Kurs:Analysis/Teil I/31/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 10 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
mit einem
\definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}
}{Eine \stichwort {lineare} {} (oder \stichwort {totale} {}) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Ein
\stichwort {Berührpunkt} {}
einer Menge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Die
\stichwort {Taylor-Reihe} {}
zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K}
} {}
auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb K}}{} in einem Punkt
\mathl{a \in U}{.}
}{Das
\stichwort {obere Treppenintegral} {}
zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{x \in M}{} heißt
\mathl{y \in M}{} inverses Element, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \circ y
}
{ =} { e
}
{ =} {y \circ x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Eine
\definitionsverweis {Ordnungsrelation}{}{}
$\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen
\mathl{x,y \in I}{} die Beziehung
\mathkor {} {x \preccurlyeq y} {oder} {y \preccurlyeq x} {}
gilt.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ z } = a-b { \mathrm i}
} {,}
heißt komplexe Konjugation.
}{Ein Punkt
\mathl{x \in {\mathbb K}}{} heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge
\mathl{x_n \in T}{} gibt, die gegen
\mathl{x}{} konvergiert.
}{Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { . }
}{Zur
\definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {t} {I} {\R
} {}
von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
heißt das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
\mathdisp {T= \sum_{i=1}^n t_i (a_i - a_{i-1})} { }
eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Quetschkriterium} {}
für reelle Folgen.}{Der
\stichwort {Satz über die lineare Approximierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}}{Die
\stichwort {Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
reelle Folgen. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N} { }
und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Die Funktion $f$ ist in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein
\mathl{s \in {\mathbb K}}{} und eine Funktion
\maabbdisp {r} { {\mathbb K} } { {\mathbb K}
} {}
gibt mit $r$ stetig in $a$ und
\mathl{r(a)=0}{} und mit
\mathdisp {f(x) = f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)} { . }
}{Es sei
\maabb {f} {[a,b]} {[c,d]
} {}
eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(y)
}
{ \defeq} { y f^{-1} (y) - F(f^{-1}(y))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion
\mathl{f^{-1}}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
$E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte. \aufzaehlungsechs{Der Mörder ist $A$ oder $B$ oder $C$ oder $D$. }{Wenn $C$ der Mörder ist, dann ist $D$ nicht der Mörder oder $A$ ist der Mörder. }{$A,B,C,D$ sind alle verschieden. }{Es gibt genau einen Mörder. }{Wenn $A$ nicht der Mörder ist, dann ist $D$ nicht der Mörder. }{$A$ ist genau dann der Mörder, wenn $B$ der Mörder ist. } Wer ist der Mörder?
}
{
Aus (6), (3) und (4) folgt, dass $A$ und $B$ beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch $D$ nicht der Mörder. Wegen (1) muss also $C$ der Mörder sein. \zusatzklammer {(2) wird nicht verwendet} {.} {}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige durch Induktion über $n$, dass es zu natürlichen Zahlen $a,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
natürliche Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { aq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es sei
\mathl{a >0}{} fixiert. Der Induktionsanfang ergibt sich direkt mit
\mathl{q=0}{} und
\mathl{r=n=0}{.} Für den Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung
\mathl{n=aq+r}{} mit
\mathl{r <a}{} und müssen eine ebensolche Darstellung für
\mathl{n+1}{} finden. Wenn
\mathl{r < a-1}{} ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n+1
}
{ =} {aq+r +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wegen
\mathl{r+1 <a}{} ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen
\mathl{r=a-1}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n+1
}
{ =} {aq+r +1
}
{ =} {aq +a
}
{ =} {a(q+1) +0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und dies ist eine gesuchte Darstellung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{21,7}{} Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{8,6}{} Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?
}
{
Der Anteil am weltweiten Gold ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 86 }{ 217 } \right)^3
}
{ =} { 0,396^3
}
{ =} {0 ,062
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also etwa
\mathl{6,2 \%}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die Lösungsmenge in $\Q$ für die Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 7x-5 }
}
{ >} { \betrag { 6x-7 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir analysieren die Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 7x-5 }
}
{ >} { \betrag { 6x-7 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7x-5
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ { \frac{ 5 }{ 7 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6x-7
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \geq }{ { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 7 } }
}
{ < }{ { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
führt dies auf die folgenden Fälle.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} { { \frac{ 5 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann muss man die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - (7x-5)
}
{ >} { -( 6x-7)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
betrachten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7x-5
}
{ <} {6x-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ <} { -2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gehört
\mathl{{ \left\{ x \in \Q \mid x < -2 \right\} }}{} zur Lösungsmenge.
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 7 } }
}
{ \leq} {x
}
{ \leq} { { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann muss man die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5
}
{ >} { -( 6x-7)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
betrachten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5
}
{ >} { -6x +7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{13 x
}
{ >} { 12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ >} { { \frac{ 12 }{ 13 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 7 } }
}
{ <} { { \frac{ 12 }{ 13 } }
}
{ <} { { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt dies auf die Lösungen
\mathl{{ \left\{ x \in \Q \mid { \frac{ 12 }{ 13 } } < x \leq { \frac{ 7 }{ 6 } } \right\} }}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ >} { { \frac{ 7 }{ 6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann muss man die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5
}
{ >} { 6x-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
betrachten, die auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ >} { -2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
führt. Also in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört
\mathl{{ \left\{ x \in \Q \mid x \geq { \frac{ 7 }{ 6 } } \right\} }}{} zur Lösungsmenge.
}
Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen $x \in \Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{-2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{ { \frac{ 12 }{ 13 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
}
{
Wir betrachten zusätzlich die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem Faktor
\mathl{<1}{} ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach
Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen $x$ bzw. $y$. Die Produktfolge ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_ny_n
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } \right) } { \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 2 }{ 3 } }\cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdots { \frac{ 2n }{ 2n+1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2n+1 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Diese Folge konvergiert gegen $0$, somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xy
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) (2).
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n}
}
{ >} {x_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
da man die beteiligten $n$ Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{}
in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ = }{ [a_n,b_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist. Zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei $n_0$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_{n_0}- a_{n_0}
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n }
}
{ \leq} {b_n-a_n
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_m,x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es sei $x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \notin }{I_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $m$, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} {a_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {oder \mathlk{x > b_m}{}} {} {,}
doch wegen der Konvergenz der Folge gegen $x$ würden dann auch die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß echt unterhalb von $a_m$ und damit von $a_n$ liegen, im Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{\bigcap_{n \in \N} I_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Würden zwei Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-x
}
{ \leq} { b_n-a_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen $0$ konvergieren.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $z \in {\mathbb C},\, \betrag { z } <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k} { . }
}
{
Nach
Satz 9.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum^\infty_{k = 0} x^k
}
{ =} { \frac{ 1 }{ 1-x }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k
}
{ =} { \frac{ 1 }{ 1-(-z )}
}
{ =} { \frac{ 1 }{ 1+z }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k
}
{ =} { \frac{ 1 }{ 1+z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (4+1+1)}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } }
}
{ =} { \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge?
}{Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 - 5 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ -4 }{ 4 } }
}
{ =} {-1
}
}
{}
{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } \cdot \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } + \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ =} { \ln 1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ =} { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Durch Übergang zu den Beträgen erhält man Gleichheit.
}{Nach Teil (1) gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ =} { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Logarithmen nicht $0$ sind, gilt diese Gleichung nicht, wenn man das vordere Minuszeichen weglässt.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{5}
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
somit ist
\mathl{{ \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } }}{} negativ. Davon ist der Logarithmus gar nicht definiert, man kann also die inneren Beträge nicht weglassen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Unter den Voraussetzungen wird die
Taylor-Formel
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)-f(a)
}
{ =} { \frac{ f^{ (n +1) } ( c )}{ (n +1)! } (x-a)^{ n +1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $c$
\zusatzklammer {abhängig von $x$} {} {}
zwischen
\mathkor {} {a} {und} {x} {.}
Je nachdem, ob
\mathkor {} {f^{(n+1)}(a)>0} {oder} {f^{(n+1)}(a) < 0} {}
ist, gilt auch
\zusatzklammer {wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der $(n+1)$-ten Ableitung} {} {}
\mathkor {} {f^{(n+1)}(x)>0} {bzw.} {f^{(n+1)}(x) < 0} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[a-\epsilon,a+\epsilon]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein geeignetes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese $x$ ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ [a-\epsilon,a+\epsilon]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} vom Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(a)}{} abhängt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Bei $n$ gerade ist
\mathl{n+1}{} ungerade und daher wechselt
\mathl{(x-a)^{n+1}}{} das Vorzeichen bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Vorzeichen negativ und bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ > }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist es positiv} {} {.}
Da das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von
\mathl{f(x)-f(a)}{.} Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $n$ ungerade. Dann ist
\mathl{n+1}{} gerade, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x-a)^{n+1}
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ > }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes Minimum}{}{}
vorliegt, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a)
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ < }{ f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und in $a$ ein
\definitionsverweis {isoliertes Maximum}{}{}
vorliegt.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10 (1+1+4+2+2)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0}
} {x} { \sqrt{x}
} {.}
\aufzaehlungfuenf{Berechne die erste Ableitung von $f$.
}{Berechne die zweite Ableitung von $f$.
}{Erstelle
\zusatzklammer {und beweise} {} {}
eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}{Bestimme das
\definitionsverweis {Taylorpolynom}{}{}
zu $f$ im Punkt $1$ vom Grad $4$.
}{Bestimme die Taylorreihe zu $f$ im Punkt $1$.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (x)
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 4 } } x^{ - { \frac{ 3 }{ 2 } } }
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{x}^3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x)
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{x}^{2n-1} } }
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2n }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies beweisen wir durch Induktion nach $n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert
\zusatzklammer {das leere Produkt ist $1$} {} {.}
Der Induktionsschluss ergibt sich durch
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{(n+1)} (x)
}
{ =} { { \left( f^{(n)} (x) \right) }'
}
{ =} { { \left( (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2n }{ 2 } } } \right) }'
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot { \frac{ 1-2n }{ 2 } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2n-2 }{ 2 } } }
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot (-1) { \frac{ 2n-1 }{ 2 } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2(n+1) }{ 2 } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-1} (2k+1) }{ 2^{n+1} } } x^{ { \frac{ 1-2(n+1) }{ 2 } } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}{Das Taylorpolynom vom Grad $4$ mit Entwicklungspunkt $1$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } (x-1) - { \frac{ 1 }{ 2 \cdot 2 } } (x-1)^2 + { \frac{ 3 }{ 8 \cdot 6 } } (x-1)^3 -{ \frac{ 15 }{ 16 \cdot 24 } } (x-1)^4
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } (x-1) - { \frac{ 1 }{ 4 } } (x-1)^2 + { \frac{ 1 }{ 16 } } (x-1)^3 -{ \frac{ 5 }{ 128 } } (x-1)^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der $n$-te Koeffizient der Taylorreihe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n n! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, also ist die Taylorreihe gleich
\mathdisp {1 + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n n! } } (x-1)^n} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
}
{
\definitionsverweis {Ableiten}{}{}
unter Verwendung von
[[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Analysis/Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
und
Satz 18.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( y f^{-1}(y) - F { \left( f^{-1} (y) \right) } \right) }'
}
{ =} { f^{-1}(y) + y { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1}(y)) } } - f { \left( f^{-1}(y) \right) } { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } }
}
{ =} { f^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathdisp {\sin \left( \sin \left( \cos x \right) \right) \cdot \cos \left( \cos x \right) \cdot \sin x} { . }
}
{
Die Funktion hat die Gestalt
\mathdisp {f (g(h(x))) \cdot g' (h(x)) \cdot ( - h'(x))} { , }
deshalb ist nach der Kettenregel
\zusatzklammer {für drei Funktionen} {} {}
\mathl{- F(g(h(x)))}{} eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ bezeichnet. Also ist
\mathdisp {\cos \left( \sin \left( \cos x \right) \right)} { }
eine Stammfunktion.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Finde die Lösung für das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { y - y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ ]0,1[
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(0)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ y-y^2 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ y } } + { \frac{ 1 }{ 1-y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine Stammfunktion davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H(y)
}
{ =} { \ln y - \ln \left( 1-y \right)
}
{ =} { \ln \left( { \frac{ y }{ 1-y } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \ln \left( { \frac{ y }{ 1-y } } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^z
}
{ =} { { \frac{ y }{ 1-y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1-y)e^z -y
}
{ =} { y(- e^z-1) +e^z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { { \frac{ e^z }{ e^z+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungsfunktionen haben daher die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { { \frac{ e^{t+c} }{ e^{t+c}+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(0)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ e^{c} }{ e^{c}+1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { { \frac{ e^{t} }{ e^{t}+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}