Kurs:Analysis/Teil I/24/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	2	2	3	10	7	3	7	2	4	5	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Person ${}A$ wird ${}80$ Jahre alt und Person ${}B$ wird ${}70$ Jahre alt. Vergleiche die Gesamtlebenswachzeit und die Gesamtlebensschlafzeit der beiden Personen bei folgendem Schlafverhalten.

1. ${}A$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden.
2. ${}A$ schläft jede Nacht ${}8$ Stunden und ${}B$ schläft jede Nacht ${}7$ Stunden.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Zeige, dass für positive reelle Zahlen ${}a,b$ die Abschätzung

   ${}{\frac {1}{\vert {a+b}\vert }}\leq {\max {\left({\frac {1}{\vert {a}\vert }},{\frac {1}{\vert {b}\vert }}\right)}}\,$

   gilt.

2. Zeige, dass es reelle Zahlen ${}a,b$ mit ${}a,b,a+b\neq 0$ und mit

   ${}{\frac {1}{\vert {a+b}\vert }}>{\max {\left({\frac {1}{\vert {a}\vert }},{\frac {1}{\vert {b}\vert }}\right)}}\,$

   gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K_{+}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}={\left(x_{n}\right)}^{-1}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge ${}M$ der reellen Zahlen ein Supremum besitzt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe * (7 (3+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}b\geq 1$ eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

${}x_{n}:=b^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{b}}\,$

(mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$).

1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder ${}\geq 1$ sind.
3. Zeige, dass die Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

$f\colon ]-1,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=1-{\sqrt {1-x^{2}}}.$

a) Bestimme die Ableitung ${}f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x)=a^{x}\,$

eine Exponentialfunktion mit ${}a\neq 1$. Zu jedem ${}x\in \mathbb {R}$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte ${}(x,f(x))$ und ${}(x+1,f(x+1))$ einen Schnittpunkt mit der ${}x$-Achse, den wir mit ${}s(x)$ bezeichnen. Zeige

${}s(x+1)=s(x)+1\,.$

Skizziere die Situation.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die durch den Graphen zu ${}f(x)={\sqrt {x}}$ und der Geraden durch den Nullpunkt und den Punkt ${}(4,2)$ eingeschlossen wird.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.