Kurs:Analysis/Teil I/40/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	1	3	2	5	3	1	2	3	4	6	9	4	2	4	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Beurteile die Snookerweisheit „Ein Snookerspiel kann man in der ersten Session nicht gewinnen, aber verlieren“ vom logischen Standpunkt aus.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht ${}117$ und Old Shatterhand sieht ${}94$ Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen ${}39$ nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit „unserer“ Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art „Ordnung“ auf den rationalen Zahlen, die sie mit ${}\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen ${}\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen

${}0\succeq x\,$

für jede rationale Zahl ${}x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die ${}0$ als heilig verehren.

Zeige, dass ${}\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Für je zwei Elemente ${}a,b\in \mathbb {Q}$ gilt entweder ${}a\succ b$ oder ${}a=b$ oder ${}b\succ a$.
2. Aus ${}a\succeq b$ und ${}b\succeq c$ folgt ${}a\succeq c$ (für beliebige ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$).
3. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}a+b\succeq 0$.
4. Aus ${}a\succeq 0$ und ${}b\succeq 0$ folgt ${}ab\succeq 0$.

Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt ${}(\mathbb {Q} ,\succeq )$ nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne die Gaußklammer

$\left\lfloor {\frac {487}{23}}\right\rfloor .$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=3$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (9 (1+2+3+3) Punkte)Referenznummer erstellen

In der folgenden Aufgabe sollen Personen in der Ebene so platziert werden, dass je zwei Personen zueinander einen Abstand von zumindest ${}2$ haben (alle Angaben beziehen sich auf Meter). Die Personen bzw. ihre Platzierung sind dabei durch einen Punkt gegeben.

1. Zeige, dass man auf einem quadratischen ${}10\times 10$-Platz ${}36$ Leute platzieren kann (Randpunkte sind erlaubt).
2. Was ist falsch am folgenden Argument: „Auf einem ${}10\times 10$-Platz kann man höchstens ${}33$ Leute platzieren. Zu jeder Person gehört nämlich ein Umkreis mit Radius ${}1$, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt ${}\pi \cdot 1^{2}=\pi$. Diese Flächen liegen ganz in der Gesamtfläche der Größe ${}10\cdot 10=100$. Wegen

   ${}32\cdot \pi \geq 32\cdot 3,14=100,48>100\,$

   ist dies nicht möglich.“

3. Zeige, dass man auf einem ${}10\times 10$-Platz definitiv nicht ${}46$ Leute platzieren kann.
4. Zeige, dass man auf einem ${}10\times 10,5$-Platz ${}39$ Leute platzieren kann.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Regel von l'Hospital.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

$g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

differenzierbare Funktionen und

${}f(x):={\frac {g(x)}{h(x)^{n}}}\,$

mit ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass man die Ableitung von ${}f$ als einen Bruch mit ${}h^{n+1}(x)$ im Nenner schreiben kann.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,$

ein normiertes Polynom vom Grad ${}4$. Charakterisiere durch eine Bedingung an die Koeffizienten ${}a,b,c,d$ die Eigenschaft, dass ${}f$ Wendepunkte besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion zur Funktion (${}x\neq 7$)

${}f(x)={\frac {x^{2}+3x+4}{x-7}}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.