Kurs:Analysis/Teil I/30/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 5 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {surjektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Eine
\stichwort {nach unten beschränkte} {}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$.
}{Der \stichwort {Körper der reellen Zahlen} {.}
}{Die \stichwort {Sinusreihe} {.}
}{Eine \stichwort {konvexe Funktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung $f$ heißt surjektiv, wenn es für jedes
\mathl{y \in M}{} mindestens ein Element
\mathl{x \in L}{} mit
\mathl{f(x)=y}{} gibt.
}{Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt nach unten beschränkt, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Einen
\definitionsverweis {archimedisch angeordneten}{}{}
\definitionsverweis {vollständigen}{}{}
\definitionsverweis {Körper}{}{}
nennt man Körper der reellen Zahlen.
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } z^{2n+1} }{(2n +1 )!}} { }
die Sinusreihe zu $z$.
}{Man sagt, dass $f$ konvex ist, wenn der
\definitionsverweis {Epigraph}{}{}
\mathl{E(f)}{}
\definitionsverweis {konvex}{}{}
ist.
}{Die Funktion $f$ heißt Riemann-integrierbar auf $I$, wenn
\definitionsverweis {Ober}{}{-}
und
\definitionsverweis {Unterintegral}{}{}
von $f$ existieren und übereinstimmen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über rationale Zahlen in einem archimedisch angeordneten Körper $K$.}{Das \stichwort {Folgenkriterium} {} für die Stetigkeit einer Funktion
\maabbdisp {f} { {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Zu je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus $K$ gibt es eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { { \frac{ n }{ k } }
}
{ <} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Die Stetigkeit von $f$ im Punkt $a$ ist äquivalent dazu, dass für jede Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} die gegen $a$ konvergiert, die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} gegen
\mathl{f(a)}{} konvergiert.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen und sei
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine Funktion, die in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Lucy Sonnenschein tanzt auf allen Hochzeiten}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{
Es gibt eine Hochzeit, auf der Lucy Sonnenschein nicht tanzt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Wie sinnvoll ist die Gleichungskette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \text{Pythagoras}
}
{ =} { c^2
}
{ =} { a^2+b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{Gleichungskette/Pythagoras/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Der Energiebedarf
\zusatzklammer {durch Nahrung} {} {}
eines Menschen beträgt pro Tag etwa
\mathl{12.000 \, kJ}{}
\zusatzklammer {Kilojoule} {} {.}
Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa $3 kWh$ pro $m^2$
\zusatzklammer {$3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter} {} {.}
Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?
}
{
Eine Kilowattstunde sind
\mathl{3600 kJ}{,} die Sonneneinstrahlung pro Quadratmeter ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3 \cdot 3600
}
{ = }{ 10 800
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Kilojoule am Tag. Der Flächenbedarf ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 12000 }{ 10800 } }
}
{ =} { { \frac{ 10 }{ 9 } }
}
{ =} { 1,11...
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Quadratmeter pro Person.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.
}
{
Eine ungerade Zahl $n$ besitzt die Form
\mathl{n=2k+1}{} mit einer ganzen Zahl
\mathl{k}{.} Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 25n^2-17
}
{ =} { 25 (2k+1)^2 -17
}
{ =} { 25 (4k^2+4k+1 ) -17
}
{ =} {25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +25 -17
}
{ =} { 25 \cdot 4 \cdot k(k+1) +8
}
}
{}
{}{.}
Die $8$ hinten ist ein Vielfaches von $8$. Genau eine der beiden Zahlen
\mathkor {} {k} {und} {k+1} {}
ist gerade, also von der Form $2 m$. Daher ist
\mathl{4 \cdot k(k+1)}{} ein Vielfaches von $8$ und somit ist die gesamte Zahl ein Vielfaches von $8$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{
Wegen der ersten Voraussetzung gilt
\mathl{A(0)}{.} Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch
\mathl{A(1)}{.} Deshalb gilt auch
\mathl{A(2)}{.} Deshalb gilt auch
\mathl{A(3)}{.} Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage
\mathl{A(n)}{} für jede natürliche Zahl $n$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es seien
\mathl{x,y}{} rationale Zahlen. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn es ein
\mathl{n \in \Z}{} mit
\mathl{y=x+n}{} gibt.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ = }{ y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{\left \lfloor x \right \rfloor, \left \lfloor y \right \rfloor}{} ganze Zahlen sind, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{\left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ganzzahlig. Damit gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y
}
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (y - \left \lfloor y \right \rfloor )
}
{ =} { \left \lfloor y \right \rfloor + (x - \left \lfloor x \right \rfloor )
}
{ =} { x + \left \lfloor y \right \rfloor - \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ =} { x + n
}
}
{}
{}{.}
Es sei nun
\mathl{y=x+n}{} mit
\mathl{n \in \Z}{.} Aus der definierenden Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ \leq} {x
}
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x \right \rfloor +n
}
{ \leq} {x +n
}
{ <} { \left \lfloor x \right \rfloor + n+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor x+n \right \rfloor
}
{ =} {\left \lfloor x \right \rfloor + n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y- \left \lfloor y \right \rfloor
}
{ =} {x +n - \left \lfloor x+n \right \rfloor
}
{ =} { x+n - ( \left \lfloor x \right \rfloor + n)
}
{ =} { x- \left \lfloor x \right \rfloor
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mathbed {b \in K} {}
{b> 1} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass es dann Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{cd
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ b+1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b+1
}
{ >} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ >} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen sodann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { b \cdot c^{-1}
}
{ =} { { \frac{ 2 b }{ b+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass die geforderte Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b
}
{ =} { c \cdot d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2b
}
{ =} {b+b
}
{ >} {b+1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ >} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz von Bolzano-Weierstraß.
}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_0
}
{ \leq} { x_n
}
{ \leq} { b_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine
\definitionsverweis {Intervallhalbierung}{}{}
derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I_0
}
{ \defeq }{ [a_0,b_0]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei das $k$-te Intervall
\mathl{I_{ k }}{} bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften
\mathdisp {[a_{ k }, \frac{ a_{ k }+b_{ k } }{2}] \text{ und } [ \frac{a_{ k }+b_{ k } }{2},b_{ k }]} { . }
In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall
\mathl{I_{ k +1}}{} eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n_k}
}
{ \in} { I_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_{ k }
}
{ > }{ n_{ k-1 }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach
Aufgabe 7.4 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gegen die durch die
Intervallschachtelung bestimmte Zahl
$x$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I_n
}
{ =} {[a_n,b_n]
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
derart an, dass
\mathl{b_n-a_n}{} eine Nullfolge ist, dass
\mathl{\bigcap_{n\in \N_+} I_n}{} aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
vorliegt.
}
{
Für $n$ gerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a_n,b_n]
}
{ =} { [0, { \frac{ 1 }{ n } } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für $n$ ungerade sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [a_n,b_n]
}
{ =} { [- { \frac{ 1 }{ n } }, 0 ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Intervalllänge ist stets ${ \frac{ 1 }{ n } }$, also bilden diese eine Nullfolge. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{n \in \N_+} [a_n,b_n]
}
{ =} { \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es handelt sich aber nicht um eine Intervallschachtelung, da das folgende Intervall nicht im Vorgängerintervall enthalten ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme die Umkehrfunktion zur linearen Funktion \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { { \mathrm i} z } {.}
}
{
Die Umkehrfunktion ist
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { - { \mathrm i} z
} {,}
da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i} { \left( - { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
$f$ von minimalem Grad mit
\mathdisp {f(0)=0,\, f(1) =1,\, f(2) = 3,\, f(3) = 6} { . }
}
{
Es muss ein interpolierendes Polynom vom Grad $\leq 3$ geben, wir können also den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {ax^3+bx^2+cx+d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
machen, wobei wegen der ersten Bedingung direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Die übrigen Interpolationspunkte liefern das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+b+c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8a+4b+2c
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 27a+9b+3c
}
{ =} { 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{II-2I}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6a+2b
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{III-3I}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 24a +6b
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 8a +2b
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das interpolierende Polynom minimalen Grades ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } x^2+ { \frac{ 1 }{ 2 } }x} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1- \sqrt[k]{2} \right) } \cdot { \left( 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} \right) }
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( 1- \sqrt[k]{2} \right) } \cdot { \left( 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} \right) }
}
{ =} { 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} - \sqrt[k]{2} { \left( 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} \right) }
}
{ =} { 1+ \sqrt[k]{2} + \sqrt[k]{2}^2 + \cdots + \sqrt[k]{2}^{k-2} +\sqrt[k]{2}^{k-1} - \sqrt[k]{2} - \sqrt[k]{2}^2 - \sqrt[k]{2}^3 - \cdots - \sqrt[k]{2}^{k-1} -\sqrt[k]{2}^{k}
}
{ =} { 1 -\sqrt[k]{2}^{k}
}
{ =} {1-2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[-2,-1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/8$.
}
{
ungefähr
\mathl{-1,879}{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine Funktion auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.
}
{
Die Hinrichtung ist klar, da Punkte des Graphen insbesondere zum Epigraphen gehören. Es sei nun die Bedingung für Punkte des Graphen erfüllt und seien
\mathbed {(a,y)} {und}
{(b,z)} {}
{} {} {} {}
Punkte des Epigraphen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Verbindungsgerade zwischen
\mathbed {(a,y)} {und}
{(b,z)} {}
{} {} {} {}
wird durch
\mathbed {(a+x, y + { \frac{ z-y }{ b-a } } x)} {}
{x \in [0, b-a]} {}
{} {} {} {,}
und die Verbindungsgerade zwischen
\mathbed {(a,f(a))} {und}
{(b,f(b))} {}
{} {} {} {}
wird durch
\mathbed {(a+x, f(a) + { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } } x)} {}
{x \in [0, b-a]} {}
{} {} {} {,}
beschrieben, wobei nach Voraussetzung die zweite Strecke sich ganz im Epigraphen bewegt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [0, b-a]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y + { \frac{ z-y }{ b-a } } x
}
{ =} { { \frac{ b-a-x }{ b-a } } y + { \frac{ x }{ b-a } } z
}
{ \geq} {{ \frac{ b-a-x }{ b-a } } f(a) + { \frac{ x }{ b-a } } f(b)
}
{ =} {f(a) + { \frac{ f(b)-f(a) }{ b-a } } x
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
daher bewegt sich auch die erste Strecke im Epigraphen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Nach
Definition .
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^x
}
{ =} { \exp \left( x \, \ln a \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
[[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
unter Verwendung
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( a^x \right) }'
}
{ =} { { \left( \exp \left( x \, \ln a \right) \right) }'
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp' (x \, \ln a )
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } \exp \left( x \, \ln a \right)
}
{ =} { { \left( \ln a \right) } a^x
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $2$ zur \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ x^2+6x+1 }{ 4x +4 } } } {,} im Entwicklungspunkt $1$.
}
{
Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ (2x+6)( 4x+4) - 4 (x^2 +6x+1 ) }{ (4x+4 )^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 4x^2 +8x + 20 }{ 16(x^2+2x+1) } }
}
{ =} { { \frac{ x^2 +2x + 5 }{ 4 (x^2+2x+1) } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { { \frac{ 4 (2x +2)(x^2+2x+1) - 4 (x^2 +2x + 5 ) (2 x +2) }{ 16 (x^2+2x+1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ (2x +2) { \left( (x^2+2x+1) - (x^2 +2x + 5 ) \right) } }{ 4 (x^2+2x+1)^2 } }
}
{ =} { - { \frac{ 2x +2 }{ (x^2+2x+1)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(1)
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (1)
}
{ =} { { \frac{ - 4 }{ 16 } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist das gesuchte Taylor-Polynom gleich
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } (x-1) - { \frac{ 1 }{ 8 } } (x-1)^2} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise die Newton-Leibniz-Formel.
}
{
Aufgrund von
Satz 23.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
existiert das Integral. Mit der
\definitionsverweis {Integralfunktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(x)
}
{ \defeq} { \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { G(b)
}
{ =} { G(b) - G(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund von
Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist $G$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G'(x)
}
{ =} { f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $G$ ist eine Stammfunktion von $f$. Wegen
Lemma 24.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ = }{ G(x)+c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t
}
{ =} { G(b) - G(a)
}
{ =} { F(b) - c - F(a) + c
}
{ =} { F(b) -F(a)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Zeige durch Induktion nach $n$ unter Verwendung
der partiellen Integration
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 x^m (1-x)^n dx
}
{ =} { { \frac{ m! n! }{ (m+n+1)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebiges $m$ ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_0^1 x^m (1-x)^n dx
}
{ =} { \int_0^1 x^m dx
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ m+1 } } x^{m+1} | _{ 0 } ^{ 1 }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ m+1 } }
}
{ =} { { \frac{ m! 0! }{ (m+0+1)! } }
}
}
{}
{}{,}
dies sichert den Induktionsanfang. Es sei nun die Aussage für ein festes $n$ und beliebiges $m$ schon bewiesen und es ist
\mathl{\int_0^1 x^m (1-x)^{n+1} dx}{} zu bestimmen. Wir wenden darauf
partielle Integration
an, wobei wir für $x^m$ die Stammfunktion ${ \frac{ 1 }{ m+1 } } x^{m+1}$ und für
\mathl{(1-x)^{n+1}}{} die Ableitung
\mathl{-(n+1)(1-x)^n}{} heranziehen. Es ist dann unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \int_0^1 x^m (1-x)^{n+1} dx
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ m+1 } } x^{m+1}(1-x)^{n+1} | _{ 0 } ^{ 1 } + { \frac{ n+1 }{ m+1 } } \int_0^1 x^{m+1} (1-x)^{n} dx
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ m+1 } } \int_0^1 x^{m+1} (1-x)^{n} dx
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ m+1 } } { \frac{ (m +1)! n! }{ (m+1+n+1)! } }
}
{ =} { { \frac{ m! (n+1)! }{ (m+(n+1)+2)! } }
}
}
{}
{}{,}
was die Behauptung ergibt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R_+
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Finde eine
\definitionsverweis {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{,}
für die $f$ eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
ist.
}
{
Die Funktion $f$ ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { { \frac{ f' }{ f } } y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist diese wohldefiniert. Einsetzen von $f$ zeigt unmittelbar, dass eine Lösung vorliegt.
}