Kurs:Analysis/Teil I/41/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 8 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Kommutativität} {} einer Verknüpfung \maabbdisp {\circ} {M \times M} {M } {.}
}{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Die \stichwort {Eulersche Zahl} {.}
}{Ein
\stichwort {Berührpunkt} {}
einer Menge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}
}{Das \stichwort {Cauchy-Produkt} {} von zwei komplexen Reihen.
}{Die \stichwort {Differenzierbarkeit in einem Punkt} {} $a \in {\mathbb K}$ einer Abbildung \maabb {f} {{\mathbb K} } {{\mathbb K} } {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
heißt kommutativ, wenn für alle
\mathl{x,y \in M}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \circ y
}
{ =} { y \circ x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}{Der Binomialkoeffizient ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { n } { k }
}
{ =} {{ \frac{ n ! }{ k ! ( n - k)! } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Die Eulersche Zahl ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}{Ein Punkt
\mathl{x \in {\mathbb K}}{} heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge
\mathl{x_n \in T}{} gibt, die gegen
\mathl{x}{} konvergiert.
}{Zu zwei
\definitionsverweis {Reihen}{}{}
\mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {}
\definitionsverweis {komplexer Zahlen}{}{}
heißt die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } \text{ mit } c_k = \sum_{ i = 0 }^{ k } a_i b_{k-i}} { }
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
}{Man sagt, dass $f$ differenzierbar in $a$ ist, wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \in D \setminus \{ a \} , \, x \rightarrow a } \, \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }} { }
existiert.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das Induktionsprinzip für Aussagen.}{Der
\stichwort {Identitätssatz für Potenzreihen} {.}}{Der \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für eine stetige Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für jede natürliche Zahl
$n$ sei eine Aussage
\mathl{A(n)}{} gegeben. Es gelte
\aufzaehlungzwei {$A(0)$ ist wahr.
} {Für alle $n$ gilt: wenn
\mathl{A(n)}{} gilt, so ist auch
\mathl{A(n+1)}{} wahr.
}
Dann gilt
\mathl{A(n)}{} für alle $n$.}{Es seien
\mathl{f=\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }}{} und
\mathl{g=\sum _{ n= 0}^\infty b_n z^{ n }}{} Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein
\mathl{\epsilon > 0}{} gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
\maabbdisp {f,g} {U { \left( 0,\epsilon \right) }} {{\mathbb K}
} {}
übereinstimmen. Dann ist
\mathl{a_n=b_n}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.}}{Satzantwort
Für einen beliebigen Punkt
\mathl{a \in I}{} ist die Integralfunktion
\mathdisp {F(x) := \int_{ a }^{ x } f ( t) \, d t} { }
differenzierbar
und es gilt
\mathdisp {F'(x)=f(x)} { }
für alle
\mathl{x \in I}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Mengen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n
}
{ =} { T_n \setminus { \left( \bigcup_{i = 1}^{n-1} T_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i = 1}^{n} T_i
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^{n} S_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass die Vereinigung
\mathl{\bigcup_{i = 1}^{n} S_i}{} disjunkt ist, dass also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n \cap S_k
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
a) Wegen
\mathl{S_n \subseteq T_n}{} gilt
\mathl{\supseteq}{.} Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei
\mathl{x \in \bigcup_{i = 1}^{n} T_i}{.} Dann gibt es ein $i$ zwischen $1$ und $n$ mit
\mathl{x \in T_i}{} und damit auch ein minimales $k$ mit dieser Eigenschaft. Es ist also
\mathl{x \in T_k}{,} aber
\mathl{x \not\in T_i}{} für
\mathl{i<k}{.} Damit ist
\mathl{x \in T_k \setminus \bigcup_{i = 1}^{k-1}T_i =S_k}{} und insbesondere
\mathl{x \in \bigcup_{i = 1}^{n} S_i}{.}
b) Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \neq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{x \in S_n =T_n \setminus \bigcup_{i = 1}^{n-1} T_i}{.} Dann ist
\mathl{x \in T_n}{} und
\mathl{x \not\in T_i}{} für
\mathl{i < n}{.} Also ist insbesondere
\mathl{x \not\in T_k}{} und damit auch
\mathl{x \not\in S_k}{.} Also sind $S_n$ und $S_k$ disjunkt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
In der folgenden Argumentation wird durch Induktion bewiesen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben.
\anfuehrung{Es sei $A(n)$ die Aussage, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Induktionsanfang: Wenn nur ein Pferd da ist, so hat dieses eine bestimmte Farbe und die Aussage ist richtig. Für den Induktionsschritt sei vorausgesetzt, dass je $n$ Pferde stets untereinander die gleiche Farbe haben. Es seien jetzt
\mathl{n+1}{} Pferde gegeben. Wenn man eines herausnimmt, so weiß man nach der Induktionsvoraussetzung, dass die verbleibenden $n$ Pferde untereinander die gleiche Farbe haben. Nimmt man ein anderes Pferd heraus, so haben die jetzt verbleibenden Pferde wiederum untereinander die gleiche Farbe. Also haben all diese
\mathl{n+1}{} Pferde überhaupt die gleiche Farbe}{.} Analysiere diese Argumentation.
}
{Pferde/Farbe/Induktion/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ cm. Die Flaschenöffnung hat einen \zusatzklammer {inneren} {} {} Durchmesser von $2$ cm und die Flasche hat einen Durchmesser von $6$ cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht \zusatzklammer {gemessen in Zentimetern} {} {?}
}
{
Der Wasserinhalt in der Flasche ist
\mathdisp {\pi \cdot 3^ 2 \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } }} { . }
Diese Menge muss durch die Flaschenöffnung eingegangen sein, so dass sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi \cdot 3^2 \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { \pi \cdot 1^2 \cdot h
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt, wobei $h$ die Regenmengenhöhe ist. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { 3^2 \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel.
}
{
Wir führen Induktion nach $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b)^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^0b^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ (a+b)^{n+1}
}
{ =} { (a+b) (a+b)^n
}
{ =} { (a+b) { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { a { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) } + b { \left( \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k} \right) }
}
{ =} { \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k+1} b^{n - k} + \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } a^{k} b^{n - k+1} + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } { \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k} + b^{n+1}
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } a^{k} b^{n+1 - k}
}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{a
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gebe ein $N$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n+1} - x_n }
}
{ \leq} { a^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
ist.
}
{
Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n+1} - x_n }
}
{ \leq} { a^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gilt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_m -x_n }
}
{ =} { \betrag { x_{n+1} -x_n } + \betrag { x_{n+2} -x_{n+1} } + \cdots + \betrag { x_{m-1} -x_{m-2} } +\betrag { x_m -x_{m-1} }
}
{ \leq} { a^n + a^{n+1} + \cdots + a^{m-2} + a^{m-1}
}
{ =} { a^n { \left( 1+a + \cdots + a^{m-n-2} + a^{m-n-1} \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der rechte Faktor ist dabei
\zusatzklammer {endliche geometrische Reihe} {} {}
gleich
\mathl{{ \frac{ 1-a^{m-n} }{ 1-a } }}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ a
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Nenner wohldefiniert und
\mathl{a^{m-n}}{} ist $\geq 0$, also kann man diesen Faktor nach oben durch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1-a } }}{} abschätzen. Insgesamt haben wir also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m -x_n }
}
{ \leq} { a^n \cdot { \frac{ 1 }{ 1-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Aufgabe 5.28 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist $a^n$ eine Nullfolge und dies gilt auch für
\mathl{a^n \cdot{ \frac{ 1 }{ 1-a } }}{,} da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Dann gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^n \cdot{ \frac{ 1 }{ 1-a } }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{ n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m -x_n }
}
{ \leq} { a^n \cdot{ \frac{ 1 }{ 1-a } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{[a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$. Beschreibe die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Intervall.
}
{
Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { [- b ,- a ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Negationsabbildung
\mathl{x \mapsto - x}{} ist streng fallend. Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{M
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - x \in [a,b] \right\} }
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a \leq - x \leq b \right\} }
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid - a \geq - { \left( - x \right) } \geq - b \right\} }
}
{ =} {{ \left\{ x \in K \mid - a\geq x \geq -b \right\} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { [ -b,-a ]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei $P \in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{
Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit verschiedenen $a_i$ und führen Induktion über den Grad $d=\sum_{j=1}^r n_j$ von $P$. Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms $Q$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {QT
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(a_1) \cdot Q(a_1)
}
{ =} { P(a_1)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt
\mathkor {} {T(a_1) = 0} {oder} {Q(a_1) = 0} {.}
Nach
Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
bedeutet dies, dass
\mathkor {} {T} {oder} {Q} {}
von $X-a_1$ geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} {(X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T Q' (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'
}
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T Q'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir können auf $P'$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} {T' (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { (X-a_1) T' Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'
}
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T' Q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $P'$ bedeutet, dass $T'$ in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus $P'$ mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von $P'$ beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu
\mathl{X-a_j}{} in $P$ und in $P'$ für
\mathl{j \geq 2}{} übereinstimmen und die Vielfachheit von
\mathl{X-a_1}{} sich um $1$ reduziert, dies aber auch beim Übergang von $T$ nach $T'$ zutrifft, folgt die Aussage.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/8$.
}
{
ungefähr
\mathl{0,347}{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die lineare Approximation einer Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K}
} {}
in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}
}
{
Wenn $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, so setzen wir
\mathl{s:=f'(a)}{.} Für die Funktion $r$ muss notwendigerweise
\mathdisp {r(x) =\begin{cases} \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } - s \text{ für } x \neq a\, , \\ 0 \text{ für } x=a \, , \end{cases}} { }
gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in {\mathbb K} \setminus \{a\} } r(x)
}
{ =} { \operatorname{lim}_{ x \rightarrow a , \, x \in {\mathbb K} \setminus \{a\} } { \left( \frac{ f (x )-f (a) }{ x -a }-s \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und hat den Wert $0$. Dies bedeutet, dass $r$ in $a$ stetig ist.
Wenn umgekehrt
\mathkor {} {s} {und} {r} {}
mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für
\mathl{x \neq a}{} die Beziehung
\mathdisp {\frac{ f (x )-f (a) }{ x -a } = s + r(x)} { . }
Da $r$ stetig in $a$ ist, muss auch der Limes links für
\mathl{x \rightarrow a}{} existieren.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+2+3)}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ =} {x^4-x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die Nullstellen der Funktion.
}{Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist.
}{Bestimme die Extrema der Funktion.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4-x^3
}
{ =} { x^3(x-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deshalb gibt es die beiden Nullstellen
\mathkor {} {0} {und} {1} {.}
}{Wir arbeiten weiter mit der Faktorzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4-x^3
}
{ =} { x^3(x-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für negatives $x$ sind beide Faktoren negativ, daher ist ihr Produkt positiv. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{]0,1[
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Faktor $x^3$ positiv und der Faktor $x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind beide Faktoren positiv und somit ist die Funktion in diesem Abschnitt positiv.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F'(x)
}
{ =} {4x^3-3x^2
}
{ =} { x^2(4x-3)
}
{ =} { 4 x^2{ \left( x- { \frac{ 3 }{ 4 } } \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Nullstellen der Ableitung sind also
\mathkor {} {0} {und} {{ \frac{ 3 }{ 4 } }} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es kein Extremum, da dort nach Teil (2) ein Übergang von positiv nach negativ stattfindet. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{{ \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ziehen wir die zweite Ableitung heran, diese ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^{\prime \prime}(x)
}
{ =} { 12x^2-6x
}
{ =} { 6x(2x-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und hat wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } -1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ >} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
dort einen positiven Wert. Also liegt in ${ \frac{ 3 }{ 4 } }$ ein lokales Minimum vor, das wegen der Überlegungen aus Teil (2) auch ein absolutes Minimum ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}
}
{
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir
Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
anwenden und erhalten mit
[[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln' (x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp' ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp ( \ln x) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sqrt{x^3-x+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das Taylorpolynom zu $f$ vom Grad $2$ im Entwicklungspunkt $2$.
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sqrt{x^3-x+2}
}
{ =} { { \left( x^3-x+2 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(2)
}
{ = }{ \sqrt{8}
}
{ = }{ 2 \sqrt{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f'(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot { \left( 3x^2-1 \right) }
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2 { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(2)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } 8^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot 11
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 2 \cdot 8^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } } }
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 4 \sqrt{2} } }
}
{ =} { { \frac{ 11 \sqrt{2} }{ 8 } }
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime } (x)
}
{ =} { 3 x { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } - { \frac{ 3 }{ 4 } } x^2 { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } { \left( 3x^2-1 \right) } + { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } { \left( 3x^2-1 \right) }
}
{ =} { 3 x { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } + { \frac{ -3 x^2 +1 }{ 4 } } { \left( x^3-x+2 \right) }^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } { \left( 3x^2-1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und insbesondere
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{\prime \prime }(2)
}
{ =} { 6 \cdot 8^{- { \frac{ 1 }{ 2 } } } - { \frac{ 11 }{ 4 } } \cdot 8^{- { \frac{ 3 }{ 2 } } } \cdot 11
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ \sqrt{2} } } - { \frac{ 121 }{ 4 \cdot 8^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } } } }
}
{ =} { { \frac{ 3 \sqrt{2} }{ 2 } } - { \frac{ 121 }{ 64 \cdot \sqrt{ 2 } } }
}
{ =} { { \frac{ 192 \sqrt{2} }{ 128 } } - { \frac{ 121 \sqrt{2} }{ 128 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 71 \sqrt{2} }{ 128 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Somit ist das Taylorpolynom vom Grad $2$ im Entwicklungspunkt $2$ gleich
\mathdisp {2 \sqrt{2} + { \frac{ 11 \sqrt{2} }{ 8 } } (x-2) + { \frac{ 71 \sqrt{2} }{ 256 } } (x-2)^2} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8 (2+4+2)}
{
Wir betrachten die Sinusfunktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{} und den oberen Halbkreis
\zusatzklammer {mit Radius ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$} {} {}
oberhalb dieses Intervalls.
\aufzaehlungdrei{Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion
\mathl{g(x)}{.}
}{Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ \geq} {f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[0, \pi]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Tipp: Betrachte die Situation für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/6
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi/6
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es handelt sich um den oberen Halbkreis mit dem Mittelpunkt
\mathl{( \pi/2,0)}{} und dem Radius $\pi/2$. Für die Punkte
\mathl{(x,y)}{} auf dem Kreisbogen gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x - { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^2 +y^2
}
{ =} { { \frac{ \pi^2 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist der obere Halbbogen der Graph der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} { \sqrt{ { \frac{ \pi^2 }{ 4 } } - { \left( x - { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }^2 }
}
{ =} { \sqrt{ -x^2 +x \pi }
}
{ =} { \sqrt{ x( \pi -x) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{ x( \pi -x) }
}
{ \geq} { \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{} zu zeigen, wobei die Situation symmetrisch zur Achse durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da beide Funktionen nichtnegativ sind, genügt es, die quadrierte Abschätzung nachzuweisen, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x( \pi -x)
}
{ \geq} { \sin^{ 2 } x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beide Funktionen sind auf
\mathl{[0, \pi/2]}{} streng wachsend und haben im Nullpunkt den Wert $0$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi/6
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{ \pi/2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x( \pi -x)
}
{ \geq} { { \frac{ \pi }{ 6 } } { \left( \pi - { \frac{ \pi }{ 6 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ \pi }{ 6 } } \cdot { \frac{ 5 \pi }{ 6 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 \pi^2 }{ 36 } }
}
{ >} { 1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \geq} { \sin^{ 2 } x
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ x
}
{ \leq }{ \pi/6
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vergleichen wir die Ableitungen der quadrierten FUnktionen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( -x^2+ \pi x )'
}
{ =} {- 2x + \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \sin^{ 2 } x )'
}
{ =} { 2 \sin x \cos x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im angegebenen Bereich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2x + \pi
}
{ \geq} { -2 { \frac{ \pi }{ 6 } } + \pi
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \pi
}
{ >} {2
}
{ \geq} { 2 \sin x \cos x
}
}
{}{}{,}
die Funktion $g^2$ wächst also schneller als
\mathl{\sin^{ 2 } x}{} und somit gilt auch in diesem Abschnitt die Abschätzung.
}{Der Flächeninhalt unter dem Kreisbogen ist der halbe Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $\pi/2$, also gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 2 } } \pi \left( \frac{ \pi }{ 2 } \right)^2
}
{ =} { { \frac{ \pi^3 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Flächeninhalt unter dem Sinusbogen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_0^{\pi} \sin x dx
}
{ =} { - \cos x | _{ 0 } ^{ \pi }
}
{ =} { 1 +1
}
{ =} {2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit gleich
\mathdisp {{ \frac{ \pi^3 }{ 8 } } -2} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass auf die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {t+y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht der Lösungsansatz für getrennte Variablen anwendbar ist.
}
{
Wir zeigen, dass es keine Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t+y
}
{ =} { f(t,y)
}
{ =} { g(t) h(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Funktionen
\mathkor {} {g(t)} {und} {h(y)} {}
geben kann. Nehmen wir an, es gibt eine solche Darstellung. Die Funktion $t+y$ hat an der Stelle $(0,0)$ eine Nullstelle. Deshalb ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(0)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(0)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im ersten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0,y)
}
{ =} { g(0) h(y)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $y$ und im zweiten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t,0)
}
{ =} { g(t) h(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $t$. Beide Eigenschaften gelten aber für
\mathl{t+y}{} definitiv nicht.
}