Kurs:Analysis/Teil I/17/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 1 4 2 2 3 2 5 4 4 6 6 8 4 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Im September besteht die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Chile Stunden (in Chile wird es Stunden später hell). Anfang Oktober wird in Deutschland die Uhr von der Sommerzeit auf die Winterzeit umgestellt, die Uhr wird also um eine Stunde nachts von auf zurückgestellt. In der gleichen Nacht wird die Uhr in Chile umgestellt. Wie groß ist die Zeitdifferenz nach der Umstellung?


Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

Es seien und bijektiv.

  1. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn injektiv ist.
  2. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn surjektiv ist.


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem angeordneten Körper jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Exponentialfunktion

keine rationale Funktion ist.


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten ein normiertes Polynom vom Grad ,

mit . Zeige, dass es Zahlen mit

gibt.


Aufgabe * (6 (1+1+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

a) Skizziere .

b) Bestimme die Ableitung von .

c) Bestimme die zweite Ableitung von .

d) Untersuche auf Extrema, Monotonieverhalten und Wendepunkte.


Aufgabe * (8 (2+5+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den Limes

zu einem Punkt .

  1. Bestimme diesen Limes für die Funktion

    mit einem .

  2. Es sei in differenzierbar. Zeige
  3. Überprüfe das Ergebnis aus (1) mit Hilfe der Formel aus (2).


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.