Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Definition der reellen Zahlen (§2)

Hilfssatz 1

Es gibt kein $x\in \mathbb {Q}$ mit $x^{2}=2$.

Beweis (indirekt)

Angenommen, es gibt ein $x\in \mathbb {Q}$ mit $x^{2}=2$, dann lässt sich $x$ in der Form

$x:={\frac {p}{q}}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$

darstellen. Wir können o. B. d. A. voraussetzen, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind, da wir ggf. gemeinsame Teiler kürzen. Damit folgt wegen

$x^{2}=\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}\Leftrightarrow p^{2}=2q^{2}$,

dass $p^{2}$ und damit auch $p$ eine gerade Zahl ist. Es gibt also ein $m\in \mathbb {Z}$ mit $p=2m$. Wir erhalten

$p^{2}=4m^{2}=2q^{2}\Rightarrow q^{2}=2m^{2}$.

Somit ist neben $p$ auch $q$ eine gerade Zahl. Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind. Die Annahme, es gäbe ein $x\in \mathbb {Q}$ mit $x^{2}=2$, ist also falsch. Damit ist Hilfssatz 1 bewiesen.

q.e.d.

Wir wollen nun eine Lösung der Gleichung $x^{2}=2$ definieren. Seien die Ziffern $a_{k}\in \mathbb {N} _{0}$ mit $0\leq a_{k}\leq 9$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ gewählt. Dazu betrachten wir die Darstellung

${\sqrt {2}}:=x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{10^{k}}}=a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{100}}+\ldots$

als unendlichen Dezimalbruch mit $a_{0}=1,a_{1}=4,a_{2}=1$ usw. Wir erklären die in rationale Zahlenfolge $\{x_{n}\}$ durch

$x_{n}:=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\in \mathbb {Q}$ für $n=0,1,2,\ldots$

mit dem Grenzwert ${\sqrt {2}}$. Der Hilfssatz 1 besagt, dass dieser Grenzwert nicht in $\mathbb {Q}$ liegen kann. Wir werden die Folge $\{x_{n}\}$ mit der reellen Zahl ${\sqrt {2}}$ identifizieren. Für beliebige $m,n\geq N\in \mathbb {N}$ und o. B. d. A. $n>m$ gilt die Ungleichung

$|x_{n}-x_{m}|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\right|\leq \sum _{k=m+1}^{n}{\frac {|a_{k}|}{10^{k}}}\leq \sum _{k=m+1}^{n}{\frac {10}{10^{k}}}=\sum _{k=m+1}^{n}\left({\frac {1}{10}}\right)^{k-1}$

${\stackrel {p:=k-m-1}{=}}\sum _{p=0}^{n-m-1}\left({\frac {1}{10}}\right)^{p+m}=\left({\frac {1}{10}}\right)^{m}\cdot \sum _{p=0}^{n-m-1}\left({\frac {1}{10}}\right)^{p}=\left({\frac {1}{10}}\right)^{m}\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-m}}{1-{\frac {1}{10}}}}$

$\leq {\frac {10}{9}}\cdot \left({\frac {1}{10}}\right)^{m}\leq {\frac {10}{9}}\cdot \left({\frac {1}{10}}\right)^{N}$.

Für ein gegebenes $\varepsilon >0$ kann man ein $N=N(\varepsilon )$ derart wählen, dass

$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$ für alle $n,m\geq N(\varepsilon )$

richtig ist – und somit die Streuung der Folge $\{x_{n}\}$ rationaler Zahlen beliebig klein wird.

Definition 1

Eine Abbildung

$f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ vermöge $n\mapsto x_{n}:=f(n)$

heißt rationale Zahlenfolge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Die $x_{n}$ heißen Glieder der Zahlenfolge.

Bemerkung

Bei Folgen und Reihen betrachten wir die Indexmengen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {N} _{0}$ als geordnete Mengen.

Definition 2

Eine rationale Zahlenfolge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ gibt, dass für alle $m,n\geq N(\varepsilon )$ die Ungleichung

(1) $|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$

erfüllt ist.

Definition 3

Eine rationale Cauchy-Folge $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Nullfolge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )$ derart gibt, dass für alle $n\geq N(\varepsilon )$ stets $|x_{n}|<\varepsilon$ gilt.

Definition 4

Zwei Cauchy-Folgen $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ und $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ heißen zueinander äquivalent genau dann, wenn $\{x_{n}-y_{n}\}$ eine Nullfolge ist. Man schreibt:

$\{x_{n}\}\sim \{y_{n}\}\Leftrightarrow |x_{n}-y_{n}|<\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$.

Definition 5

Für eine beliebige Menge $M$ sei zwischen zwei Elementen $a,b\in M$ eine Relation $a\sim b$ derart definiert, so dass für jedes geordnete Paar $(a,b)\in M\times M$ feststeht, ob $a\sim b$ richtig ist oder nicht. Diese Relation heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn die Axiome $(R),(S),(T)$ erfüllt sind.

$(R)$ Für alle $a\in M$ gilt: $a\sim a$ (Reflexivität)

$(S)$ Für alle $a,b\in M$ gilt: $a\sim b\Rightarrow b\sim a$ (Symmetrie)

$(T)$ Für alle $a,b,c\in M$ gilt: $(a\sim b)\wedge (b\sim c)\Rightarrow a\sim c$ (Transitivität)

Beispiel 1

a) Die Gleichheit rationaler Zahlen ist eine Äquivalenzrelation, denn für alle $a,b,c\in \mathbb {Q}$ gelten:
$(R)\quad a=a$
$(S)\quad a=b\Rightarrow b=a$
$(T)\quad (a=b)\wedge (b=c)\Rightarrow a=c$
b) Die kleiner-Relation rationaler Zahlen ist wegen $(R)\quad a<a$ keine Äquivalenzrelation.
c) Für $M=\mathbb {Z}$ ist

$a\sim b\Leftrightarrow {\frac {a-b}{2}}\in \mathbb {Z}$

eine Äquivalenzrelation, die $\mathbb {Z}$ in die elementfremden Äquivalenzklassen der geraden und ungeraden Zahlen einteilt. (vgl. Definition 6)

Beispiel 2

Sei ${\mathcal {M}}$ die Menge der rationalen Cauchy-Folgen $\{x_{n}\}$. Dann ist die in Definition 4 erklärte Beziehung eine Äquivalenzrelation, denn für alle $\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ gelten

${\begin{matrix}(R)\quad \{x_{n}\}\sim \{x_{n}\},&{\text{weil }}\{x_{n}-x_{n}\}{\text{ die konstante Nullfolge ist.}}\\(S)\quad \{x_{n}\}\sim \{y_{n}\}&\Rightarrow |x_{n}-y_{n}|<\varepsilon \mathrm {\ f{\ddot {u}}r\ alle\ } n\geq N(\varepsilon )\\&\Rightarrow |y_{n}-x_{n}|=|(-1)\cdot (x_{n}-y_{n})|=|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon \\&\Rightarrow \{y_{n}\}\sim \{x_{n}\}\ \mathrm {gem{\ddot {a}}ss\ Definition\ 4.} \end{matrix}}$

$(T)\quad \{x_{n}\}\sim \{y_{n}\}\wedge \{y_{n}\}\sim \{z_{n}\}$

$\Rightarrow |x_{n}-z_{n}|=|(x_{n}-y_{n})+(y_{n}-z_{n})|\leq |x_{n}-y_{n}|+|y_{n}-z_{n}|<\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$

$\Rightarrow \{x_{n}\}\sim \{z_{n}\}$ gemäß Definition 4.

Definition 6

Sei $M$ eine Menge mit einer Äquivalenzrelation $\sim$. Dann heißt eine Teilmenge $A\subset M$ Äquivalenzklasse, falls folgendes gilt:

1. $A\neq \emptyset$.

2. $x,y\in A\Rightarrow x\sim y$.

3. $x\in A,y\in M,x\sim y\Rightarrow y\in A$.

Satz 1

Sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf der Menge $M$, dann ist für jedes beliebige $a\in M$ die Menge

$K_{a}:=\{x\in M:x\sim a\}$

eine Äquivalenzklasse. Wir nennen $x\in K_{a}$ einen Repräsentanten der Äquivalenzklasse $K_{a}$.

(2) Für $a,b\in M$ und $a\neq b$ gilt: $K_{a}=K_{b}\Leftrightarrow a\sim b$.

Beweis

Zunächst zeigen wir, dass $K_{a}$ eine Äquivalenzklasse ist. Wegen $a\sim a$ ist $a\in K_{a}$ und damit $K_{a}\neq \emptyset$. Seien $x,y\in K_{a}$, so folgt $x\sim a$ und $y\sim a$ und wegen $(T)$ folgt $x\sim y$. Ist $x\in K_{a},y\in M$ und $x\sim y$, so folgt $y\in K_{a}$ – wegen $x\sim a$ und $(T)$. Damit ist $K_{a}$ eine Äquivalenzklasse. Das Nachrechnen der Äquivalenz (2) überlassen wir zur Übung dem Leser.

q.e.d.

Bemerkung

Eine Menge $M$ wird also durch die Erklärung einer Äquivalenzrelation $\sim$ in paarweise disjunkte Klassen eingeteilt und es gilt

$M=\bigcup _{a\in M}K_{a}$.

Definition 7

Für eine rationale Cauchy-Folge $\{a_{n}\}$ bezeichnen wir mit $[a_{n}]$ die Äquivalenzklasse aller Cauchy-Folgen $\{x_{n}\}$, die mit der Folge $\{a_{n}\}$ äquivalent sind. Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ erklären wir als die Menge aller Äquivalenzklassen $[a_{n}]:=\alpha$ rationaler Cauchy-Folgen. Die Elemente $\alpha \in \mathbb {R}$ heißen reelle Zahlen. Man verwendet die Schreibweise:

$\alpha :=[a_{n}]=\{\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}:\{x_{n}\}\sim \{a_{n}\}\}$.

Bemerkung

Wir nennen $\alpha \in \mathbb {R}$ rational, wenn $a_{n}={\frac {p}{q}}\ (p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt – sonst heißt $\alpha$ irrational. Damit sind die konstanten rationalen Cauchy-Folgen die Repräsentanten der rationalen Elemente von $\mathbb {R}$.

Hilfssatz 2

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

Beweis

Sei $\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}$. Dann ist zu zeigen, dass es eine positive Zahl $c$ gibt mit $|x_{n}|\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Da $\{x_{n}\}$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es gemäß Definition 2 zu $\varepsilon =1$ eine natürliche Zahl $N=N(1)$ mit $|x_{n}-x_{m}|<1$ für alle $m,n\geq N$. Dann folgt nach der Dreiecksungleichung

$|x_{n}|=|(x_{n}-x_{N})+x_{N}|\leq |x_{n}-x_{N}|+|x_{N}|$.

Setzen wir $c:=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{N-1}|,1+|x_{N}|,\}$, so ergibt sich mit $|x_{n}|\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N}$ die Behauptung.

Hilfssatz 3

Seien $\{a_{n}\},\{b_{n}\},\{x_{n}\},\{y_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ rationale Cauchy-Folgen, wobei $\{a_{n}\}\sim \{x_{n}\}$ und $\{b_{n}\}\sim \{y_{n}\}$ erfüllt ist. Dann sind auch $\{a_{n}+b_{n}\},\{a_{n}\cdot b_{n}\},\{x_{n}+y_{n}\},\{x_{n}\cdot y_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ rationale Cauchy-Folgen und es gelten die Relationen

(3) $\{a_{n}+b_{n}\}\sim \{x_{n}+y_{n}\}$

sowie

(4) $\{a_{n}\cdot b_{n}\}\sim \{x_{n}\cdot y_{n}\}$.

Beweis

Es ist jeweils die Differenzfolge als Nullfolge zu erkennen (vgl. Definition 4). Zuerst zeigen wir (3) unter Anwendung der Dreiecksungleichung:

(3) $\Leftrightarrow |(x_{n}+y_{n})-(a_{n}+b_{n})|=|(x_{n}-a_{n})+(y_{n}-b_{n})|$

$\leq |x_{n}-a_{n}|+|y_{n}-b_{n}|{\stackrel {(n.V.)}{<}}\varepsilon +\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$.

Analog ergibt sich nach Hilfssatz 2 und (12) und (13) in Satz 2 aus §1:

(4) $\Leftrightarrow |x_{n}y_{n}-a_{n}b_{n}|=|x_{n}y_{n}-a_{n}y_{n}+a_{n}y_{n}-a_{n}b_{n}|$

$=|(x_{n}-a_{n})y_{n}+(y_{n}-b_{n})a_{n}|\leq |(x_{n}-a_{n})y_{n}|+|(y_{n}-b_{n})a_{n}|$

$=|(x_{n}-a_{n})|\cdot |y_{n}|+|(y_{n}-b_{n})|\cdot |a_{n}|\leq c(|(x_{n}-a_{n})|+|(y_{n}-b_{n})|)$

${\stackrel {(n.V.)}{\leq }}2c\varepsilon$ für alle $n\geq N(\varepsilon )$.

Dabei wurde $c>0$ geeignet gewählt.

q.e.d.

Definition 8

Im beliebigen Körper $\mathbb {K}$ sei die Folge $\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {K}$ gegeben. Weiter sei eine beliebige Folge natürlicher Zahlen $1\leq n_{1}<n_{2}<n_{3}<\ldots$ gewählt. Dann nennen wir

$\{x_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }=x_{n_{1}},x_{n_{2}},\ldots ,x_{n_{k}},\ldots$

eine Teilfolge der Folge $\{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$.

Hilfssatz 4

Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine rationale Cauchy-Folge. Dann tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

$(i)$ $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge.

$(ii)$ Typ $A^{+}$: Es gibt eine positive Zahl $a$ und ein $N\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}>a$ für alle $n\geq N$.

$(iii)$ Typ $A^{-}$: Es gibt eine negative Zahl $a$ und ein $N\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}<a$ für alle $n\geq N$.

Beweis

Sei $\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}$. Wenn Fall $(i)$ nicht eintritt, also $\{x_{n}\}$ keine Nullfolge darstellt, so gibt es ein $\varepsilon >0$ und eine Teilfolge

$\{x_{n_{k}}\}$ mit $|x_{n_{k}}|\geq 2\varepsilon$ für alle $k\geq K(\varepsilon )$.

Wegen $\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ gibt es andererseits eine natürliche Zahl $p\geq K(\varepsilon )$ derart, dass folgendes gilt:

$|x_{m}-x_{n_{p}}|<\varepsilon$ für alle $m>n_{p}$.

Nach Voraussetzung $|x_{n_{p}}|\geq 2\varepsilon$ gilt entweder $x_{n_{p}}\geq 2\varepsilon >0$ oder $x_{n_{p}}\leq -2\varepsilon$. Im ersten Fall gilt

$x_{m}=x_{n_{p}}+(x_{m}-x_{n_{p}})\geq 2\varepsilon -|x_{m}-x_{n_{p}}|\geq \varepsilon >0$

für alle $m>n_{p}$, also tritt Fall $(ii)$ ein; dabei wird $a:=\varepsilon$ und $N:=n_{p}$ gesetzt. Im zweiten Fall hat man für alle $m>n_{p}$ die Abschätzung

$x_{m}=x_{n_{p}}+(x_{m}-x_{n_{p}})\leq -2\varepsilon -|x_{m}-x_{n_{p}}|\leq -\varepsilon <0$,

aus der $(iii)$ folgt.

q.e.d.

Hilfssatz 5

Seien $\{x_{n}\}$ und $\{y_{n}\}$ zueinander äquivalente rationale Cauchy-Folgen, die keine Nullfolgen sind. Weiter gelte $x_{n}\neq 0$ und $y_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann sind $\{x_{n}^{-1}\}$ und $\{y_{n}^{-1}\}$ Cauchy-Folgen und es gilt

(5) $\{x_{n}^{-1}\}\sim \{y_{n}^{-1}\}$.

Beweis

Wegen Hilfssatz 4 gibt es eine positive Zahl $a$ und ein $N\in \mathbb {N}$ derart, dass die Ungleichungen $|x_{n}|\geq a$ und $|y_{n}|\geq a$ für alle $n\geq N$ erfüllt sind. Da für alle $n\geq N$ die Abschätzungen

$\left|{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{x_{m}}}\right|{\stackrel {(18)}{\leq }}{\frac {1}{a^{2}}}|x_{n}-x_{m}|<{\frac {\varepsilon }{a^{2}}}$

richtig sind, bildet $\left\{{\frac {1}{x_{n}}}\right\}$ eine Cauchy-Folge. Somit liefert auch $\left\{{\frac {1}{y_{n}}}\right\}$ eine Cauchy-Folge. Weiter folgt wegen Formel (18) aus §1 und Definition 4 für alle $\varepsilon >0$ und $n\geq N(\varepsilon )$:

$\left|{\frac {1}{x_{n}}}-{\frac {1}{y_{n}}}\right|\leq {\frac {1}{a^{2}}}|x_{n}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{a^{2}}}\Rightarrow \left\{{\frac {1}{x_{n}}}\right\}\sim \left\{{\frac {1}{y_{n}}}\right\}$.

q.e.d.

Bemerkungen

Wenn $\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ und $\{x_{n_{k}}\}$ eine Teilfolge von $\{x_{n}\}$ darstellt, dann sehen wir

$\{x_{n}\}\sim \{x_{n_{k}}\}$.

Offenbar kann man durch Addition der Terme $\pm {\frac {1}{n}}\ (n\in \mathbb {N} )$ eine Folge $\{x_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ so verändern, dass eine Folge $\{x_{n}^{*}\}$ entsteht, die den Bedingungen $x_{n}^{*}\neq 0$ für $n=1,2,\ldots$ und $\{x_{n}^{*}\}\sim \{x_{n}\}$ genügt.

Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen lassen sich die Rechenoperationen und der Begriff der Positivität für Elemente $\alpha =[a_{n}]\in \mathbb {R}$ durch Repräsentanten $\{a_{n}\}\in {\mathcal {M}}$ der zugehörigen Äquivalenzklassen definieren.

Definition 9 (Eigenschaft der Positivität)

$\alpha :=[a_{n}]=0\Leftrightarrow \{a_{n}\}$ ist eine Nullfolge.

$\alpha >0\Leftrightarrow \{a_{n}\}$ gehört zum Typ $A^{+}$.

$\alpha <0\Leftrightarrow \{a_{n}\}$ gehört zum Typ $A^{-}$.

Definition 10 (Rechenoperationen in $\mathbb {R}$)

Seien $\alpha =[a_{n}]\in \mathbb {R}$ und $\beta =[b_{n}]\in \mathbb {R}$. Dann definiert man:

(6) $\alpha +\beta :=[a_{n}+b_{n}]$ Summe von $\alpha$ und $\beta$

(7) $\alpha \cdot \beta :=[a_{n}\cdot b_{n}]$ Produkt von $\alpha$ und $\beta$

(8) $-\alpha :=[-a_{n}]$ Negatives von $\alpha$

(9) $\alpha \neq 0$ und $a_{n}\neq 0\ (n\in \mathbb {N} )\Rightarrow \alpha ^{-1}:=\left[{\frac {1}{a_{n}}}\right]$ Inverses von $\alpha$

Definition 11 (Einbettung der rationalen Zahlen in $\mathbb {R}$)

Sei $\alpha =[a_{n}]$ mit $a_{n}=r\in \mathbb {Q}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann setzen wir $\alpha :=r$.

Definition 12 (Intervalle reeller Zahlen)

Seien $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ und $\alpha <\beta$ gegeben, so erklären wir

$(\alpha ,\beta ):=\{x\in \mathbb {R} :\alpha <x<\beta \}$ als offenes Intervall,

$[\alpha ,\beta ]:=\{x\in \mathbb {R} :\alpha \leq x\leq \beta \}$ als abgeschlossenes Intervall,

$(\alpha ,\beta ]:=\{x\in \mathbb {R} :\alpha <x\leq \beta \}$ als halboffenes Intervall,

$[\alpha ,\beta ):=\{x\in \mathbb {R} :\alpha \leq x<\beta \}$ als offenes Intervall.

Bemerkung

Es kann auch $\alpha =-\infty$ und $\beta =+\infty$ gewählt werden.

Satz 2

Die Menge $\mathbb {R}$ ist bezüglich Definition 9 und der in Definition 10 erklärten Operationen (6) bis (9) ein angeordneter Körper, der den Körper $\mathbb {Q}$ als echten Unterkörper enthält.

Bemerkung

Der Beweis ist bezüglich Definition 1 und 2 aus §1 leicht zu führen. Die Erweiterung $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$ ist sinnvoll, da wir nun die Gleichung $x^{2}-2=0$ in $\mathbb {R}$ lösen können.

Satz 3

Es seien $a\in \mathbb {R}$ mit $a>0$ und $p\in \mathbb {N}$. Dann gibt es genau ein $x\in \mathbb {R}$ mit $x>0$ derart, dass $x^{p}=a$ gilt.

Beweis

1. (Eindeutigkeit) Angenommen, es gäbe zwei positive Zahlen $x,y\in \mathbb {R}$ mit $x\neq y$ und $x^{p}=a$ sowie $y^{p}=a$. Dann sei o. B. d. A. $0<x<y$ und mittels vollständiger Induktion über $p$ zeigt man $0<x^{p}<y^{p}$. Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass $x^{p}=y^{p}=a$ gilt. Somit besitzt die Gleichung $x^{p}=a$ höchstens eine Lösung.

2. (Konstruktion der Lösung) Angenommen es gibt ein $x\in \mathbb {Q}$ mit $x^{p}=a$. Dann ist nichts mehr zu beweisen. Nehmen wir also an, es gäbe kein $x\in \mathbb {Q}$ mit $x^{p}=a$. Für $n=0,1,2,\ldots$ zerlegt die Zahlenfolge

$\left\{\left({\frac {i}{10^{n}}}\right)^{p}\right\}_{i=0,1,2,\ldots }$

die Menge der nicht negativen reellen Zahlen $[0,+\infty ]$. Beim Übergang von der $n$-ten zur $(n+1)$-ten Zerlegung wird jedes Intervall in zehn Teilintervalle zerlegt. Nach Voraussetzung folgt für alle $i,n\in \mathbb {N} _{0}$ die Ungleichung

$\left\{\left({\frac {i}{10^{n}}}\right)^{p}\right\}\neq 0$,

denn die Lösung soll nicht in $\mathbb {Q}$ liegen. Somit fällt $x\in \mathbb {R}$ bei jeder Zerlegung ins Innere genau eines solchen Intervalls. Deshalb gibt es eine Folge $\{x_{n}\}$ erklärt durch

$x_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {b_{k}}{10^{k}}}=b_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {b_{k}}{10^{k}}}\leq b_{0}+1$

mit $b_{0}\in \mathbb {N} _{0}$ sowie $b_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$ für $k\geq 1$. Wir beachten

(10) $x_{n}^{p}<a<\left(x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\right)^{p}$.

Für $m>n$ hat man die Ungleichung

$x_{n}\leq x_{m}\leq x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\leq 1+b_{0}$.

Also ist $\{x_{m}\}\in {\mathcal {M}}$ und wir setzen $x:=[x_{m}]\in \mathbb {R}$. Für alle $n\in \mathbb {N}$ gelten

(11) $x_{n}\leq x\leq x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}$ und $x_{n}^{p}\leq x^{p}\leq \left(x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\right)^{p}$.

Aus (10), (11) und Satz 5 aus §1 folgt

$0\leq |x^{p}-a|\leq \left(x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\right)^{p}-x_{n}^{p}=x_{n}^{p}\left[\left({\frac {1}{x_{n}\cdot 10^{n}}}+1\right)^{p}-1\right]$

$=x_{n}^{p}\sum _{k=1}^{p}{\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}}\left({\frac {1}{x_{n}\cdot 10^{n}}}\right)^{k}\leq (b_{0}+1)^{p}\cdot \sum _{k=1}^{p}{\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}}\left({\frac {1}{x_{n}\cdot 10^{n}}}\right)^{k}$.

Für $n\to \infty$ strebt die rechte Seite in obiger Ungleichung gegen Null. Also gilt für $n\to \infty$ die Abschätzung

$0\leq |x^{p}-a|\leq 0$ bzw. $x^{p}=a$.

q.e.d.