Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Absolut konvergente Doppelreihen (§7)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Sei \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} eine reelle Folge. Die reelle Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k heißt bedingt konvergent, falls \sum^\infty_{k=1} a_k konvergent und nicht absolut konvergent ist.

Eine überraschende Eigenschaft bedingt konvergenter Reihen besteht darin, dass mit Veränderung der Summationsreihenfolge – einer sogenannten Umordnung der Reihenglieder – sich auch der Wert der Reihe verändert! Dieses beobachtet man am Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe oder Leibnizschen Reihe

\sum^\infty_{k = 1} (- 1)^{k + 1} \frac{1}{k}.

Sie ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent, aber gemäß Beispiel 1 aus §6 nicht absolut konvergent.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei die Folge \{a_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} gegeben. Weiter sei eine bijektive Abbildung
(1) \pi: \mathbb{N} \to \mathbb{N} vermöge k \mapsto \pi(k) := n_k \in \mathbb{N}, \quad k \in \mathbb{N}
zwischen den natürlichen Zahlen gegeben, die wir – unendliche – Permutation nennen. Dann betrachten wir die Folge \{a_k'\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} mit den Gliedern
(2) a_k' := a_{\pi(k)} = a_{n_k}, \quad k \in \mathbb{N}.
Die Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k' heißt eine Umordnung der Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k. Also geht die Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k' aus der Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k durch eine Permutation der Indices (1) hervor!

[Bearbeiten] Satz 1 (Umordnungssatz von Riemann)

Sei \{a_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} eine reelle Folge, so dass die Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k bedingt konvergent ist. Dann gibt es zu jeder reellen Zahl s \in \mathbb{R} eine Umordnung \sum^\infty_{k=1} a_k' von \sum^\infty_{k=1} a_k, so dass \sum^\infty_{k=1} a_k' = s gilt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Da die verschwindenden Terme der Reihe für die Aussage des Satzes irrelevant sind, nehmen wir ohne Einschränkung \{a_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \setminus \{0\} für unsere Folge an. Wir definieren dann für k = 1, 2, 3, \ldots die Koeffizienten

bk: = ak falls ak > 0 und bk: = 0 falls ak < 0 gilt

sowie

ck: = 0 falls ak > 0 und ck: = − ak falls ak < 0 gilt.

Dann beachten wir

a_k = b_k - c_k, \quad b_k \ge 0, \quad c_k \ge 0, \quad |a_k| = b_k + c_k für k = 1, 2, 3, \ldots.

Da die Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k konvergiert, folgt \lim_{k \to \infty} |a_k| = 0 und somit

(3) \lim_{k \to \infty} b_k = 0 = \lim_{k \to \infty} c_k.

Weiter ist

(4) \sum^\infty_{k=1} b_k = + \infty und \sum^\infty_{k=1} c_k = + \infty

erfüllt. Da nämlich \sum^\infty_{k=1} (b_k + c_k) = \sum^\infty_{k=1} |a_k| = + \infty richtig ist, muss mindestens eine der beiden Reihen in (4) divergent sein. Würde aber eine der beiden Reihen konvergieren und die andere divergieren, so ergäbe sich ein Widerspruch zur Konvergenz der Reihe

\sum^\infty_{k=1} a_k = \sum^\infty_{k=1} (b_k - c_k).

2. Wir nehmen nun ohne Einschränkung s \in [0, + \infty) für unseren zu erreichenden Grenzwert an. Wir teilen die natürlichen Zahlen auf in die beiden Indexmengen P := \{k \in \mathbb{N}: a_k > 0\} und N := \{k \in \mathbb{N}: a_k < 0\}. Beginnend mit dem kleinsten Element wählen wir unter Beachtung von (4) aufsteigend Zahlen abwechselnd in P und N nach der folgenden Vorschrift: Wir wählen die Indices

k_1 < \ldots < k_{n_1} \in P

mit minimalem n1, so dass

a_{k_1} + \ldots + a_{k_{n_1}} > s

erfüllt ist. Wir wählen dann Indices

k_{n_1 + 1} < \ldots < k_{n_2} \in N

mit minimalem n2 > n1, so dass

a_{k_1} + \ldots + a_{k_{n_1}} + a_{k_{n_1 + 1}} + \ldots + a_{k_{n_2}} < s

erfüllt ist. Wir wählen dann wieder Indices k_{n_2 + 1}, \ldots, k_{n_3} \in P mit minimalem n3 > n2, so dass

a_{k_1} + \ldots + a_{k_{n_2}} + a_{k_{n_2 + 1}} + \ldots + a_{k_{n_3}} > s

richtig ist. Durch Fortsetzung des Verfahrens schöpfen wir die Indexmengen P und N aus. Wir erhalten eine Umordnung k_j, j \in \mathbb{N} unserer Reihe mit der Eigenschaft \sum^\infty_{j = 1} a_j' = s; hierbei setzen wir a_j' := a_{k_j}, j \in \mathbb{N}. Die konstruierten Partialsummen oszillieren nämlich um den Grenzwert s, wobei der Abstand zu s wegen (3) gegen Null strebt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Umordnungssatz)

Seien die Folgen \{a_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} und \{a_k'\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} so gegeben, dass die Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k' eine Umordnung der Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k gemäß Definition 2 darstellt. Wenn nun \sum^\infty_{k=1} a_k absolut konvergiert, so ist das auch für die umgeordnete Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k' der Fall und ihre Werte stimmen gemäß \sum^\infty_{k=1} a_k' = \sum^\infty_{k=1} a_k überein.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir gehen aus von der Konvergenzeigenschaft \sum^\infty_{k=1} |a_k| < \infty sowie der vorgegebenen Permutation

a_k' = a_{j_k} mit der Bijektion \mathbb{N} \ni k \mapsto j_k \in \mathbb{N}.

Zu einem festen m \in \mathbb{N} gibt es ein n \ge m, so dass die Inklusion

\{j_1, \ldots, j_m\} \subset \{1, \ldots, n\}

erfüllt ist. Somit folgt

(5) \sum^m_{k=1} |a_k'| = \sum^m_{k=1} |a_{j_k}| \le \sum^n_{j=1} |a_j| \le \sum^\infty_{j=1} |a_j| < \infty

für alle m \in \mathbb{N}. Also ist \sum^\infty_{k=1} |a_k'| < \infty erfüllt und die Reihe \sum^\infty_{k=1} a_k' ist absolut konvergent.

2. Zu vorgegebenem \varepsilon > 0 gibt es eine Zahl N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass

(6) \sum^n_{k=m} |a_k| \le \varepsilon für alle n \ge m > N(\varepsilon)

erfüllt ist. Weiter gibt es eine natürliche Zahl K(\varepsilon) \ge N(\varepsilon), so dass die Inklusion

\{1, \ldots, N(\varepsilon)\} \subset \{j_1, \ldots, j_n\}

für alle n \ge K(\varepsilon) richtig ist. Es folgt für alle n \ge K(\varepsilon) die Abschätzung

(7) \left| \sum^n_{k=1} a_k' - \sum^n_{k=1} a_k \right| = \left| \sum^n_{k=1} a_{j_k} - \sum^n_{k=1} a_k \right| = \left| \sum_{k=1, \ldots, n: j_k > N} a_{j_k} - \sum^n_{k = N + 1} a_k \right|
\le \sum_{k=1, \ldots, n: j_k > N} |a_{j_k}| - \sum^n_{k = N + 1} |a_k| \le 2 \varepsilon.

Wir erhalten damit

\lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1} a_k' = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{k=1} a_k.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkung

Leider ist die oben verwendete suggestive Doppelindizierung durch j_k, k \in \mathbb{N} für unsere Permutation nur schwer lesbar.

[Bearbeiten] Definition 3

Eine Doppelfolge ist eine Abbildung
\gamma: \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0 \to \mathbb{C} vermöge (m, n) \mapsto \gamma(m, n) =: c_{mn}.
Diese bezeichnen wir durch \{c_{mn}\}_{m,n = 0,1,\ldots} \subset \mathbb{C}.

[Bearbeiten] Definition 4

Wir betrachten eine bijektive Abbildung
\mathbb{N} \ni l \mapsto (m_l, n_l) \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0
auf das Gitter \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0. Dann nennen wir
(m_1, n_1), (m_2, n_2), (m_3, n_3), \ldots \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0
eine Abzählung des Gitters.

[Bearbeiten] Definition 5

Sei die Doppelfolge \{c_{mn}\}_{m,n = 0,1,\ldots} \subset \mathbb{C} gegeben und
(m_1, n_1), (m_2, n_2), (m_3, n_3), \ldots \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0
eine beliebige Abzählung des Gitters. Dann nennen wir die zugehörige Doppelreihe \sum^\infty_{m, n = 0} c_{mn} absolut konvergent, falls
\sum^\infty_{l = 0} |c_{m_ln_l}| < + \infty
ausfällt. Wir setzen dann
\sum^\infty_{m, n = 0} c_{mn} := \sum^\infty_{l = 0} c_{m_ln_l}
für den Wert der Doppelreihe.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Der Wert der absolut konvergenten Doppelreihe ist unabhängig von der gewählten Abzählung des Gitters nach dem Umordnungssatz.
2. Üblicherweise prüft man die absolute Konvergenz einer Doppelreihe wie folgt nach: Man bestimmt eine Konstante M \in [0, \infty), so dass die Abschätzung

\sum^N_{k = 0} \sum^N_{l = 0} |c_{kl}| \le M für alle N \in \mathbb{N}_0

erfüllt ist.
3. Entsprechend erklärt man absolut konvergente n-fache Reihen

\sum^\infty_{k_1, \ldots, k_n = 0} a_{k_1 \ldots k_n} mit den Termen a_{k_1 \ldots k_n} \in \mathbb{C} für k_1, \ldots, k_n = 0, 1, 2, \ldots.

[Bearbeiten] Satz 3 (Multiplikationssatz für Reihen)

Seien \{a_m\}_{m = 0,1,2,\ldots} \subset \mathbb{C} und \{b_n\}_{n = 0,1,2,\ldots} \subset \mathbb{C} Folgen komplexer Zahlen, so dass deren zugehörige Reihen \sum^\infty_{m = 0} a_m bzw. \sum^\infty_{n = 0} b_n absolut konvergieren. Dann konvergiert auch die Doppelreihe \sum^\infty_{m, n = 0} a_m b_n absolut und es gilt
(8) \sum^\infty_{m, n = 0} a_m b_n = \left( \sum^\infty_{m = 0} a_m \right) \cdot \left( \sum^\infty_{n = 0} b_n \right) = \sum^\infty_{l = 0} c_l.
Dabei ist
c_l := \sum^l_{k = 0} a_k b_{l - k} = \sum^l_{k = 0} a_{l - k} b_k, \quad l = 0, 1, 2, \ldots
gesetzt worden und die Konvergenzbedingung \sum^\infty_{l = 0} |c_l| < + \infty erfüllt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Für alle N \in \mathbb{N} gilt die Abschätzung

(9) \sum^N_{m, n = 0} |a_m b_n| = \left( \sum^N_{m = 0} |a_m| \right) \cdot \left( \sum^N_{n = 0} |b_n| \right) \le \left( \sum^\infty_{m = 0} |a_m| \right) \cdot \left( \sum^\infty_{n = 0} |b_n| \right) < \infty.

Ist nun (m_l, n_l)_{l = 1,2,3, \ldots} eine beliebige Abzählung des Gitters \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0, so liefert (8) die Ungleichung

(10) \sum^\infty_{l = 0} |a_{m_l} b_{n_l}| \le \left( \sum^\infty_{m = 0} |a_m| \right) \cdot \left( \sum^\infty_{n = 0} |b_n| \right).

Somit ist die Doppelreihe \sum^\infty_{m, n = 0} a_m b_n absolut konvergent und der Wert der Reihe ist unabhängig von der gewählten Abzählung des Gitters. Der Ungleichung (9) entnehmen wir auch die Abschätzung

\sum^N_{l = 0} |c_l| \le \left( \sum^\infty_{m = 0} |a_m| \right) \cdot \left( \sum^\infty_{n = 0} |b_n| \right) < \infty für alle N \in \mathbb{N},

welche die absolute Konvergenz der Reihe \sum^\infty_{l = 0} c_l impliziert.

2. Durch den Grenzübergang N \to \infty in der Identität

(11) \sum^N_{m, n = 0} a_m b_n = \left( \sum^N_{m = 0} a_m \right) \cdot \left( \sum^N_{n = 0} b_n \right)

erhalten wir schließlich die linke Identität in (7). Durch Wahl einer speziellen Abzählung erhalten wir ferner

(12) \sum^\infty_{m, n = 0} a_m b_n = \sum^\infty_{l = 0} \left( \sum_{m, n \ge 0: m + n = l} a_m b_n \right) = \sum^\infty_{l = 0} c_l

und somit die rechte Identität in (7).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Cauchyscher Produktsatz)

Die Potenzreihen \sum^\infty_{n = 0} a_n z^n und \sum^\infty_{n = 0} b_n z^n seien konvergent für alle z \in \mathbb{C} mit | z | < R, wobei 0 < R \le \infty gegeben sei. Dann gilt für alle z \in \mathbb{C} mit | z | < R die Identität
\left( \sum^\infty_{n = 0} a_n z^n \right) \cdot \left( \sum^\infty_{n = 0} b_n z^n \right) = \sum^\infty_{n = 0} c_n z^n
mit den Koeffizienten
c_n := \sum^n_{k = 0} a_k b_{n - k} = \sum^n_{k = 0} a_{n - k} b_k, \quad n = 0,1,2,\ldots.

[Bearbeiten] Beweis

Nach Satz 14 aus §6 konvergieren die angegebenen Reihen für alle z \in \mathbb{C} mit | z | < R absolut und mit Satz 3 multiplizieren wir wie folgt aus:

\left( \sum^\infty_{n = 0} a_n z^n \right) \cdot \left( \sum^\infty_{n = 0} b_n z^n \right) = \sum^\infty_{n = 0} \left( \sum_{k,l \ge 0: k + l = n} a_k b_l\right) z^n.

Wir erhalten damit die angegebene Identität.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 6

Die Doppelfolge \{s_{mn}\}_{m, n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{C} heißt konvergent, wenn es eine komplexe Zahl s \in \mathbb{C} gibt, so dass für alle \varepsilon > 0 ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N} existiert mit der Eigenschaft
|s_{mn} - s| < \varepsilon für alle m, n \ge N.

[Bearbeiten] Bemerkung

Die Zahl s \in \mathbb{C} ist eindeutig bestimmt und wir schreiben

(13) s = \lim_{m, n \to \infty} s_{mn} oder s_{mn} \to s \ (m, n \to \infty).

[Bearbeiten] Satz 4 (Cauchysches Konvergenzkriterium für Doppelfolgen)

Eine Doppelfolge \{s_{mn}\}_{m, n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{C} ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem \varepsilon > 0 eine Zahl N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N} gibt, so dass |s_{m'n'}-s_{mn}| < \varepsilon für alle m, m' \ge N und n, n' \ge N ausfällt.

[Bearbeiten] Beweis

„\Rightarrow“: Sei \{s_{mn}\}_{m, n \in \mathbb{N}_0} konvergent. Dann gibt es einen Grenzwert s \in \mathbb{C} und zu jedem \varepsilon > 0 ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass die Abschätzung |s_{mn} - s| < \varepsilon für alle m, n \ge N richtig ist. Damit erhalten wir für alle m, m' \ge N und n, n' \ge N die Ungleichung

|s_{mn} - s_{m'n'}| = |s_{mn} - s + s - s_{m'n'}| \le |s_{mn} - s| + |s_{m'n'} - s| < 2 \varepsilon.

Somit stellt \{s_{mn}\}_{m, n \in \mathbb{N}_0} eine Cauchy-Folge dar.

„\Leftarrow“: Sei \{s_{mn}\}_{m, n \in \mathbb{N}_0} eine Cauchy-Folge. Dann gibt es zu jedem \varepsilon > 0 ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N} gibt, so dass |s_{m'n'}-s_{mn}| < \varepsilon für alle m, m' \ge N und n, n' \ge N gilt. Dann betrachten wir die Diagonalfolge \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{C} mit an: = snn für alle n \in \mathbb{N}_0, welche ebenfalls eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von \mathbb{C} nach Satz 2 in §5 existiert eine Zahl s \in \mathbb{C} mit der Eigenschaft

s = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} s_{nn}.

Somit finden wir ein M(\varepsilon) \in \mathbb{N}, welches |s_{nn} - s| < \varepsilon für alle n \ge M(\varepsilon ) realisiert. Setzen wir L(\varepsilon):= \max \{N(\varepsilon), M(\varepsilon)\} \in \mathbb{N}, so folgt für alle m, n \ge L(\varepsilon) die Abschätzung:

(14) |s_{mn} - s| = |s_{mn} - s_{nn} + s_{nn} - s| \le |s_{mn} - s_{nn}| + |s_{nn} - s| < 2 \varepsilon.

Damit ist \lim_{m,n \to \infty} s_{mn} = s gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 6 (Iterierter Limes von Doppelfolgen)

Es sei \{s_{mn}\}_{m, n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{C} eine konvergente Doppelfolge. Außerdem existiere für alle m \in \mathbb{N}_0 der Grenzwert s_m = \lim_{n \to \infty} s_{mn} \in \mathbb{C}. Dann existiert auch der Grenzwert \lim_{m \to \infty} s_m und es gilt
\lim_{m \to \infty} s_m = \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty} s_{mn} \right) = \lim_{m, n \to \infty} s_{mn}.

[Bearbeiten] Beweis

Sei s:= \lim_{m, n \to \infty} s_{mn} gesetzt. Zu beliebig vorgegebenem \varepsilon > 0 gibt es dann ein N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass

|s_{mn} - s| < \varepsilon für alle m, n \ge N(\varepsilon)

richtig ist. Für festes m \ge N(\varepsilon)betrachten wir in dieser Ungleichung den Grenzübergang n \to \infty und erhalten die Abschätzung

|s_m - s| \le \varepsilon für alle m \ge N(\varepsilon).

Somit folgt \lim_{m \to \infty} s_m = s.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 7

Sei \{c_{kl}\}_{k, l \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{C} eine Doppelfolge, so dass deren zugehörige Doppelreihe \sum^\infty_{k, l = 0} c_{kl} absolut konvergent ist. Dann ist die Doppelfolge ihrer Partialsummen
(15) s_{mn} := \sum^m_{k = 0} \sum^n_{l = 0} c_{kl}, \quad m, n = 0, 1, 2, \ldots
konvergent und es gilt die Identität
(16) \lim_{m, n \to \infty} s_{mn} = \sum^\infty_{k, l = 0} c_{kl}
zwischen dem Limes der Doppelfolge ihrer Partialsummen und dem Wert der Doppelreihe.

[Bearbeiten] Beweis

Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Doppelfolgen zeigen wir die Existenz des Grenzwerts \lim_{m, n \to \infty} s_{mn}. Da die Doppelreihe absolut konvergent ist, gibt es zu jedem \varepsilon > 0 ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass die Abschätzung

(17) \sum_{(k, l) \in \mathbf{M}(N)} |c_{kl}| \le \varepsilon

erfüllt ist, wenn wir die angegebene Reihe über die zugehörige Indexmenge

\mathbf{M}(N) := \{(k,l) \in \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0: k\ oder\ l \ge N\}

summieren. Nun gilt für alle m, m', n, n' \ge N die folgende Abschätzung

(18) |s_{m'n'} - s_{mn}| = \left| \sum^{m'}_{k = 0} \sum^{n'}_{l = 0} c_{kl} - \sum^m_{k = 0} \sum^n_{l = 0} c_{kl} \right| = \left| \sum^\infty_{k, l = 0} \sigma_{kl} c_{kl} \right|.

Dabei erscheinen in der Reihe auf der rechten Seite offenbar die folgenden Faktoren:

(19) σkl: = 0 für 0 \le k \le N und 0 \le l \le N,
(19) σkl: = 0 für k oder l \ge \max\{m, m', n, n'\} + 1,
(19) \sigma_{kl} \in \{-1, 0, +1\} sonst.

Wir bemerken, dass sich damit die Reihe in (18) auf eine endliche Summe reduziert. Also folgt für alle m, m', n, n' \ge N die Ungleichung

(20) |s_{m'n'} - s_{mn}| \le \sum_{(k, l) \in \mathbf{M}(N)} |c_{kl}| \le \varepsilon.

Nach Satz 5 ist damit die Doppelfolge \{s_{mn}\}_{m, n = 0, 1, 2, \ldots} konvergent.

2. Der Wert der absolut konvergenten Doppelreihe ist unabhängig von der Auswahl der Abzählung des Gitters \mathbb{N}_0 \times \mathbb{N}_0. Da weiter der Grenzwert einer konvergenten Doppelfolge mit dem Grenzwert der zugehörigen Diagonalfolge übereinstimmt, erhalten wir

(21) \sum^\infty_{k, l = 0} c_{kl} = \lim_{n \to \infty} s_{nn} = \lim_{m, n \to \infty} s_{mn}.

Damit ist alles gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 8 (Iterierte Summation)

Sei \{c_{kl}\}_{k, l \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{C} eine Doppelfolge, so dass deren zugehörige Doppelreihe \sum^\infty_{k, l = 0} c_{kl} absolut konvergent ist. Dann gilt
(22) \sum^\infty_{k, l = 0} c_{kl} = \sum^\infty_{k = 0} \left( \sum^\infty_{l = 0} c_{kl} \right) = \sum^\infty_{l = 0} \left( \sum^\infty_{k = 0} c_{kl} \right).

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Doppelfolge der Partialsummen

s_{mn} := \sum^m_{k = 0} \sum^n_{l = 0} c_{kl}, \quad m,n \in \mathbb{N}_0.

Nach obigem Satz 7 besitzt diese einen Grenzwert

\lim_{m,n \to \infty} s_{mn} =: s \in \mathbb{C}.

Wegen der absoluten Konvergenz der Doppelreihe existieren für alle m \in \mathbb{N}_0 die Grenzwerte

(23) s_m := \lim_{n \to \infty} s_{mn} = \lim_{n \to \infty} \sum^m_{k = 0} \sum^n_{l = 0} c_{kl} = \sum^m_{k = 0} \left( \sum^\infty_{l = 0} c_{kl} \right).

Satz 6 liefert dann die Existenz des Grenzwertes \lim_{m \to \infty} s_m sowie die Gleichung

(24) s = \lim_{m \to \infty} s_m

des iterierten Limes. Also folgt aus (23), (24) und Satz 7 die Identität:

(25) \sum^\infty_{k, l = 0} c_{kl} = s = \lim_{m \to \infty} s_m = \lim_{m \to \infty} \left[ \sum^m_{k = 0} \left( \sum^\infty_{l = 0} c_{kl} \right) \right] = \sum^\infty_{k = 0} \left( \sum^\infty_{l = 0} c_{kl} \right).

Somit ist die linke Identität in (22) gezeigt; die rechte Gleichung beweist man genauso.

q.e.d.

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