Kurs:Analysis 1 (TU Dortmund)/§2 Monotone Folgen

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Inhaltsverzeichnis

1 2.1 Monotone Folgen
2 2.2 Monotoniekriterium
3 Das Newtonverfahren
4 2.3 Intervallschachtelung

[Bearbeiten] 2.1 Monotone Folgen

Eine reelle Folge $(a n)$ heißt monoton wachsend [fallend], wenn

$a_n \le a_{n+1} [a_n \ge a_{n+1}]$ für alle $n \in \mathbb{N}$

Kurznotation: $(a_n)\!\!\!\uparrow [(a_n)\!\!\!\downarrow]$

Gilt sogar $a n < a n + 1 [a n > a n + 1]$ für alle $n \in \mathbb{N}$ , so heißt $(a n)$ strikt (streng) monton steigend [fallend].

[Bearbeiten] 2.2 Monotoniekriterium

Monotone und beschränkte Folgen sind konvergent.

Bemerkung:

Falls $(a_n)\!\!\!\uparrow$ : $a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$

Außerdem ist die Folge "automatisch" nach unten beschränkt, sodass nur die Beschränktheit nach oben nachgewiesen werden muss.

Beweis (für $a_n\!\!\!\uparrow$ ):

Sei $s = \sup \{a_n: n \in \mathbb{N} \}$ , dann existiert zu $\varepsilon > 0$

ein m mit $a_m > s - \varepsilon$ und es gilt $a_n \le s, n \in \mathbb{N}$ (beides nach der Definition des Supremums).

Für $n \ge m$ gilt dann: $0 \le s - a_n \le s - a_m < \varepsilon$

Beispiel:

$a_0 \in \mathbb{R}, a_{n+1} = {a_n}^2 + \frac{1}{4}$

Ist $(a n)$ monton?

Betrachtung der Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder:

$a_{n+1} - a_n = {a_n}^2 + \frac{1}{4} - a_n = \left ( a_n - \frac{1}{2} \right )^2 \ge 0$

Daraus folgt: $(a_n)\!\!\!\uparrow$ :

(a n)

konvergiert $\Leftrightarrow (a_n)$

ist beschränkt!

Falls konvergent: $a_n \to a$ , also auch $a_{n+1} \to a$ und ${a_n}^2 \to a^2$ : $a = a^2 + \frac{1}{4}$ (nach $a_{n+1} = {a_n}^2 + \frac{1}{4}$ ). Daraus folgt: $a = \frac{1}{2}$ .

Falls einmal $a_n > \frac{1}{2}$ ist, kann keine Konvergenz vorliegen, da $(a n)$ monoton wachsend ist und $\frac{1}{2}$ der einzig mögliche Grenzwert!

Erster Fall $|a_0| \le \frac{1}{2}$ :

Behauptung: $\frac{1}{4} \le a_n \le \frac{1}{2}$

Beweis über vollständige Induktion:

Induktionsverankerung:

$\frac{1}{4} \le a_1 = {a_0}^2 + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Induktionsschluss $n \to n+1$ :

$\frac{1}{4} \le a_{n+1} = {a_n}^2 + \frac{1}{4} \le \left ( \frac{1}{2} \right )^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Zweiter Fall $|a_0| > \frac{1}{2}$ :

$a_1 = {a_0}^2 + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ (keine Konvergenz und keine Beschränktheit)

[Bearbeiten] Das Newtonverfahren

Das Netwonverfahren dient zur näherungsweisen Bestimmung der p-ten Wurzel aus $a \in \mathbb{R}$ ( $\sqrt[p]{a}, a > 0$ ). Zunächst wählt man ein $x 0 > 0$ . Dann ist die Folge

$x_{n+1} = \frac{(p-1) {x_n}^p + a}{p \cdot {x_n}^{p-1}}$

monoton fallend, und geht für $n \to \infty$ gegen $\sqrt[p]{a}$ (Behauptung).

Beweis:

I) $x_n > 0 (n \ge 1)$

II) Nachweis der Beschränktheit nach unten.

${x_{n+1}}^p = \left ( \frac{(p-1){x_n}^p + a}{p \cdot {x_n}^{p-1}} \right )^p$

${x_{n+1}}^p = \left ( x_n \cdot \frac{p-1}{p} + x_n \cdot \frac{a}{p \cdot {x_n}^p} \right )^p = {x_n}^p \left ( 1 - \frac{1}{p} + \frac{a}{p \cdot {x_n}^p} \right )^p = {x_n}^p \left ( 1 - \left ( \frac{1}{p} - \frac{a}{p \cdot {x_n}^p} \right ) \right )^p \ge {x_n}^p \left ( 1 - \left ( 1 - \frac{a}{{x_n}^p} \right ) \right ) \ge {x_n}^p \cdot \frac{a}{{x_n}^p} = a$

Dabei basiert die erste Abschätzung auf einer Variante der Bernoulli-Ungleichung.

III) Nachweis der Monotonie

$x_{n+1} - x_n = \left ( \frac{(p-1){x_n}^p + a}{p \cdot {x_n}^{p-1}} - x_n \right ) = \frac{-{x_n}^p + a}{p \cdot {x_n}^{p-1}} \le 0 (n \ge 1)$

Die Folge $x n$ ist also monoton und beschränkt, wodurch folgt, dass sie konvergiert.

Berechnung des Grenzwertes: Wir haben $x_{n+1} = \frac{(p-1) \cdot {x_n}^p + a}{p \cdot {x_n}^{p-1}}$ . Wenn $x_n \to x (n \to \infty)$ , dann gilt auch: $x_{n+1} \to x (n \to \infty)$ . Somit:

$x = \frac{(p-1) \cdot x^p + a}{p \cdot x^{p-1}} \Leftrightarrow x^p = a$ .

Ein Spezialfall: Für die näherungsweise Berechnung der Quadratwurzel aus einer Zahl $a$ ergibt sich diese Folge: $p = 2: x_{n+1} = \frac{{x_n}^2 + a}{2 \cdot x_n} = \frac{1}{2} \left ( x_n + \frac{a}{x_n} \right )$ .

[Bearbeiten] 2.3 Intervallschachtelung

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen $[a n, b n]$ mit der Eigenschaft $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$ . Das heißt $(a_n)\!\!\!\uparrow$ und $(b_n)\!\!\!\downarrow$ und es gilt $a_n \le b_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$ . Außerdem existieren die Grenzwerte der Folgen mit ( $a \le b$ ): $\lim_{n \to \infty} {a_n} = a$ und $\lim_{n \to \infty} {b_n} = b$ .

Beispiel: Die Eulersche Zahl e:

$e = \lim_{n \to \infty} {\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} {\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{-n}}$

Behauptung:

[a n, b n]

ist eine Intervallschachtelung und $e = \lim_{n \to \infty} {\left ( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}$ .

Beweis:

I) Nachweis der Monotonie:

$a_n = \underbrace{1 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{n} \right) \cdot \left ( 1 + \frac{1}{n} \right) \cdots \left ( 1 + \frac{1}{n} \right)}_{n+1 Faktoren} \le \left( \frac{1 + \left ( 1 + \frac{1}{n} \right) + \left ( 1 + \frac{1}{n} \right) + \dots + \left ( 1 + \frac{1}{n} \right)}{n+1} \right)^{n+1}$

$= \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = a_{n+1}.$

a n

ist also monton wachsend. Die Abschätzung erfolgt über die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel. Analog kann man beweisen, dass ${b_n}^{-1}$ monton steigend ist, woraus folgt, dass

b n

monton fallend ist.

II)

$\frac{a_n}{b_n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^n < 1 \Leftrightarrow a_n < b_n (n \in \mathbb{N})$