Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Überabzählbarkeit und Konvergenzeigenschaften reeller Zahlen (§3)

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Besitzt eine Menge

M

– nur – endlich viele Elemente, so kann man diese mittels $1, 2, \ldots, n$ durchnummerieren und erhält $M = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ ; dabei wurde $n \in \mathbb{N}$ geeignet gewählt. Besitzt eine Menge unendlich viele Elemente, so können zwei Fälle eintreten:

(i) Lassen sich ihre Elemente als Folge ${x n}$ schreiben, so erhalten wir eine abzählbare Menge

$M = \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \Leftrightarrow$ Es gibt eine Bijektion $f: \mathbb{N} \to M$ vermöge $n \mapsto x_n$ .

(ii) Die Elemente der Menge $M$ können nicht durch eine Folge angegeben werden. In diesem Fall sprechen wir von einer überabzählbaren – oder auch nicht abzählbaren – Menge.

Inhaltsverzeichnis

1 Bemerkung
2 Satz 1
- 2.1 Beweis
3 Satz 2
- 3.1 Beweis
- 3.2 Bemerkung
4 Definition 1
5 Definition 2
6 Definition 3
- 6.1 Bemerkung
7 Hilfssatz 1
- 7.1 Beweis
8 Hilfssatz 2
- 8.1 Beweis von (6)
9 Hilfssatz 3
- 9.1 Beweis
10 Hilfssatz 4
- 10.1 Beweis
11 Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium: Vollständigkeit von )
- 11.1 Beweis
12 Hilfssatz 5
- 12.1 Beweis
13 Satz 4 (Häufungsstellensatz von Weierstraß)
- 13.1 Beweis
14 Definition 4
15 Satz 5
- 15.1 Beweis
16 Satz 6
- 16.1 Beweis
17 Satz 7
- 17.1 Bemerkung
- 17.2 Beweis
18 Satz 8
- 18.1 Beweis
19 Definition 5
20 Definition 6
21 Definition 7
- 21.1 Beispiele
22 Definition 8
23 Definition 9
- 23.1 Beispiele
24 Definition 10
25 Definition 11
26 Satz 9
- 26.1 Beweis
27 Satz 10
- 27.1 Beweis
28 Satz 11
29 Definition 12
30 Satz 12
- 30.1 Bemerkungen
- 30.2 Beweis
31 Satz 13
- 31.1 Beweis
- 31.2 Bemerkung
32 Satz 14
- 32.1 Beweis
33 Satz 15
- 33.1 Beweis

[Bearbeiten] Bemerkung

Jede endliche Menge ist abzählbar. Die Menge $\mathbb{N}$ ist trivialerweise abzählbar.

[Bearbeiten] Satz 1

Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar.

[Bearbeiten] Beweis

Es genügt zu zeigen, dass die Menge

$M_1:= \left\{ r=\frac{p}{q}: p, q \in \mathbb{N} \right\} = \{x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots\} \subset \mathbb{Q}$

der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Dann gibt es eine bijektive Abbildung

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ vermöge $1 \mapsto 0, \quad 2 \mapsto x_1, \quad 3 \mapsto -x_1, \quad 4 \mapsto x_2, \quad 5 \mapsto -x_2$ usw.

Die Abzählbarkeit von $M 1$ wird durch das Diagonalverfahren von Cantor deutlich. Wir nummerieren die positiven rationalen Zahlen in Richtung der Pfeile. Erscheint ein $r \in M_1$ mehrfach in dem Schema, so erhält $r$ nur beim ersten Auftreten eine Nummer und wird dann nicht mehr berücksichtigt. $M$ ist abzählbar, denn jede Diagonale hat endlich viele Elemente und alle Diagonalen sind abzählbar. Es entsteht die Folge

$\{x_n\}= 1, \frac{1}{2}, 2, 3, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, 4, 5,\ldots$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2

Die Menge der reellen Zahlen des Intervalls $[0,1]$ ist überabzählbar.

[Bearbeiten] Beweis

Sei $M_2:= \{x \in \mathbb{R}: 0 \le x \le 1\}$ . Angenommen, die Menge $M 2$ wäre abzählbar. Dann wird $M 2$ durch eine Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ gegeben. Nach §1 lässt sich jedes $x_n \in M_2$ durch die Dezimalbruchentwicklung

(1) $x_n = \left\{ \sum^m_{k=1} \frac{b_{nk}}{10^k} \right\} _{m \in \mathbb{N}}$ mit den Ziffern $b_{nk} \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$

darstellen. Um die Annahme zum Widerspruch zu führen, geben wir nun ein $\alpha \in M_2$ an, welches nicht Element der Folge reeller Zahlen $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ist – für das also $\alpha \neq x_n$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt. Es sei eine Folge mit den Gliedern $b_n \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ und $b_n \neq b_{nn}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gewählt. Dann setzen wir

(2) $\alpha := \left\{ \sum^m_{k=1} \frac{b_k}{10^k} \right\} _{m \in \mathbb{N}}$ .

Offenbar unterscheidet sich die Zahl $α$ in der $n$ -ten Stelle von der Dezimalbruchentwicklung einer jeden Zahl $x n$ von $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ . Damit gilt $\alpha \in M_2$ aber $\alpha \notin \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ – was einen Widerspruch zur Annahme bedeutet.

[Bearbeiten] Bemerkung

Somit ist das Kontinuum $[0,1]$ nicht abzählbar; diesen Nachweis führte Georg Cantor 1873.

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Folge reeller Zahlen ${x n}$ heißt Cauchy-Folge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N = N(\varepsilon)$ gibt, so dass für alle $m,n \ge N$ die Ungleichung $|x_n-x_m|< \varepsilon$ erfüllt ist.

[Bearbeiten] Definition 2

Eine Folge reeller Zahlen ${x n}$ heißt Nullfolge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N = N(\varepsilon)$ derart gibt, dass für alle $n \ge N$ stets $|x_n|< \varepsilon$ gilt.

[Bearbeiten] Definition 3

Eine Folge $\{x_n\} \subset \mathbb{R}$ heißt konvergent genau dann, wenn es ein $\alpha \in \mathbb{R}$ gibt, so dass ${x n - α}$ eine Nullfolge ist. Man verwendet die schreibweise:

(3) $\alpha:= \lim_{n \to \infty} x_n$ .

[Bearbeiten] Bemerkung

Die Folge ${x n}$ ist konvergent. $\Leftrightarrow$ Es gibt ein $\alpha \in \mathbb{R}$ mit $|x_n - \alpha| < \varepsilon$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$ . Man dann schreibt auch: $x_n \to \alpha$ für $n \to \infty$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Sei ${x n}$ eine konvergente Folge und es gelten die Beziehungen $\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ und $\lim_{n \to \infty} x_n = \beta$ mit den reellen Zahlen $α$ und $β$ . Dann folgt $α = β$ .

[Bearbeiten] Beweis

Zu jedem $\varepsilon > 0$ liefert Definition 3 die Ungleichung

$|\alpha - \beta|= |(\alpha - x_n) + (x_n - \beta)| \le |x_n - \alpha| + |x_n - \beta| < \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon$

für alle $n \ge N(\varepsilon)$ . Also folgt $α = β$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Seien $\{x_n\} \subset \mathbb{R}$ und $\{y_n\} \subset \mathbb{R}$ konvergente Folgen mit

$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ und $\lim_{n \to \infty} y_n = \beta$ .

Dann gelten die Identitäten

(4) $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \alpha + \beta$ und

(5) $\lim_{n \to \infty} (x_n y_n)= \alpha \beta$ .

Weiter existiert eine Konstante $c > 0$ mit der Eigenschaft:

$|x_n|\le c$ für alle $n \in \mathbb{N}$ .

Falls zusätzlich $\alpha \neq 0$ und $x_n \neq 0$ für alle $n \in \mathbb{N}$ richtig ist, so folgt

(6) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{\alpha}$ .

[Bearbeiten] Beweis von (6)

Nach Voraussetzung gibt es ein $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ mit

$|x_n - \alpha|< \varepsilon$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$ .

Insbesondere finden wir eine reelle Zahl $a > 0$ , so dass die Ungleichungen $|\alpha| \ge a$ sowie

$|x_n| \ge a$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$

erfüllt sind. Somit folgt

$\left| \frac{1}{x_n}-\frac{1}{\alpha} \right| = \left| \frac{\alpha - x_n}{x_n \cdot \alpha} \right| = \frac{|x_n - \alpha|}{|x_n| \cdot |\alpha|} \le \frac{\varepsilon}{a^2}$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$

gemäß Formel (18) aus §1. Damit ist $\left\{ \frac{1}{x_n} - \frac{1}{\alpha} \right\}$ eine Nullfolge und mit Definition 3 ergibt sich die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 3

Die rationale Cauchy-Folge $\{x_n\}\in \mathcal{M}$ repräsentiere die Äquivalenzklasse $\alpha = [x_1, x_2, x_3, \ldots]$ und die Ungleichung $|x_n|\le \varepsilon$ für alle $n \ge N$ gelte mit einem index $N \in \mathbb{N}$ . Dann folgt $|\alpha| \le \varepsilon$ .

[Bearbeiten] Beweis

(i)

Für alle $n \ge N$ gilt $x_n \le |x_n| \stackrel{(n. V.)}{\le} \varepsilon \Rightarrow x_n - \varepsilon \le 0$ . Somit folgt $\alpha - \varepsilon \le 0 \Rightarrow \alpha \le \varepsilon$ .

(i i)

Für alle $n \ge N$ gilt $-x_n \le |-x_n| \le \varepsilon \Rightarrow x_n + \varepsilon \ge 0$ . Somit folgt $\alpha + \varepsilon \ge 0 \Rightarrow -\alpha \le \varepsilon$ .

Aus

(i)

und

(i i)

erhalten wir $|\alpha| \le \varepsilon$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 4

Die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ liegen in $\mathbb{R}$ dicht, d. h. zu jedem $\alpha \in \mathbb{R}$ gibt es eine Folge $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{Q}$ mit der Eigenschaft

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ .

[Bearbeiten] Beweis

Sei die reelle Zahl $\alpha = [x_n]_{n \in \mathbb{N}}$ mit $x_n \in \mathbb{Q}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gegeben. Wir erklären dann die rationale Zahl $a_m := [y_n]_{n \in \mathbb{N}}$ durch die konstante Folge

$\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}} := \{x_m, x_m, \ldots\}$ .

Dann gilt für festes $m \in \mathbb{N}$ die Identität

$\alpha - a_m = [x_n - y_n]_{n \in \mathbb{N}} = [x_n - x_m]_{n \in \mathbb{N}}$ .

Da nun $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem $\varepsilon>0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon)$ mit

$|x_n - x_m|<\varepsilon$ für alle $m, n \ge N$ .

Bei festem index $m \ge N$ wenden wir hilfssatz 3 auf die Folge

$z_n := x_n - x_m, \quad n = 1,2,\ldots$

an. Wir erhalten

$|\alpha - a_m| = |[x_n - x_m]_{n \in \mathbb{N}}| \le \varepsilon$ für alle $m \ge N(\varepsilon)$

bzw.

$\lim_{m \to \infty} a_m = \alpha$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium: Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ )

Eine Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ ist genau dann konvergent, wenn $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge ist.

[Bearbeiten] Beweis

„ $\Rightarrow$ “: Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ konvergent, d. h. es gibt ein $\alpha \in \mathbb{R}$ mit

$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ .

Somit gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon)$ mit der Eigenschaft

$|x_n - \alpha| < \varepsilon$ für alle $n \ge N$ .

Wegen der Ungleichung

$|x_n - x_m|=|(x_n - \alpha) + (\alpha - x_m)| \le |x_n - \alpha| + |x_m-\alpha| < 2 \varepsilon$

für alle $n \ge N$ ist $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge.

„ $\Leftarrow$ “: Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge, d. h. zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon)$ derart, dass die Ungleichung

$|x_n - x_m| < \varepsilon$ für alle $m,n \ge N$

erfüllt ist. Nach Hilfssatz 4 gibt es zu jedem $n \in \mathbb{N}$ ein $a_n \in \mathbb{Q}$ mit

$|x_n-a_n| \le \frac{1}{n}$ .

Wegen

| a n - a m | = | (a n - x n) + (x n - x m) + (x m - a m) |

$\le |x_n - a_n|+|x_n - x_m|+|x_m - a_m| \le \frac{1}{n} + \varepsilon + \frac{1}{m} \le \tilde{\varepsilon}$ für alle $m, n \ge N(\tilde{\varepsilon})$

ist $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine rationale Cauchy-Folge. Wir definieren die reelle Zahl $\alpha := [a_m]_{m \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}$ und erhalten

$|\alpha - x_n|= |(\alpha - a_n) + (a_n - x_n)| \le |\alpha - a_n| + |x_n-a_n| \le \frac{1}{n} + \tilde{\varepsilon}$

für alle $m, n \ge N(\tilde{\varepsilon})$ . Damit ist die Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ konvergent.

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 5

Die Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ sei gemäß

$x_n \le c$ für alle $n \in \mathbb{N}$

mit einer Konstante $c \in \mathbb{R}$ nach oben beschränkt und konvergiere gemäß $\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ – mit dem Grenzwert $\alpha \in \mathbb{R}$ . Dann folgt $\alpha \le c$ .

[Bearbeiten] Beweis

Angenommen es wäre $α > c$ erfüllt. Dann folgt zunächst $\frac{1}{2} (\alpha + c) > c$ . Äquivalent zur Aussage

$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$

gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ einen Index $N (\varepsilon) \in \mathbb{N}$ mit der Eigenschaft

$|x_n - \alpha| < \varepsilon$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$

bzw.

$x_n - \varepsilon \le \alpha \le x_n + \varepsilon$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$ .

Zu dem speziellen $\varepsilon := \frac{1}{2} (\alpha - c)$ ist nun für alle Indices $n \ge N(\varepsilon)$ die Ungleichung

$\alpha \le x_n + \frac{1}{2} (\alpha - c)$

bzw.

$x_n \ge \alpha - \frac{1}{2} (\alpha - c) = \frac{1}{2} (\alpha + c) > c$

erfüllt. Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Häufungsstellensatz von Weierstraß)

Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ eine beschränkte Folge mit der Schranke $c \in \mathbb{R}$ , so dass

$|x_n|\le c$ für alle $n \in \mathbb{N}$

erfüllt ist. Dann gibt es eine konvergente Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ der Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ mit dem Grenzwert $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \alpha$ und $|\alpha| \le c$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten das intervall $I 0 : = [ - c, c]$ der Länge $2 c$ und beachten $x_n \in I_0$ für alle $n \in \mathbb{N}$ . Ist $I : = [a, b]$ mit $-c \le a < b \le c$ ein beliebiges Teilintervall von $I 0$ , so können folgende zwei Fälle eintreten:

(i)

In

I

liegen nur endlich viele Glieder der Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ , d. h. es gibt eine natürliche Zahl

N

mit $x_n \notin I$ für alle $n \ge N$ .

(i i)

In

I

liegen unendlich viele Glieder der Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ , d. h. zu jeder natürlichen Zahl

N

gibt es ein $n \ge N$ mit $x_n \in I$ .

Wir setzen $a 0 : = - c, b 0 : = c$ und teilen das intervall $I 0$ in zwei intervalle $L, R$ der Länge $c$

$L:= \left[ a_0, \frac{1}{2} (a_0+b_0) \right]$ und $R:= \left[ \frac{1}{2} (a_0+b_0), b_0 \right]$ .

Nun liegen entweder in $L$ oder in $R$ unendlich viele Glieder der Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ . Wenn nun z. B. $(i i)$ für $L$ zutrifft, so wählen wir $I 1 : = L$ – ansonsten wird $L$ durch $R$ ersetzt. Jetzt halbieren wir das Intervall $I 1 = [a 1, b 1]$ in ein

linkes Teilintervall $L:= \left[ a_1, \frac{1}{2} (a_1 + b_1) \right]$

sowie ein

rechtes Teilintervall $R:= \left[ \frac{1}{2} (a_1+b_1), b_1 \right]$ .

Dann wählen wir als $I 2 : = [a 2, b 2]$ dasjenige Intervall von $L$ oder $R$ , für welches $(i i)$ zutrifft. Die Fortsetzung dieses Verfahrens liefert eine Folge $\{I_k\}_{k \in \mathbb{N}_0}$ von Intervallen mit den Eigenschaften:

(7) Für alle $k \in \mathbb{N}_0$ gilt: $I_k = [a_k, b_k] \wedge b_k - a_k = \frac{2c}{2^k} \wedge a_k < b_k$

(8) $a_0 \le a_1 \le a_2 \le \ldots \le b_2 \le b_1 \le b_0 \wedge I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots$ .

In jedem Intervall $I k$ liegen unendlich viele Glieder der Folge ${x n}$ . Nun ist die Folge $\{a_k\}_{k \in \mathbb{N}_0}$ der linken Eckpunkte von $I k$ eine Cauchy-Folge, denn wegen (7) und (8) gilt

$|a_k - a_l| \le |b_l-a_l| = \frac{2c}{2^l} \le \frac{2c}{2^n} < \varepsilon$ für alle $k \ge l \ge n = n(\varepsilon)$ .

Nach Satz 3 existiert nun ein $\alpha \in \mathbb{R}$ mit $\lim_{k \to \infty} a_k = \alpha$ und Hilfssatz 5 liefert

$a_k \le \alpha \le b_k$ für alle $k \in \mathbb{N}_0$ .

Zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ wählen wir $k$ derart, dass

$\alpha - \varepsilon < a_k \le \alpha \le b_k < \alpha + \varepsilon$

gilt. Da nun in jedem $I k$ unendlich viele $x n$ liegen, finden wir zu jeder natürlichen Zahl $N=N(\varepsilon)$ ein $m \ge N$ , so dass

$\alpha - \varepsilon < a_k \le x_m \le b_k < \alpha + \varepsilon$

richtig ist. Wir setzen jetzt $\varepsilon := \frac{1}{l}$ , wobei der Index $l=1,2,\ldots$ durchläuft. Es gibt also eine Folge ${n l}$ natürlicher Zahlen mit $n_1 < n_2 < \ldots$ , welche

$\alpha - \frac{1}{l} \le x_{n_l} \le \alpha + \frac{1}{l}$

erfüllen. Somit folgen die Ungleichungen $|x_{n_l} - \alpha| < \frac{1}{l}$ und schließlich

$\lim_{l \to \infty} x_{n_l} = \alpha$ mit $\alpha \in I_k$ für alle $k \in \mathbb{N}_0$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 4

Eine Folge heißt monoton nicht fallend bzw. schwach monoton steigend, wenn die Ungleichung $x_n \le x_{n+1}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ erfüllt ist. Die Folge heißt (streng) monoton steigend, wenn $x n < x n + 1$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt.

Entsprechend heißt die Folge monoton nicht steigend bzw. schwach monoton fallend, wenn die Ungleichung $x_n \ge x_{n+1}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ erfüllt ist. Die Folge heißt (streng) monoton fallend, wenn $x n > x n + 1$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt.

[Bearbeiten] Satz 5

Sei die monoton nicht fallende Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ gegeben, die nach oben beschränkt ist gemäß $x_n \le c\ (n=1,2,\ldots)$ – mit der Schranke $c \in \mathbb{R}$ . Dann ist $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ konvergent.

[Bearbeiten] Beweis

Wegen der Beschränktheit und Monotonie unserer Folge gilt

$|x_n|\le c_1 := \max\{|x_1|, c\}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ .

Nach Satz 4 gibt es zu $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ mit

$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \alpha$ .

Wir zeigen jetzt, dass auch $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ gegen $\alpha \in \mathbb{R}$ konvergiert: Zu jedem $n \in \mathbb{N}$ ist die Ungleichung $n \le n_k$ für alle $k \ge n$ richtig und die Monotonie liefert

$x_n \le x_{n_k}$ für alle $k \ge n$ .

Der Grenzübergang $k \to \infty$ ergibt mittels Hilfssatz 5 die Ungleichung

(9) $x_n \le \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \alpha \le c$ für alle $n \in \mathbb{N}$ .

Zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ existiert nun eine natürliche Zahl $K = K(\varepsilon)$ mit $|x_{n_k } - \alpha| < \varepsilon$ für alle $k \ge K$ . Wir erhalten die Ungleichung

$\alpha - \varepsilon \le x_{n_k} \le \alpha$ für alle $k \ge K$ .

Da die Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ monoton nicht fallend ist, gibt es eine Zahl $N = N(K) \in \mathbb{N}$ , so dass

$\alpha - \varepsilon \le x_{n_k} \le x_n \le \alpha$ für alle $n \ge N(K)$

richtig ist. Dies bedeutet aber

$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 6

Jede monoton nicht wachsende, nach unten beschränkte Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ mit $x_n \ge c\ (n = 1,2,\ldots)$ für ein $c \in \mathbb{R}$ ist konvergent.

[Bearbeiten] Beweis

Die Behauptung ergibt sich unmittelbar aus Satz 5: Durch Spiegelung am Nullpunkt betrachten wir die monoton nicht fallende Folge $\{-x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ mit $-x_n \le - c$ .

q.e.d.

Jede endliche Menge $M = \{x_1, \ldots, x_n\} \subset \mathbb{R}$ – mit $n \in \mathbb{N}$ – besitzt ein kleinstes Element $\min M \in M$ und ein größtes Element $\max M \in M$ . Dieses nennen wir Maximum bzw. Minimum der Menge $M$ . Offenbar ist die Ungleichung

$\min M \le x_k \le \max M$ für $k = 1, \ldots, n$

erfüllt. Bei Mengen mit unendlich vielen Elementen liegt diese einfache Situation im allgemeinen nicht vor – jedoch können wir folgendes zeigen:

[Bearbeiten] Satz 7

Sei $M$ eine nicht leere Menge reeller Zahlen, die nach oben beschränkt ist, d. h. es gibt ein $c \in \mathbb{R}$ derart, dass

$x \le c$ für alle $x \in M$

gilt. Dann gibt es ein durch die Menge $M$ eindeutig bestimmtes Element $\sigma \in \mathbb{R}$ mit den folgenden Eigenschaften:

(10) Für alle $x \in M$ gilt $x \le \sigma$ .

(11) Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $y \in M$ mit $\sigma - \varepsilon \le y \le \sigma$ .

[Bearbeiten] Bemerkung

Im Gegensatz zu endlichen Mengen ist im allgemeinen Fall auch $\sigma \notin M$ möglich, z. B. für $M := \left\{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb{N} \right\}$ mit der oberen Grenze $σ = 0$ .

[Bearbeiten] Beweis

(Eindeutigkeit von $σ$ ): Angenommen, die verschieden Größen $\sigma_1 \in \mathbb{R}$ und $\sigma_2 \in \mathbb{R}$ erfüllen die bedingungen (10) und (11): Wir können dann o. B. d. A. $σ 1 < σ 2$ voraussetzen. Nun gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $y \in M$ mit $\sigma_2 - \varepsilon \le y \le \sigma_2$ . Speziell für $\varepsilon:= \frac{1}{2} (\sigma_2 - \sigma_1)$ erhalten wir

$y \ge \sigma_2 - \frac{1}{2} (\sigma_2 - \sigma_1) = \frac{1}{2} (\sigma_2 + \sigma_1) > \sigma_1$ .

Dies steht im Widerspruch zu (10) für die Größe $σ 1$ .

(Existenz von $σ$ ): Wegen $M \neq \emptyset$ gibt es ein $x_0 \in M$ und wir wählen das intervall $I 0 : = [x 0, c]$ . Wir beachten $x_0 \in I_0$ und $x \le c$ für alle $x \in M$ . Wie im Beweis von Satz 4 teilen wir das intervall $I 0$ in zwei teilintervalle $L$ und $R$ :

$L:= \left[ x_0, \frac{1}{2} (x_0 + c) \right]$ und $R:= \left[ \frac{1}{2} (x_0 + c), c \right]$ .

Wir setzen $I 1 : = [a 1, b 1] = L$ , falls $M \cap R = \emptyset$ erfüllt ist – ansonsten sei $I 1 : = R$ erklärt. Dann gibt es ein $x_1 \in I_1 \cap M$ und für alle $x \in M$ gilt $x \le b_1$ . Dieses Verfahren wenden wir nun auf $I 1$ an und erhalten das Intervall $I_2 \subset I_1$ . Wir wählen dabei das folgende Intervall stets so, dass wenigstens ein $y \in M$ darin enthalten ist. Haben wir bereits das Intervall $I n = [a n, b n]$ konstruiert, halbieren wir dieses wieder in die Intervalle $L$ und $R$ und wählen als $I n + 1 = [a n + 1, b n + 1]$ das Intervall L, falls $M \cap R = \emptyset$ – ansonsten sei $I n + 1 = R$ gesetzt. Wir erhalten also eine Folge $\{I_k\}_{k \in \mathbb{N}_0 }$ von intervallen mit den Eigenschaften:

(12) Für alle $k \in \mathbb{N}_0$ gilt $I_k = [a_k, b_k] \wedge b_k - a_k = \frac{c-x_0}{2^k}$

(13) $a_0 \le a_1 \le \ldots \le b_1 \le b_0 \wedge I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots$ .

In jedem Intervall $I_k \ (k \in \mathbb{N}_0)$ liegt wenigstens ein $y \in M$ und es gilt:

$x \le b_k$ für alle $x \in M$ und $k=0,1,2,\ldots$ .

Die Folge $\{a_k\}_{k \in \mathbb{N}_0 }$ der linken Eckpunkte von $I k$ ist monoton nicht fallend und nach oben beschränkt. Wegen Satz 5 existiert ihr Grenzwert $\lim_{k \to \infty} a_k = \eta$ . Weiterhin ist die Folge $\{b_k\}_{k \in \mathbb{N}_0 }$ der rechten Eckpunkte von $I k$ monoton nicht steigend und nach unten beschränkt – also gibt es nach Satz 6 ein $\sigma \in \mathbb{R}$ mit $\lim_{k \to \infty} b_k = \sigma$ . Wegen (12) und (13) folgt für hinreichend große $k$

$|\eta - \sigma| = |(\eta - a_k)+(a_k - b_k)+(b_k - \sigma)| \le |a_k - \eta|+|a_k - b_k|+|b_k - \sigma| < 3 \varepsilon$

bzw.

$\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = \sigma$ .

Zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ existiert nun eine natürliche Zahl $K = K(\varepsilon)$ mit der Eigenschaft

$\sigma - \varepsilon \le a_k \le \sigma \le b_k \le \sigma + \varepsilon$ für alle $k \ge K$ .

Also folgt $\sigma - \varepsilon \le y \le \sigma + \varepsilon$ für mindestens $y \in I_k \cap M$ . Andererseits liefert $y \le b_k$ für alle $y \in M$ und $\lim_{k \to \infty} b_k = \sigma$ die Ungleichung $y \le \sigma$ für jedes $y \in M$ . Das beweist die Behauptung des Satzes 7.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 8

Sei $M$ eine nicht leere Menge reeller Zahlen, die nach unten beschränkt ist, d. h. es gibt ein $c \in \mathbb{R}$ derart, dass $x \ge c$ für alle $x \in M$ gilt. Dann gibt es ein durch die Menge $M$ eindeutig bestimmtes Element $\tau \in \mathbb{R}$ mit den folgenden Eigenschaften:

(14) Für alle $x \in M$ gilt $x \ge \tau$ .

(15) Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $x \in M$ mit $\tau \le x \le \tau + \varepsilon$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir wenden Satz 7 auf die Menge

$M^* := \{z \in \mathbb{R}:z = - x, x \in M\}$

an.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 5

Für eine nach oben beschränkte Menge $\emptyset \neq M \subset \mathbb{R}$ heißt $\sigma \in \mathbb{R}$ mit den Eigenschaften (10) und (11) die obere Grenze, die kleinste obere Schranke oder das Supremum von $M$ . Man schreibt

$\sigma := \sup M$

[Bearbeiten] Definition 6

Für eine nach unten beschränkte Menge $\emptyset \neq M \subset \mathbb{R}$ heißt $\tau \in \mathbb{R}$ mit den Eigenschaften (14) und (15) die untere Grenze, die größte untere Schranke oder das Infimum von $M$ . Man schreibt

$\tau := \inf M$

[Bearbeiten] Definition 7

Eine Zahl $\xi \in \mathbb{R}$ heißt Häufungswert einer Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}$ genau dann, wenn es eine konvergente Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ von $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ mit der Eigenschaft

$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \xi$

gibt.

[Bearbeiten] Beispiele

Die Menge aller Häufungswerte der Folge der rationalen Zahlen ist $\mathbb{R}$ .
Die Folge der natürlichen Zahlen besitzt in $\mathbb{R}$ keinen Häufungswert.
Wenn $\{x_n\} \subset \mathbb{R}$ eine nach oben beschränkte, monoton nicht fallende Folge ist, dann besitzt sie nach Satz 5 genau einen Häufungswert.

[Bearbeiten] Definition 8

Das erweiterte reelle Zahlensystem

$\overline{\mathbb{R}}:= \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}$

entsteht durch Hinzufügen der beiden uneigentlichen Elemente $- \infty$ und $+ \infty$ zu dem Körper der reellen Zahlen. Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $- \infty < x < + \infty$ .

[Bearbeiten] Definition 9

Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb{R}}$ eine beliebige Folge. Dann vereinbaren wir:

$\lim_{n \to \infty} x_n = + \infty \quad \Leftrightarrow$

Zu jedem $c \in \mathbb{R}$ existiert ein $K =K(c) \in \mathbb{N}$ : $x_n \ge c$ für alle $n \ge K$ .

$\lim_{n \to \infty} x_n = - \infty \quad \Leftrightarrow$

Zu jedem $c \in \mathbb{R}$ existiert ein $K =K(c) \in \mathbb{N}$ : $x_n \le c$ für alle $n \ge K$ .

[Bearbeiten] Beispiele

Die Folge der natürlichen Zahlen ist in $\overline{\mathbb{R}}$ konvergent und besitzt den Häufungswert $+ \infty \in \overline{\mathbb{R}}$ .
Die Folge $\{x_n\} \subset \overline{\mathbb{R}}$ mit $x_n := (- 1)^n \cdot n^2\ (n \in \mathbb{N})$ ist nicht konvergent, hat aber die beiden Häufungswerte $+ \infty$ und $- \infty$ .

[Bearbeiten] Definition 10

$\xi \in \{- \infty, + \infty\}$ heißt Häufungswert einer Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb{R}}$ genau dann, wenn es eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ gibt mit dem Grenzwert

$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \xi$ .

[Bearbeiten] Definition 11

Wir setzen

$\sup M = + \infty \Leftrightarrow$ Zu jedem $c \in \mathbb{R}$ gibt es ein $x \in M$ mit $x \ge c$

$\sup M = - \infty \Leftrightarrow M = \{- \infty\}$

$\sup M = + \infty \Leftrightarrow M = \{+ \infty\}$

$\inf M = - \infty \Leftrightarrow$ Zu jedem $c \in \mathbb{R}$ gibt es ein $x \in M$ mit $x \le c$

[Bearbeiten] Satz 9

Jede Zahlenfolge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb{R}}$ besitzt wenigstens einen Häufungswert $\xi \in \overline{\mathbb{R}}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wenn $|x_n| \le c$ für alle $n \in \mathbb{N}$ richtig ist, so folgt die Behauptung aus Satz 4 mit einem Häufungswert $\xi \in \mathbb{R}$ . Anderenfalls gibt es eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ mit $\lim_{k \to \infty} |x_{n_k}| = + \infty$ . Dann existiert eine Teilfolge $\{x_{m_j}\}_{j \in \mathbb{N}}$ von $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}$ mit der Eigenschaft

$\lim_{j \to \infty} x_{m_j} = - \infty$ oder $\lim_{j \to \infty} x_{m_j}| = + \infty$

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 10

Jede monoton nicht fallende Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb{R}}$ ist konvergent, d. h. es gibt ein $\alpha \in \overline{\mathbb{R}}$ mit

$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$

[Bearbeiten] Beweis

Wenn $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ nach oben beschränkt ist, so folgt die Behauptung aus Satz 5. Ist hingegen $\{x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ nach oben unbeschränkt, dann gibt es wegen der Monotonie zu jedem $c \in \mathbb{R}$ eine natürliche Zahl $K = K (c)$ derart, dass $x_n \ge c$ für alle $n \ge K$ gilt. Definition 9 liefert $\lim_{n \to \infty} x_n = + \infty$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 11

Jede monoton nicht steigende Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb{R}}$ ist konvergent.

[Bearbeiten] Definition 12

Seien $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb{R}}$ eine beliebige Folge und $E \neq \emptyset$ die Menge aller Häufungspunkte von $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ . Dann setzt man

(16) $\sup E =: \limsup_{n \to \infty} x_n$ als Limes superior und

(17) $\inf E =: \liminf_{n \to \infty} x_n$ als Limes inferior.

[Bearbeiten] Satz 12

Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb {R}}$ eine Folge mit $\limsup_{n \to \infty} x_n = \xi$ . Dann gilt:

(18) Es gibt eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{ N}} \subset \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}: \quad \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \xi$ .

(19) Zu jedem $c \in \overline{\mathbb{R}}$ mit $c > ξ$ existiert $K = K(c) \in \mathbb{N}: x_n \le c$ für alle $n \ge N$ .

[Bearbeiten] Bemerkungen

Wegen (18) ist $\xi := \sup E \in E$ erfüllt. Die Bedingung (19) besagt, dass es zu beliebigem $c > ξ$ nur endlich viele Folgenglieder gibt, die größer als $c$ sind. Die Aussage wird falsch, wenn $c = ξ$ gesetzt wird. Betrachten wir dazu die Folge ${x n}$ mit $x_n := (- 1)^n + \frac{1}{n}\ (n \in \mathbb{N})$ . Wegen

$\lim_{k \to \infty} x_{2k} = \lim_{k \to \infty} \left\{ 1 + \frac{1}{2k} \right\} = 1 = \limsup_{n \to \infty} x_n$

und

$\lim_{k \to \infty} x_{2k + 1} = \lim_{k \to \infty} \left\{ - 1 + \frac{1}{2k + 1} \right\} = -1 = \liminf_{n \to \infty} x_n$

gilt $E = {1, - 1}$ . Für diese Folge liegen oberhalb von $c = ξ = 1$ unendlich viele Glieder.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei zunächst $\limsup_{n \to \infty} x_n = - \infty$ . Wegen Definition 11 und 12 gilt $E = \{- \infty\}$ für die Menge aller Häufungswerte $E$ von $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{mathbb{R} }$ . Damit gibt es eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ mit $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = - \infty$ . Daraus folgt unmittelbar $\lim_{n \to \infty} x_n = - \infty$ und nach Definition 9 gibt es zu jedem $c \in \mathbb{R}$ eine natürliche Zahl $K = K (c)$ mit $x_n \le c$ für alle $n \ge K$ .

2. Gelte nun $\limsup_{n \to \infty} x_n = + \infty$ . Dann gibt es wegen Definition 9 eine Teilfolge $\{x_{n_k}\} _{k \in \mathbb{N}} \subset \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ mit $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = + \infty$ . Anderenfalls gäbe es ein $c \in \mathbb{R}$ , so dass $x_n \le c$ für alle $n \ge K$ mit einem geeigneten $K=K(c) \in \mathbb{N}$ richtig ist. Dann müsste wegen Hilfssatz 5 aber $\xi \le c$ gelten – im Widerspruch zu $\xi = + \infty$ .

3. Im dritten Fall sei $\limsup_{n \to \infty} x_n =: \xi \in \mathbb{R}$ erfüllt. Da $\xi = \sup E$ ist, gibt es eine Folge $\{y_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset E$ mit $\lim_{k \to \infty} y_k = \xi$ . Da jedes $y k$ Häufungswert von der Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ist, gibt es zu jedem $k \in \mathbb{N}$ eine Teilfolge $\{x^{(k)}_{m_j}\}_{j \in \mathbb{N}} \subset \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ mit $\lim_{j \to \infty} x^{(k)}_{m_j} = y_k$ . Wir finden somit Glieder $x_{n_k }$ der Folge, so dass $|x_{n_k} - y_k| < \frac{1}{k}$ für $k = 1,2,\ldots$ gilt. Mit

$|x_{n_k} - \xi| \le |x_{n_k} - y_k| + |y_k - \xi| < \frac{1}{k} + \varepsilon$

erhalten wir $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \xi$ . Wäre nun (19) falsch, so gäbe es ein $c \in \overline{\mathbb{R}}$ mit $x n > c > ξ$ für unendlich viele $n \in \mathbb{N}$ . Damit muss ein Häufungswert $\omega \in \overline{\mathbb{R}}$ der Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ existieren, der $\omega \ge c$ erfüllt. Dies steht aber im Widerspruch zu $c > \xi = \sup E$ – und somit gilt (19).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 13

Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb {R}}$ eine Folge mit $\liminf_{n \to \infty} x_n = \eta$ . Dann gilt:

(20) Es gibt eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{ N}} \subset \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}: \quad \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \eta$ .

(21) Zu jedem $c \in \overline{\mathbb{R}}$ mit $c < η$ existiert $K = K(c) \in \mathbb{N}: x_n \ge c$ für alle $n \ge N$ .

[Bearbeiten] Beweis

Indem wir die Folge $\{z_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb {R}}$ mit $z_n := -x_n, n = 1,2,\ldots$ betrachten, erhalten wir aus Satz 12 die Behauptungen (20) und (21).

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkung

Nach Definition 12 gilt für eine beliebige Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb{R}}$ offenbar

$\liminf_{n \to \infty} x_n \le \limsup_{n \to \infty} x_n$ .

[Bearbeiten] Satz 14

Eine Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline {\mathbb{R}}$ ist genau dann konvergent (im eigentlichen Sinne), wenn

$\liminf_{n \to \infty} x_n = \limsup_{n \to \infty} x_n =: \alpha \in \mathbb{R}$

erfüllt ist. Es gilt dann

$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ .

[Bearbeiten] Beweis

„ $\Rightarrow$ “: Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ konvergent mit $\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ . Dann gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N = N(\varepsilon)$ mit der Eigenschaft

$\alpha - \varepsilon \le x_n \le \alpha + \varepsilon$ für alle $n \ge N$ .

Jede Teilfolge besitzt also den Häufungswert $α$ und somit ergibt sich

E = {α}

sowie $\liminf_{n \to \infty} x_n = \limsup_{n \to \infty} x_n = \alpha$ .

„ $\Leftarrow$ “: Für die Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline {\mathbb{R}}$ gibt es ein $\alpha \in \mathbb{R}$ mit

$\liminf_{n \to \infty} x_n = \limsup_{n \to \infty} x_n = \alpha$ .

Zu jedem $\varepsilon > 0$ existiert wegen $\limsup_{n \to \infty} x_n = \alpha$ und Satz 12 eine natürliche Zahl $N_1 = N_1(\varepsilon)$ , so dass $x_n \le \alpha + \varepsilon$ für alle $n \ge N_1$ richtig ist. Entsprechend gibt es wegen $\liminf_{n \to \infty} x_n = \alpha$ und Satz 13 eine natürliche Zahl $N_2 = N_2(\varepsilon)$ mit $x_n \ge \alpha - \varepsilon$ für alle $n \ge N_2$ . Setzen wir $N : = max{N 1, N 2}$ , dann erhalten wir $|x_n - \alpha| < \varepsilon$ für alle $n \ge N$ . Also folgt $\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 15

Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb {R}}$ eine beliebige Folge, dann gilt

(22) $\limsup_{n \to \infty} x_n = \lim_{m \to \infty} \left[ \sup_{k \in \mathbb{N}_0} x_{m + k} \right] = \inf_{m \in \mathbb{N}} \left[ \sup_{k \in \mathbb{N}_0} x_{m + k} \right]$

(23) $\liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{m \to \infty} \left[ \inf_{k \in \mathbb{N}_0} x_{m + k} \right] = \sup_{m \in \mathbb{N}} \left[ \inf_{k \in \mathbb{N}_0} x_{m + k} \right]$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir beweisen nur (22), da der Beweis von (23) entsprechend geführt wird. Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \overline{\mathbb {R}}$ und $\limsup_{n \to \infty} x_n =: \xi$ .

1. Fall ( $\xi = - \infty$ ): Nach (19) gibt es zu jedem $c > -\infty$ eine natürliche Zahl $K = K (c)$ mit $x_n \le c$ für alle $n \ge K$ . Setzen wir

$y_m := \sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\}$ für $m \in \mathbb{N}$ ,

so gilt $y_1 \ge y_2 \ge y_3 \ge \ldots$ . Dann erfüllt die Folge $\{x_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ für alle $m \ge K$ die Ungleichung $y_m \le c$ . Somit folgt für alle $c \in \mathbb{R}$ die Beziehung

$\inf_{m \in \mathbb{N}} y_m = \lim_{m \to \infty} y_m = \lim_{m \to \infty} [\sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\}] \le c$ und damit $\lim_{m \to \infty} [\sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\}] = \inf_{m \in \mathbb{N}} [\sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\}] = - \infty$ .

2. Fall ( $\xi = \infty$ ): Es gibt eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k\in \mathbb{N}}$ mit $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = + \infty$ und für alle $m \in \mathbb{N}$ gilt

$y_m := \sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\} = + \infty$ .

Dann folgt

$\inf_{m \in \mathbb{N}} y_m = \lim_{m \to \infty} y_m = \lim_{m \to \infty} \sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\} = + \infty$ .

3. Fall ( $\xi \in \mathbb{R}$ ): Wir betrachten die Folge $\{y_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ der Suprema

$y_m := \sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\}$ für $m \in \mathbb{N}$ ,

welche monoton nicht steigend ist. Also existiert die Größe

$\eta := \inf_{m \in \mathbb{N}} y_m = \lim_{m \to \infty} y_m \in \mathbb{R}$ .

Wir werden zeigen, dass $η = ξ$ gilt: Zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ gibt es eine natürliche Zahl $N_1 = N_1(\varepsilon)$ , so dass $x_n \le \xi + \varepsilon$ für alle $n \ge N_1$ gilt (vgl. Satz 12). Daraus folgt

$y_m = \sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\} \le \xi + \varepsilon$ für alle $m \ge N_1$ .

Also gilt für jedes $\varepsilon > 0$ die Abschätzung

$\eta = \inf_{m \in \mathbb{N}} y_m = \lim_{m \to \infty} y_m \le \xi + \varepsilon$

und damit $\eta \le \xi$ . Es bleibt noch zu zeigen, dass $\eta \ge \xi$ gilt. Wegen $\limsup_{n \to \infty} x_n = \xi$ gibt es nach (18) eine Teilfolge $\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ mit $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \xi$ . Deshalb existiert zu beliebigem $\varepsilon > 0$ eine Zahl $N_2 = N_2(\varepsilon)$ mit $x_{n_k} \ge \xi - \varepsilon$ für alle $k \ge N_2$ . Sei nun $m \in \mathbb{N}$ vorgegeben und $n k > m$ entsprechend gewählt, so folgt

$y_m = \sup \{x_m, x_{m+1}, x_{m+2}, \ldots\} \ge \xi - \varepsilon$ für alle

m

.

Also gilt für beliebiges $\varepsilon > 0$ die Abschätzung

$\eta = \inf_{m \in \mathbb{N}} y_m = \lim_{m \to \infty} y_m \ge \xi - \varepsilon$

und damit $\eta \ge \xi$ . Mit der nun folgenden Identität $η = ξ$ haben wir (22) bewiesen.

q.e.d.

Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Überabzählbarkeit und Konvergenzeigenschaften reeller Zahlen (§3)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Satz 1

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 2

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Definition 1

[Bearbeiten] Definition 2

[Bearbeiten] Definition 3

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

[Bearbeiten] Beweis von (6)

[Bearbeiten] Hilfssatz 3

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Hilfssatz 4

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium: Vollständigkeit von )

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Hilfssatz 5

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 4 (Häufungsstellensatz von Weierstraß)

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 4

[Bearbeiten] Satz 5

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 6

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 7

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 8

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 5

[Bearbeiten] Definition 6

[Bearbeiten] Definition 7

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Definition 8

[Bearbeiten] Definition 9

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Definition 10

[Bearbeiten] Definition 11

[Bearbeiten] Satz 9

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 10

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 11

[Bearbeiten] Definition 12

[Bearbeiten] Satz 12

[Bearbeiten] Bemerkungen

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 13

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Satz 14

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Satz 15

[Bearbeiten] Beweis

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[Bearbeiten] Satz 3 (Cauchysches Konvergenzkriterium: Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ )