Kurs:Analysis/Teil I/15/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	5	7	1	5	2	2	8	2	3	4	9	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

{}x_{n}=(-1)^{n}{\frac {7n^{2}-8n+6}{4n^{2}+3n-1}}\,

gegebenen Folge.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

eine Funktion und ${}x\in T$ . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$ .
Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine stetige Funktion

f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck

{\left({\frac {3}{2}}\right)}^{\pi }.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Kettenregel für die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ von zwei differenzierbaren Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ und ${}g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine differenzierbare Funktion ohne Nullstelle. Bestimme die Ableitung von ${}g(x)={\frac {(f(x))^{n}}{f(x^{n})}}$ für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der natürliche Logarithmus eine konkave Funktion ist.

Aufgabe * (8 (1+4+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f(x)=\sin x$ . Bestimme Polynome ${}P,Q,R$ vom Grad ${}\leq 3$ , die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) ${}P$ stimmt mit ${}f$ an den Stellen ${}-\pi ,0,\pi$ überein.

(b) ${}Q$ stimmt mit ${}f$ in ${}0$ und in ${}\pi$ bis zur ersten Ableitung überein.

(c) ${}R$ stimmt mit ${}f$ in ${}\pi /2$ bis zur dritten Ableitung überein.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde den oder die Fehler im folgenden „Beweis“ für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen

f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}

eine Stammfunktion zu ${}fg$ finden kann, indem man (geeignete) Stammfunktionen zu ${}f$ und zu ${}g$ miteinander multipliziert.

„Es sei ${}F$ eine Stammfunktion zu ${}f$ und ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ , die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von ${}f$ und ${}g$ möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, so dass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist ${}\ln F$ eine Stammfunktion von ${}\ln f$ und ${}\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln g$ . Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit ${}\ln F+\ln G$ eine Stammfunktion von ${}\ln f+\ln g$ . Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass

{}\exp \left(\ln F+\ln G\right)=\exp \left(\ln F\right)\cdot \exp \left(\ln G\right)=F\cdot G\,

eine Stammfunktion von

{}\exp \left(\ln f+\ln g\right)=\exp \left(\ln f\right)\cdot \exp \left(\ln g\right)=f\cdot g\,

ist.“

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

\int _{0}^{1}{\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}dr.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von

{\frac {1}{x^{4}+1}}

unter Verwendung der Zerlegung

{}x^{4}+1={\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right)}\,.

Aufgabe * (9 (3+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

a) Es sei

f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

ein nullstellenfreies Vektorfeld, d.h. ${}f(t,y)\neq 0$ für alle ${}(t,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ . Zeige, dass jede Lösungskurve zur Differentialgleichung

{}y'=f(t,y)\,

injektiv ist.

b) Es sei ${}f$ nun ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Zeige, dass ${}f$ genau dann nullstellenfrei ist, wenn jede Lösungskurve injektiv ist.

c) Man gebe ein Beispiel für ein Vektorfeld, das nicht nullstellenfrei ist, für das aber jede Lösungskurve injektiv ist.