Kurs:Analysis/Teil I/46/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	4	4	1	3	4	5	3	2	6	5	2	3	3	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt „Bitte nicht gleichzeitig sprechen“. Bringe diese Aussage mit dem Konzept von disjunkten Mengen in Verbindung.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit „ein Spüli“ ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt ${}0,005$ Spülies. Er muss ${}10$ große Teller mit einem Durchmesser von ${}30$ Zentimetern, ${}6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von ${}20$ Zentimetern und ${}4$ zylinderförmige Becher, die ${}10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von ${}6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch (man ignoriere die Dicke des Geschirrs)?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige

{}\prod _{k=2}^{n}{\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)}={\frac {n+1}{2n}}\,

durch vollständige Induktion ( ${}n\geq 2$ ).

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Formel

{}2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\,

durch Induktion nach ${}n$ .

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Finde eine natürliche Zahl ${}n$ derart, dass

{}{\left({\frac {8}{7}}\right)}^{n}\geq 1000\,

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

{\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

5^{\frac {2}{3}}

bis auf einen Fehler von ${}{\frac {1}{10}}$ .

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-5x-9.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) ${}\ell =1,2$ verlaufen und eine Sprunghöhe von ${}h=0,2$ erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel ${}\alpha$ erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?