Kurs:Analysis/Teil I/46/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Eine \stichwort {Gruppe} {.}
}{Das
\stichwort {Infimum} {}
einer nichtleeren Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$.
}{Das
\stichwort {Minimum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion
\maabbdisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
im Entwicklungspunkt
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.}
}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbeledisp {G \circ F} {L} {N
} {x} {G(F(x))
} {,}
heißt die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
\mathkor {} {F} {und} {G} {.}
}{Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element
\mathl{e \in G}{} und mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {} {G \times G} {G
} {(g,h)} { g \circ h
} {,}
heißt
Gruppe,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungdrei{Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
\mathl{f,g,h \in G}{} gilt
\mathdisp {(f\circ g)\circ h =f \circ (g \circ h)} { . }
}{Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle
\mathl{g\in G}{} gilt
\mathdisp {g \circ e = g = e \circ g} { . }
}{Zu jedem
\mathl{g \in G}{} gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
\mathl{h \in G}{} mit
\mathdisp {h \circ g=g \circ h =e} { . }
}
}{Eine
\definitionsverweis {untere Schranke}{}{}
$t$ von $M$ heißt das Infimum von $M$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ \geq }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle unteren Schranken $s$ von $M$ gilt.
}{Man sagt, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Minimum annimmt, wenn
\mathdisp {f(x) \leq f(x') \text { für alle } x' \in M \text{ gilt}} { . }
}{Das Polynom
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ n } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { }
heißt das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$.
}{Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu $f$ über
\mathl{[a,b]}{} heißt bestimmtes Integral.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.}{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Der Satz über \stichwort {partielle Integration} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein angeordneter Körper, und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
drei Folgen in $K$. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text { für alle } n \in \N} { }
und
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {}
konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Es seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}
Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}{Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } f(t)g'(t) \, d t = fg | _{ a } ^{ b } - \int_{ a }^{ b } f'(t)g(t) \, d t} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
In der Klasse ist es sehr laut. Frau Maier-Sengupta sagt \anfuehrung{Bitte nicht gleichzeitig sprechen}{.} Bringe diese Aussage mit dem Konzept von \definitionsverweis {disjunkten Mengen}{}{} in Verbindung.
}
{
Die Forderung von Frau Maier-Sengupta bedeutet, das die Sprechzeiten der Kinder paarweise disjunkt sein sollen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Wir fassen die Lösung eines Sudokus \zusatzklammer {unabhängig von Zahlenvorgaben} {} {} als eine Abbildung \maabbeledisp {} { \{1,2 , \ldots , 9\} \times \{1,2 , \ldots , 9 \}} { \{1,2 , \ldots , 9\} } {(i,j)} { a_{i,j} } {,} auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.
}
{
Die Bedingungen sind:
Für jedes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ =} {1 , \ldots , 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , 9 \} } { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {j } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
Für jedes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ j
}
{ =} {1 , \ldots , 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 1 , \ldots , 9 \} } { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {i } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
Für jedes Paar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { r,s
}
{ \leq} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \{ 3r+1,3r+2, 3r+3 \} \times \{ 3s+1,3s+2 , 3s+3 \}} { \{ 1 , \ldots , 9 \}
} {(i,j) } {a_{i,j}
} {,}
bijektiv.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Professor Knopfloch muss mal wieder Geschirr abwaschen. Bekanntlich wird die Spülgeschwindigkeit durch die internationale Maßeinheit \anfuehrung{ein Spüli}{} ausgedrückt. Ein Spüli liegt vor, wenn man einen Quadratmeter Geschirroberfläche pro Sekunde spült. Professor Knopflochs Spülgeschwindigkeit beträgt
\mathl{0,005}{} Spülies. Er muss $10$ große Teller mit einem Durchmesser von $30$ Zentimetern, $6$ kleine Teller mit einem Durchmesser von $20$ Zentimetern und $4$ zylinderförmige Becher, die $10$ Zentimeter hoch sind und einen Durchmesser von $6$ Zentimetern besitzen, spülen. Wie lange braucht er für den reinen Abwasch
\zusatzklammer {man ignoriere die Dicke des Geschirrs} {} {?}
}
{
Die
\zusatzklammer {beidseitige} {} {}
Fläche eines großen Tellers beträgt
\zusatzklammer {in Quadratmeter} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot \pi \cdot 0,15^2
}
{ =} { 0,1413
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die eines kleinen Tellers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot \pi \cdot 0,1^2
}
{ =} { 0,0628
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die eines Bechers
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2( \pi \cdot 0,03^2 + 2 \cdot \pi \cdot 0,03 \cdot 0,1 )
}
{ =} { 2( 0,0028 +0,0188)
}
{ =} { 0,0432
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist die zu spülende Gesamtfläche gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{10 \cdot 0,1413 +6 \cdot 0,0628 + 4 \cdot 0,0432
}
{ =} {1,9626
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für einen Quadratmeter braucht er $200$ Sekunden, deshalb braucht er insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1,9626 \cdot 200
}
{ =} {392,52
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Sekunden, also ungefähr sechs einhalb Minuten.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\prod_{k = 2}^n { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch vollständige Induktion
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{
Induktionsanfang. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
steht links
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1- { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und rechts ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2+1 }{ 4 } }
}
{ =} {{ \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass die Gleichheit für ein bestimmtes $n$ gilt. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \prod_{k = 2}^{n+1} { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) }
}
{ =} { { \left( \prod_{k = 2}^{n} { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) } \right) } \cdot { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \left( 1 - { \frac{ 1 }{ (n+1)^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \frac{ (n+1)^2-1 }{ (n+1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \frac{ n^2+2n+1-1 }{ (n+1)^2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } } \cdot { \frac{ n (n+2) }{ (n+1)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ n+2 }{ 2(n+1) } }
}
{ =} { { \frac{ (n+1)+1 }{ 2(n+1) } }
}
{ } {}
}
{}{.}
Dies ist der rechte Ausdruck für
\mathl{n+1}{} und die Aussage ist bewiesen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch Induktion nach $n$.
}
{
Für
\mathl{n=0}{} steht einerseits
\mathl{2^0=1}{} und andererseits
\mathl{1^0 \cdot 1^0=1}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und von
Lemma 3.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ 2^{n+1}
}
{ =} {2 \cdot 2^n
}
{ =} { (1+1) \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } + \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ =} {\sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) + 1
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } + 1
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k }
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Finde eine natürliche Zahl $n$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 8 }{ 7 } } \right) }^n
}
{ \geq} { 1000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Man kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{7000
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen. Es ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 8 }{ 7 } } \right) }^{7000}
}
{ =} { { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ 7 } } \right) }^{7000}
}
{ \geq} { 1 + 7000 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ =} { 1 +1000
}
{ \geq} { 1000
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {{ \frac{ 7 n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Für $n \geq 1$ kann man die Folge
\zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^4$} {} {} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 7n^4-2n^2+5 }{ 4n^4-5n^3+n-6 } }
}
{ =} { { \frac{ 7-2 { \frac{ 1 }{ n^2 } } +5 { \frac{ 1 }{ n^4 } } }{ 4 -5 { \frac{ 1 }{ n } }+ { \frac{ 1 }{ n^3 } }-6 { \frac{ 1 }{ n^4 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Folgen vom Typ
\mathkor {} {a/n, \, a/n^2,\, a/n^3} {und} {a/n^4} {}
sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $7$ und der Nenner gegen $4$, so dass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen $7/4 \in \Q$ konvergiert.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{
Nehmen wir an, dass es zwei verschiedene Grenzwerte
\mathbed {x,y} {}
{x \neq y} {}
{} {} {} {,}
gibt. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \defeq }{ \betrag { x-y }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ \defeq }{ d/3
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Konvergenz gegen $x$ gibt es ein $n_0$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-x } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0} { }
und wegen der Konvergenz gegen $y$ gibt es ein $n_0'$ mit
\mathdisp {\betrag { x_n-y } \leq \epsilon \text{ für } \text{alle } n \geq n_0'} { . }
Beide Bedingungen gelten dann gleichermaßen für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{\max\{n_0,n_0'\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $n$ mindestens so groß wie dieses Maximum. Dann ergibt sich aufgrund der
Dreiecksungleichung der Widerspruch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { \betrag { x-y }
}
{ \leq} { \betrag { x-x_n } + \betrag { x_n-y }
}
{ \leq} { \epsilon+ \epsilon
}
{ =} { 2 d/3
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( x- { \frac{ \sqrt{3} +1 }{ 4 } } \right) }^2 { \left( x- { \frac{ - \sqrt{3} +1 }{ 4 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 8 } } x - { \frac{ 1 }{ 64 } }} { . }
}
{
Um die Brüche wegzukriegen, multiplizieren wir den Term mit $256$ und erhalten
\mathdisp {{ \left( 4x- { \left( \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2 { \left( 4 x- { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2 - 32 x - 4} { . }
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 4x- { \left( \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2
}
{ =} {16x^2 -8 { \left( \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 4x- { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } \right) }^2
}
{ =} {16x^2 -8 { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( - \sqrt{3} +1 \right) }^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Deren Produkt ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( 16x^2 -8 { \left( \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2 \right) } { \left( 16x^2 -8 { \left( - \sqrt{3} +1 \right) } x + { \left( - \sqrt{3} +1 \right) }^2 \right) }
}
{ =} { px^4 +qx^3+rx^2 +sx+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und die Koeffizienten sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ =} {256
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q
}
{ =} { - 128 { \left( \sqrt{3} +1 - \sqrt{3} +1 \right) }
}
{ =} { - 256
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{r
}
{ =} { 16 { \left( { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2 + { \left( -\sqrt{3} +1 \right) }^2 \right) } + 64 \cdot (\sqrt{3} +1)( - \sqrt{3} +1 )
}
{ =} { 16 \cdot 8 + 64 \cdot (- 2 )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { -8 (\sqrt{3} +1 )(- \sqrt{3} +1) { \left( \sqrt{3} +1 - \sqrt{3} +1 \right) }
}
{ =} { -8 (-2) \cdot 2
}
{ =} { 32
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{t
}
{ =} { { \left( \sqrt{3} +1 \right) }^2 { \left( - \sqrt{3} +1 \right) }^2
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der lineare Term hebt sich weg und somit ist der Gesamtausdruck gleich
\mathl{x^4-x^3}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Berechne
\mathdisp {5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }} { }
bis auf einen Fehler von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 10 } }}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \leq} { 5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^3
}
{ \leq} {5^2
}
{ =} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,9)^3
}
{ =} { 24,389
}
{ <} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^3
}
{ =} {27
}
{ >} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2,9
}
{ <} { 5^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }
}
{ <} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2-5x-9 } {.}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} {x^2-5x-9
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 25 }{ 4 } } -9
}
{ =} { { \left( x- { \frac{ 5 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 61 }{ 4 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Daher ist die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{ { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Gerade eine Spiegelungsachse für den Graphen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{
Wir beschränken uns auf die Situation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq }{u
}
{ \leq }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
\mathkor {} {a_0 \defeq a} {und} {b_0 \defeq b} {,}
betrachtet die Intervallmitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ \defeq }{ { \frac{ a_0 + b_0 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet
\mathdisp {f(c_0)} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq c_0 \text{ und } b_1 \defeq b_0} { }
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq a_0 \text{ und } b_1 \defeq c_0} { . }
In jedem Fall hat das neue Intervall
\mathl{[a_1,b_1]}{} die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_1 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ \leq }{ f { \left( b_1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{.}
Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt *****
definierte
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_n \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( b_n \right) }
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Eisenbeis_Sprungrampe.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Eisenbeis_Sprungrampe.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge
\zusatzklammer {alle Angaben in Meter} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ = }{ 1,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verlaufen und eine Sprunghöhe von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{ 0,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen
\zusatzklammer {siehe Bild} {} {.}
Welche
\zusatzklammer {implizite} {} {}
Bedingung muss der Winkel $\alpha$ erfüllen
\zusatzklammer {die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden} {} {?}
}
{
Es sei $r$ der Radius des Kreises, $\alpha$ der Winkel im Bogenmaß und $x$ wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1,2
}
{ =} { r \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+0,2
}
{ =} {r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { r \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{\alpha
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist sicher keine Lösung} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r
}
{ =} { { \frac{ 1,2 }{ \alpha } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { r-0,2
}
{ =} { { \frac{ 1,2 }{ \alpha } } - 0,2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1,2 }{ \alpha } } - 0,2
}
{ =} { { \frac{ 1,2 }{ \alpha } } \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Multiplikation mit
\mathl{{ \frac{ \alpha }{ 1,2 } }}{} ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 - { \frac{ 1 }{ 6 } } \alpha
}
{ =} { \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(\alpha)
}
{ =} { \cos \alpha + { \frac{ \alpha }{ 6 } } -1
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion $F(\alpha)$ hat für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle, die für das Problem aber irrelevant ist. An der Stelle $0$ ist die Funktion streng wachsend und an der Stelle
\mathl{\pi/2}{} besitzt die Funktion einen negativen Wert, nach dem Zwischenwertsatz muss es also im Intervall
\mathl{]0, \pi/2 [}{} eine Nullstelle geben, die man mit einer Intervallhalbierung berechnen kann.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige durch Induktion, dass die $n$-te Ableitung von $X^n$ gleich $n!$ ist.
}
{
Die nullte Ableitung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist diese Funktion selbst, ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0!
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was den Induktionsanfang sichert. Der Induktionsschluss ergibt sich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^n \right) }^{(n)}
}
{ =} { { \left( n x^{n-1} \right) }^{(n-1)}
}
{ =} { n { \left( x^{n-1} \right) }^{(n-1)}
}
{ =} { n ((n-1)!)
}
{ =} { n!
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (2+1)}
{
Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+5x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $f$ bijektiv ist.
} {Bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion $f^{-1}$ im Nullpunkt.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} { 3x^2+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist überall positiv und damit ist $f$ nach
Satz 19.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{}
und damit injektiv. Da ein Polynom ungeraden Grades voliegt ist $f$ aufgrund
des Zwischenwertsatzes
auch surjektiv.
} {Nach
Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }'(y)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1} (y)) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{-1} \right) }'(0)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1} (0)) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ f'(0) } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Umfang $d$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den maximalen Flächeninhalt besitzt.
}
{
Bei konstantem Umfang $d$ ist das Rechteck durch die eine Seitenlänge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmt, die andere Seitenlänge ist
\mathl{{ \frac{ d }{ 2 } } -s}{} und der Flächeninhalt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s { \left( { \frac{ d }{ 2 } } -s \right) }
}
{ =} {s { \frac{ d }{ 2 } } - s^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beim Quadrat ist die Seitenlänge gleich
\mathl{{ \frac{ d }{ 4 } }}{} und der Flächeninhalt gleich
\mathl{{ \frac{ d^2 }{ 16 } }}{.} Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s { \frac{ d }{ 2 } } - s^2
}
{ \leq} { { \frac{ d^2 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dies ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ d^2 }{ 16 } } - s { \frac{ d }{ 2 } } + s^2
}
{ =} { { \left( s - { \frac{ d }{ 4 } } \right) }^2
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
}
{
\definitionsverweis {Ableiten}{}{}
unter Verwendung von
[[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Analysis/Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
und
Satz 18.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( y f^{-1}(y) - F { \left( f^{-1} (y) \right) } \right) }'
}
{ =} { f^{-1}(y) + y { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1}(y)) } } - f { \left( f^{-1}(y) \right) } { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } }
}
{ =} { f^{-1}(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die Lösungen zur Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} { \tan y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{ ]0, \pi[
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es handelt sich um eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(y)
}
{ =} { \tan y
}
{ =} { { \frac{ \sin y }{ \cos y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher müssen wir eine Stammfunktion zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ h(y) } }
}
{ =} { { \frac{ \cos y }{ \sin y } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
finden, eine solche ist
\mathl{\ln \left( \sin y \right)}{.} Die Umkehrfunktion ist
\mathl{\arcsin e^z}{.} Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { \arcsin e^{t+c}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Lösungen sind auf
\mathl{] - \infty, -c[}{} definiert.
}