Kurs:Analysis/Teil I/33/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	5	4	4	4	3	5	5	4	3	4	4	5	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das folgende Minisudoku
${\begin{pmatrix}-&-&2&-\\3&-&-&4\\-&-&-&-\\-&4&-&1\end{pmatrix}}.$
Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige

{}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}2^{j}=3^{n}\,

durch Induktion.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

{}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

,

{}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}

,

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}b$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}g$	${}c$	${}d$

{}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

,

{}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}

,

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}\,$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

{}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}

,

{}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}

,

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
${}\varphi (x)$	${}c$	${}f$	${}d$	${}e$	${}h$	${}b$	${}a$

{}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}

,

{}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}

,

${}x$	${}3$	${}7$	${}1$	${}4$	${}6$	${}8$	${}5$	${}2$
${}\varphi (x)$	${}c$	${}d$	${}f$	${}a$	${}e$	${}h$	${}b$	${}g$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Mustafa Müller schreibt die natürlichen Zahlen

0,1,2,3,\ldots ,998,999,1000

hintereinander auf. Wie oft kommt dabei die Ziffern ${}0,1,2,\ldots ,9$ vor? Wie viele Kommata setzt er?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge in ${}K$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge in ${}K$ . Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche

{\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{  und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Untersuche die Folge

{}x_{n}={\sqrt {n}}\cdot {\sqrt {n+1}}-n\,

auf Konvergenz.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ . Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

Die Funktion ${}f$ ist durch ihre Werte auf ${}\mathbb {Q}$ eindeutig festgelegt.
Der Funktionswert ${}f(a)$ ist durch die Funktionswerte ${}f(x)$ , ${}x\neq a$ , festgelegt.
Wenn für alle ${}x<a$ die Abschätzung
${}f(x)\leq c\,$

gilt, so gilt auch

${}f(a)\leq c\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ . Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.