Kurs:Analysis/Teil I/11/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	3	3	4	2	7	5	5	4	6	4	3	5	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.

{}\vert {2x-5}\vert <\vert {3x-4}\vert \,.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ eine komplexe Zahl mit ${}b<0$ . Zeige, dass

{}v={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\left(-{\sqrt {\vert {z}\vert +a}}+{\mathrm {i} }{\sqrt {\vert {z}\vert -a}}\right)}\,

eine Quadratwurzel von ${}z$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion und

g\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {Q}

eine Bijektion. Es sei vorausgesetzt, dass die Folge ${}f(g(n)),\,n\in \mathbb {N}$ , konvergiert. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über ${}n$ die Beziehung

{}{\left({\frac {1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\right)}^{\prime }={\frac {-1}{g_{1}\cdot g_{2}\cdots g_{n}}}\cdot {\left({\frac {g_{1}'}{g_{1}}}+{\frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\cdots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)}\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}\zeta$ eine ${}n$ -te komplexe Einheitswurzel. Es sei

f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto f(z),

eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass die Gleichheit ${}f(\zeta z)=f(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gelte. Zeige unter Bezug auf den Differenzenquotienten, dass die Ableitung die Beziehung ${}f'(\zeta z)=\zeta ^{n-1}f'(z)$ erfüllt.