Kurs:Analysis/Teil I/14/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	1	2	4	5	5	7	4	6	4	2	4	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus ${}A$ folgt ${}B$ “.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Was fällt an dem folgenden Satz auf (aus der Sendung Börse vor acht, 2020): „Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um ${}70\%$ steigern“.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y>0$ . Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn

{}x/y\geq 1\,

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}x_{n}$ eine gegen ${}x$ konvergente reelle Folge. Es sei

\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

{}y_{n}:=x_{\varphi (n)}\,

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ und die Menge der Abbildungen ${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}$ gleichmächtig sind.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion ${}\neq 0$ , die die Gleichung

{}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei

f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert. Zeige, dass ${}f$ gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}$ und ${}g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}$ .

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ und von ${}g$ .

b) Berechne die Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$ .

c) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Rolle.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${}{\sqrt {x}}$ für ${}x\in [1,4]$ . Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von ${}1$ und ${}4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von ${}1$ und der Wurzel von ${}4$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

y'=5t{\text{ mit }}y(2)=7.