{n}x_{n}\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}p,q$ positive reelle Zahlen mit

${}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\,$

und es seien ${}A,B\geq 0$. Zeige mit Aufgabe ***** die Abschätzung

${}AB\leq {\frac {A^{p}}{p}}+{\frac {B^{q}}{q}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${}[0,2\pi ]$.

1. ${}\cos x$.
2. ${}\cos 2x$.
3. ${}\cos ^{2}x$.
4. ${}2\cos ^{2}x-1$.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

1. Zeige, dass für reelles ${}x\geq 0$ die Abschätzung

   ${}1-\cos x\leq x\,$

   gilt.

2. Zeige, dass für reelles ${}x\geq 0$ die Abschätzung

   ${}1-\cos x\leq {\frac {x}{2}}\,$

   nicht gilt.