Kurs:Analysis/Teil I/3/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.
}{Die
\stichwort {Kosinusreihe} {}
zu
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}
}{Eine \stichwort {Stammfunktion} {} einer Abbildung
\mathl{f:D \rightarrow {\mathbb K}}{} auf einer offenen Menge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Eine \stichwort {lineare inhomogene} {} gewöhnliche Differentialgleichung. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
}{Unter der Fakultät von $n$ versteht man die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n!
}
{ \defeq} { n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in K} {}
{\epsilon > 0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass für alle
\mathl{n \geq n_0}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Die Reihe
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n} }{(2n)!}} { }
heißt die Kosinusreihe zu $z$.
}{Eine Funktion
\maabbdisp {F} {D} { {\mathbb K}
} {}
heißt Stammfunktion zu $f$, wenn $F$ auf $D$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und
\mathl{F'(x)=f(x)}{} für alle
\mathl{x \in D}{} gilt.
}{Eine
\definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
der Form
\mathdisp {y'=g(t)y +h(t)} { }
mit zwei auf einem
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{I \subseteq \R}{} definierten
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\mathl{t \mapsto g(t)}{} und
\mathl{t \mapsto h(t)}{} heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz von Bolzano-Weierstraß} {.}}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die \stichwort {Quotientenregel} {} für differenzierbare Abbildungen (für einen Punkt).}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.
Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.}{Es seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}
Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}{Es sei
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{} offen,
\mathl{a \in D}{} ein Punkt und
\maabbdisp {f,g} {D} { {\mathbb K}
} {}
zwei Funktionen, die in $a$ differenzierbar seien. Wenn $g$ keine Nullstelle in $D$ besitzt, so ist
\mathl{f/g}{} differenzierbar in $a$ mit
\mathdisp {(f/g)'(a) = \frac{ f'(a)g(a) - f(a)g'(a) }{(g(a))^2}} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{
Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen
\mathl{A(n)}{} bewiesen, die von den natürlichen Zahlen
\mathl{n \in \N}{} abhängen. Man beweist zuerst die Aussage
\mathl{A(0)}{.} Ferner zeigt man, dass man für alle $n$ aus der Gültigkeit von $A(n)$ auf die Gültigkeit von $A(n+1)$ schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von $A(n)$ für alle
\mathl{n \in \N}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Heidi Gonzales bringt eine Schokolade der Größe
\mathl{4 \times 6}{} Teilstücke mit zum Treffen ihrer Abgabegruppen, wo Andreas, Peter und Sabine schon hungrig warten. Deshalb soll die Schokolade so schnell wie möglich in die Teilstücke zerlegt werden. Ein Teilungsvorgang ist die Teilung der Schokolade oder einer in einem Zwischenschritt schon entstandenen Teilschokolade längs einer Quer- oder einer Längsrille. Jede Person kann an einer Teilschokolade eine Teilung durchführen. Ein Teilungsvorgang dauert eine Sekunde. Wie lange dauert es im schnellsten Fall, bis die Schokolade in die Einzelstücke vollständig zerlegt ist?
}
{
Am Anfang gibt es nur die eine Schokolade, es kann also in der ersten Sekunde nur ein Teilungsvorgang stattfinden. Danach gibt es zwei Stücke und es können auch zwei Teilungsvorgänge stattfinden. Danach gibt es vier Stücke und ab da können alle vier Personen sich am Teilungsprozess beteiligen. Da man insgesamt $23$ Teilungsprozesse braucht, braucht man wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+4+4+4+4+4
}
{ =} {23
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zumindest $7$ Sekunden. Eine solche Teilungsstrategie ist auch durchführbar, da man beispielsweise nach den ersten beiden Schritten vier
\mathl{2 \times 3}{} Teilschokoladen haben kann, die dann jeder in $5$ Sekunden jeweils aufteilt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_1)
}
{ = }{ f(x_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g \circ f) (x_1)
}
{ =} {g( f(x_1))
}
{ =} {g( f(x_2))
}
{ =} {(g \circ f) (x_2)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da nach Voraussetzung
\mathl{g \circ f}{} injektiv ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wie gewünscht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (2+1+2+1+2)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei eine reelle Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige die folgenden Aussagen.
(a) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng fallend.
(b) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Folge konstant.
(c) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ < }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Folge ist streng wachsend.
(d) Die Folge konvergiert.
(e) Der Grenzwert ist $a$.
}
{
(a) Die Eigenschaft $x_n > a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_0 > a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ >} { { \frac{ a+a }{ 2 } }
}
{ =} { a
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das strenge Fallen ergibt sich daraus durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ <} { { \frac{ x_n+x_n }{ 2 } }
}
{ =} { x_n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
(b) Die Konstanz ergibt sich durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_0 = a$ den Induktionsanfang sichert und der Induktionsschluss aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ a+a }{ 2 } }
}
{ =} { a
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt.
(c) Die Eigenschaft $x_n < a$ folgt durch Induktion, wobei die Voraussetzung $x_0 < a$ unmittelbar den Induktionsanfang ergibt. Der Induktionsschluss ergibt sich mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ <} { { \frac{ a+a }{ 2 } }
}
{ =} { a
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das strenge Wachstum ergibt sich daraus durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ >} { { \frac{ x_n+x_n }{ 2 } }
}
{ =} { x_n
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
(d) Nach (a), (b), (c) ist die Folge in jedem Fall monoton und beschränkt, daher konvergiert sie in $\R$.
(e) Der Grenzwert sei $x$. Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ =} { x
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n+1}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wir wenden die Rechenregeln für Limiten auf die Rekursionsvorschrift an und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n+1}
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \frac{ x_n+a }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ x +a }{ 2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich $x=a$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.
}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \leq} { x_n
}
{ \leq} { b_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine
\definitionsverweis {Intervallhalbierung}{}{}
derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_0
}
{ \defeq }{ [a_0,b_0]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei das $k$-te Intervall
\mathl{I_{ k }}{} bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
\mathdisp {[a_{ k }, \frac{ a_{ k }+b_{ k } }{2}] \text{ und } [ \frac{a_{ k }+b_{ k } }{2},b_{ k }]} { . }
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall
\mathl{I_{ k +1}}{} eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n_k}
}
{ \in} { I_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_{ k }
}
{ > }{ n_{ k-1 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach
Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gegen die durch die
Intervallschachtelung bestimmte Zahl
$x$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Untersuche, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
konvergiert oder divergiert.
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2n+5
}
{ \leq} {3n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4n^3-3n+2
}
{ =} { n^3 +3n^3-3n +2
}
{ \geq} { n^3 +3 n (n^2-1)
}
{ \geq} { n^3
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gilt für die Reihenglieder für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 3n }{ 4n^3-3n+2 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 3n }{ n^3 } }
}
{ =} { 3 { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Reihe
\mathl{\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{} konvergiert nach
Beispiel 9.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
und dies gilt auch für
\mathl{\sum_{n=1}^\infty 3 { \frac{ 1 }{ n^2 } }}{.} Nach dem
Majorantenkriterium
konvergiert auch
\mathdisp {\sum_{n=5}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
und daher konvergiert auch die in Frage stehende Reihe.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
streng wachsende Funktionen, die auf
\mathl{\Q}{} übereinstimmen. Folgt daraus
\mathl{f=g}{?}
}
{
Wir betrachten die beiden Funktionen
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x ,\, \text{falls } x < \sqrt{2} \, , \\ x+1,\, \text{falls } x \geq \sqrt{2} \, ,
\end{cases}} { }
und
\mathdisp {g(x) = \begin{cases} x ,\, \text{falls } x \leq \sqrt{2} \, , \\ x+1,\, \text{falls } x > \sqrt{2} \, .
\end{cases}} { }
Beide Funktionen sind streng wachsend und stimmen auf
\mathl{\R \setminus \{ \sqrt{2} \}}{} und insbesondere auf
\mathl{\Q}{} überein. Es ist aber
\mathl{f( \sqrt{2} ) \neq g(\sqrt{2})}{,} so dass die beiden Funktionen verschieden sind.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 2x^3-4x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Unter der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ =} { \betrag { 2x^3-4x+5 - 2 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3 -5 }
}
{ =} { \betrag { 2 (x^3-3^3) -4 (x-3) }
}
{ \leq} { 2 \betrag { x^3-3^3 } + 4 \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { 2 \betrag { x-3 } \cdot \betrag { x^2+3x+3^2 } + { \frac{ 4 }{ 800 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { 2 \cdot { \frac{ 1 }{ 800 } } \cdot \betrag { 16 +12 +9 } + { \frac{ 4 }{ 800 } }
}
{ =} { { \frac{ 78 }{ 800 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ > }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
reelle Zahlen. Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\Psi} {C^0([a,b],\R) } {C^0(]a,b[,\R)
} {f} { f{{|}}_{]a,b[}
} {.}
Zeige, dass $\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.
}
{
Die Funktion $f(x)= { \frac{ 1 }{ (x-a)(x-b) } }$ ist eine rationale Funktion von $]a,b[$ nach $\R$, also stetig. Für $x \rightarrow a$ konvergiert der Nenner gegen $0$, so dass die Funktion unbeschränkt ist. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall definierte stetige Funktion ist aber nach
Satz 13.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
beschränkt, so dass $f$ nicht die Einschränkung einer stetigen Funktion
\mathl{g:[a,b] \rightarrow \R}{} sein kann. Die Abbildung
\mathl{\Psi}{} ist also nicht surjektiv.
Für eine stetige Funktion
\mathl{g:[a,b] \rightarrow \R}{} gilt
\mathdisp {\operatorname{lim}_{x \in ]a,b[ , x \rightarrow a} g(x) = g(a)} { }
und
\mathdisp {\operatorname{lim}_{x \in ]a,b[ , x \rightarrow b} g(x) = g(b)} { . }
Die stetige Funktion
\mathl{g}{} ist also durch ihre Werte auf dem offenen Intervall
\mathl{]a,b[}{} eindeutig bestimmt, so dass
\mathl{\Psi}{} injektiv ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion, also die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( z+w \right)
}
{ =} { \exp z \cdot \exp w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z,w
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Das
\definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
der beiden Exponentialreihen ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{z^{i} }{i!} \frac{ w^{n-i } }{ (n-i)!}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Reihe ist nach
Lemma 15.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{}
und der
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von
\mathl{z+w}{}
nach der allgemeinen binomischen Formel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{(z+w)^n}{n!}
}
{ =} { \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i } z^{i} w^{n-i}
}
{ =} { c_n
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
so dass die beiden Seiten übereinstimmen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }} { }
eine
\definitionsverweis {absolut konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
mit Konvergenzradius
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass die Potenzreihe
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ \defeq} { \begin{cases} a_n,\, \text{ falls } n \in I, \\ 0 \text{ sonst}, \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls absolut konvergent mit einem Konvergenzradius
\mathl{\geq r}{} ist.
}
{
Wir müssen zeigen, dass die Reihe für jedes
\mathl{z \in {\mathbb C}}{,} $\betrag { z } < r$, absolut konvergiert. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n \in \N} \betrag { b_nz^n }
}
{ =} { \sum_{n \in \N} \betrag { b_n } \betrag { z }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die Reihenglieder gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { b_n } \betrag { z }^n
}
{ \leq} { \betrag { a_n } \betrag { z }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \N} \betrag { a_n } \betrag { z }^n}{} nach Voraussetzung konvergiert, liegt eine konvergente Majorante vor, so dass auch die Reihe
\mathl{\sum_{n \in \N} b_n z^n}{}
absolut konvergiert.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ x } } \cdot \sin \left( \ln x \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { - { \left( { \frac{ \sin \left( \ln x \right) }{ x } } \right) }^\prime
}
{ =} { - { \frac{ \cos \left( \ln x \right) - \sin \left( \ln x \right) }{ x^2 } }
}
{ =} { -{ \frac{ \cos \left( \ln x \right) }{ x^2 } } +{ \frac{ \sin \left( \ln x \right) }{ x^2 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { e^{x^2} -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir berechnen zuerst die Ableitungen, diese sind
\mathdisp {f^\prime(x) = 2x e^{x^2} -1} { , }
\mathdisp {f^{\prime \prime}(x) = 2 e^{x^2} +2x 2x e^{x^2} ={ \left( 2+4x^2 \right) } e^{x^2}} { , }
\mathdisp {f^{\prime \prime \prime}(x) = { \left( 8 x \right) } e^{x^2}+ 2x { \left( 2+4x^2 \right) } e^{x^2} = { \left( 12 x +8x^3 \right) } e^{x^2}} { , }
\mathdisp {f^{\prime \prime \prime \prime}(x) = { \left( 12 +24x^2 \right) } e^{x^2}+ 2x { \left( 12 x +8x^3 \right) } e^{x^2} = { \left( 12 +48x^2 + 16x^4 \right) } e^{x^2}} { . }
Somit ist
\mathdisp {f(1)= e-1, \, f^\prime(1)= 2e-1 , \, f^{\prime \prime} (1)= 6e, \,f^{\prime \prime \prime} (1)= 20e , \, f^{\prime \prime \prime \prime} (1) = 76 e} { . }
Das Taylor-Polynom vom Grad $4$ zum Entwicklungspunkt $1$ ist demnach
\mathdisp {e-1 + { \left( 2e-1 \right) } { \left( x-1 \right) } + 3e { \left( x-1 \right) }^2 + { \frac{ 10 e }{ 3 } }
{ \left( x-1 \right) }^3+{ \frac{ 19 e }{ 6 } } { \left( x-1 \right) }^4} { }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{3x^2 +5x-4
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} x + { \frac{ 5 }{ 2 \sqrt{3} } } \right) }^2 - { \frac{ 25 }{ 12 } } - 4
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} x + { \frac{ 5 }{ 2 \sqrt{3} } } \right) }^2 - { \frac{ 73 }{ 12 } }
}
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } } \left( ({ \frac{ \sqrt{12} \sqrt{3} }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 \sqrt{12} }{ 2 \sqrt{3} \sqrt{73} } })^2 - 1 \right)
}
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } } \left( \left({ \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } }\right)^2 - 1 \right)
}
}
{}
{}{.}
Daher ist mit der Substitution
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u
}
{ =} { { \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{73} }{ 6 } } u - { \frac{ 5 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ }^{ } \sqrt{3x^2+5x-4} \, d x
}
{ =} { \int_{ }^{ } \sqrt{ { \frac{ 73 }{ 12 } } (u^2-1) } \cdot { \frac{ \sqrt{73} }{ 6 } } \, d u
}
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 \sqrt{3} } } \int_{ }^{ } \sqrt{ u^2-1 } \, d u
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Stammfunktion hiervon ist
\mathdisp {{ \frac{ 73 }{ 12 \sqrt{3} } } { \frac{ 1 }{ 2 } } (u \sqrt{u^2-1} - \, \operatorname{arcosh} \, u \, )} { }
und damit ist
\mathdisp {{ \frac{ 73 }{ 24 \sqrt{3} } } \left( ({ \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } }) \sqrt{( { \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } } )^2 -1 } - \, \operatorname{arcosh} \, ({ \frac{ 6 }{ \sqrt{ 73 } } } x + { \frac{ 5 }{ \sqrt{73} } }) \, \right)} { }
eine Stammfunktion von
\mathdisp {\sqrt{3x^2+5x-4}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
}
{
\definitionsverweis {Ableiten}{}{}
unter Verwendung von
[[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Analysis/Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
und
Satz 18.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( y f^{-1}(y) - F { \left( f^{-1} (y) \right) } \right) }'
}
{ =} { f^{-1}(y) + y { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1}(y)) } } - f { \left( f^{-1}(y) \right) } { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } }
}
{ =} { f^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2t \text{ mit } y (5) = 3} { . }
}
{
Die Stammfunktionen zu $2t$ sind
\mathl{t^2 +c}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Anfangsbedingung führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5^2 +c
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{-22
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t)
}
{ =} { t^2-22
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösung.
}