Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Definition der reellen Zahlen (§2)

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[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Es gibt kein $x \in \mathbb{Q}$ mit $x 2 = 2$ .

[Bearbeiten] Beweis (indirekt)

Angenommen, es gibt ein $x \in \mathbb{Q}$ mit $x 2 = 2$ , dann lässt sich $x$ in der Form

$x:=\frac{p}{q}$ mit $p \in \mathbb{Z}$ und $q \in \mathbb{N}$

darstellen. Wir können o. B. d. A. voraussetzen, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind, da wir ggf. gemeinsame Teiler kürzen. Damit folgt wegen

$x^2 = \left(\frac{p}{q} \right)^2 \Leftrightarrow p^2 = 2q^2$ ,

dass $p 2$ und damit auch $p$ eine gerade Zahl ist. Es gibt also ein $m \in \mathbb{Z}$ mit $p = 2 m$ . Wir erhalten

$p^2 = 4m^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2m^2$ .

Somit ist neben $p$ auch $q$ eine gerade Zahl. Dieses steht im Widerspruch zur Voraussetzung, dass $p$ und $q$ teilerfremd sind. Die Annahme, es gäbe ein $x \in \mathbb{Q}$ mit $x 2 = 2$ , ist also falsch. Damit ist Hilfssatz 1 bewiesen.

q.e.d.

Wir wollen nun eine Lösung der Gleichung $x 2 = 2$ definieren. Seien die Ziffern $a_k \in \mathbb{N}_0$ mit $0 \le a_k \le 9$ für alle $k \in \mathbb{N}_0$ gewählt. Dazu betrachten wir die Darstellung

$\sqrt{2} := x = \sum^\infty_{k = 0} \frac{a_k}{10^k} = a_0 + \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{100} + \ldots$

als unendlichen Dezimalbruch mit $a 0 = 1, a 1 = 4, a 2 = 1$ usw. Wir erklären die in rationale Zahlenfolge ${x n}$ durch

$x_n := \sum^n_{k = 0} \frac{a_k}{10^k} \in \mathbb{Q}$ für $n = 0, 1, 2, \ldots$

mit dem Grenzwert $\sqrt{2}$ . Der Hilfssatz 1 besagt, dass dieser Grenzwert nicht in $\mathbb{Q}$ liegen kann. Wir werden die Folge ${x n}$ mit der reellen Zahl $\sqrt{2}$ identifizieren. Für beliebige $m, n \ge N \in \mathbb{N}$ und o. B. d. A. $n > m$ gilt die Ungleichung

$|x_n - x_m| = \left| \sum^n_{k = m + 1} \frac{a_k}{10^k} \right| \le \sum^n_{k = m + 1} \frac{|a_k|}{10^k} \le \sum^n_{k = m + 1} \frac{10}{10^k} = \sum^n_{k = m + 1} \left( \frac{1}{10} \right)^{k - 1}$

$\stackrel{p := k - m - 1}{=} \sum^{n - m - 1}_{p = 0} \left( \frac{1}{10} \right)^{p + m} = \left( \frac{1}{10} \right)^m \cdot \sum^{n - m - 1}_{p = 0} \left( \frac{1}{10} \right)^{p} = \left( \frac{1}{10} \right)^m \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{10} \right)^{n - m}}{1 - \frac{1}{10}}$

$\le \frac{10}{9} \cdot \left( \frac{1}{10} \right)^m \le \frac{10}{9} \cdot \left( \frac{1}{10} \right)^N$ .

Für ein gegebenes $\varepsilon > 0$ kann man ein $N = N(\varepsilon)$ derart wählen, dass

$|x_n - x_m| < \varepsilon$ für alle $n, m \ge N(\varepsilon)$

richtig ist – und somit die Streuung der Folge ${x n}$ rationaler Zahlen beliebig klein wird.

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Abbildung

$f:\mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ vermöge $n \mapsto x_n:=f(n)$

heißt rationale Zahlenfolge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ . Die $x n$ heißen Glieder der Zahlenfolge.

[Bearbeiten] Bemerkung

Bei Folgen und Reihen betrachten wir die Indexmengen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{N}_0$ als geordnete Mengen.

[Bearbeiten] Definition 2

Eine rationale Zahlenfolge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ heißt Cauchy-Folge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N = N(\varepsilon)$ gibt, dass für alle $m,n \ge N (\varepsilon)$ die Ungleichung

(1) $|x_n-x_m|< \varepsilon$

erfüllt ist.

[Bearbeiten] Definition 3

Eine rationale Cauchy-Folge $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ heißt Nullfolge genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N = N(\varepsilon)$ derart gibt, dass für alle $n \ge N (\varepsilon)$ stets $|x_n|< \varepsilon$ gilt.

[Bearbeiten] Definition 4

Zwei Cauchy-Folgen $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ und $\{y_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ heißen zueinander äquivalent genau dann, wenn ${x n - y n}$ eine Nullfolge ist. Man schreibt:

$\{x_n\} \sim \{y_n\} \Leftrightarrow |x_n - y_n| < \varepsilon$ für alle $n \ge N (\varepsilon)$ .

[Bearbeiten] Definition 5

Für eine beliebige Menge $M$ sei zwischen zwei Elementen $a,b \in M$ eine Relation $a ˜ b$ derart definiert, so dass für jedes geordnete Paar $(a,b) \in M \times M$ feststeht, ob $a ˜ b$ richtig ist oder nicht. Diese Relation heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn die Axiome $(R),(S),(T)$ erfüllt sind.

$(R)$ Für alle $a \in M$ gilt: $a ˜ a$ (Reflexivität)

$(S)$ Für alle $a,b \in M$ gilt: $a \sim b \Rightarrow b \sim a$ (Symmetrie)

$(T)$ Für alle $a,b,c \in M$ gilt: $(a \sim b) \wedge (b \sim c) \Rightarrow a \sim c$ (Transitivität)

[Bearbeiten] Beispiel 1

a) Die Gleichheit rationaler Zahlen ist eine Äquivalenzrelation, denn für alle $a, b, c \in \mathbb{Q}$ gelten:
$(R) \quad a = a$
$(S) \quad a = b \Rightarrow b = a$
$(T) \quad (a = b) \wedge (b = c) \Rightarrow a = c$
b) Die kleiner-Relation rationaler Zahlen ist wegen $(R) \quad a < a$ keine Äquivalenzrelation.
c) Für $M = \mathbb{Z}$ ist

$a \sim b \Leftrightarrow \frac{a - b}{2} \in \mathbb{Z}$

eine Äquivalenzrelation, die $\mathbb{Z}$ in die elementfremden Äquivalenzklassen der geraden und ungeraden Zahlen einteilt. (vgl. Definition 6)

[Bearbeiten] Beispiel 2

Sei $\mathcal{M}$ die Menge der rationalen Cauchy-Folgen ${x n}$ . Dann ist die in Definition 4 erklärte Beziehung eine Äquivalenzrelation, denn für alle $\{x_n\}, \{y_n\}, \{z_n\} \in \mathcal{M}$ gelten

$\begin{matrix} (R) \quad \{x_n\} \sim \{x_n\}, & \text{weil } \{x_n - x_n\} \text{ die konstante Nullfolge ist.} \\ (S) \quad \{x_n\} \sim \{y_n\} & \Rightarrow |x_n - y_n| < \varepsilon \mathrm{\ f\ddot ur\ alle\ } n \ge N(\varepsilon) \\ & \Rightarrow |y_n - x_n| = |(-1) \cdot (x_n - y_n)| = |x_n - y_n| < \varepsilon \\ & \Rightarrow \{y_n\} \sim \{x_n\}\ \mathrm{gem\ddot ass\ Definition\ 4.} \end{matrix}$

$(T) \quad \{x_n\} \sim \{y_n\} \wedge \{y_n\} \sim \{z_n\}$

$\Rightarrow \{x_n\} \sim \{z_n\}$ gemäß Definition 4.

[Bearbeiten] Definition 6

Sei $M$ eine Menge mit einer Äquivalenzrelation $˜$ . Dann heißt eine Teilmenge $A \subset M$ Äquivalenzklasse, falls folgendes gilt:

1. $A \neq \emptyset$ .

2. $x,y \in A \Rightarrow x \sim y$ .

3. $x \in A, y \in M, x \sim y \Rightarrow y \in A$ .

[Bearbeiten] Satz 1

Sei $˜$ eine Äquivalenzrelation auf der Menge $M$ , dann ist für jedes beliebige $a \in M$ die Menge

$K_a := \{x \in M: x \sim a\}$

eine Äquivalenzklasse. Wir nennen $x \in K_a$ einen Repräsentanten der Äquivalenzklasse $K a$ .

(2) Für $a,b \in M$ und $a \neq b$ gilt: $K_a = K_b \Leftrightarrow a \sim b$ .

[Bearbeiten] Beweis

Zunächst zeigen wir, dass $K a$ eine Äquivalenzklasse ist. Wegen $a ˜ a$ ist $a \in K_a$ und damit $K_a \neq \emptyset$ . Seien $x, y \in K_a$ , so folgt $x ˜ a$ und $y ˜ a$ und wegen $(T)$ folgt $x ˜ y$ . Ist $x \in K_a, y \in M$ und $x ˜ y$ , so folgt $y \in K_a$ – wegen $x ˜ a$ und $(T)$ . Damit ist $K a$ eine Äquivalenzklasse. Das Nachrechnen der Äquivalenz (2) überlassen wir zur Übung dem Leser.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkung

Eine Menge $M$ wird also durch die Erklärung einer Äquivalenzrelation $˜$ in paarweise disjunkte Klassen eingeteilt und es gilt

$M = \bigcup_{a \in M} K_a$ .

[Bearbeiten] Definition 7

Für eine rationale Cauchy-Folge ${a n}$ bezeichnen wir mit $[a n]$ die Äquivalenzklasse aller Cauchy-Folgen ${x n}$ , die mit der Folge ${a n}$ äquivalent sind. Die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ erklären wir als die Menge aller Äquivalenzklassen $[a n]: = α$ rationaler Cauchy-Folgen. Die Elemente $\alpha \in \mathbb{R}$ heißen reelle Zahlen. Man verwendet die Schreibweise:

$\alpha:=[a_n] = \{\{x_n\} \in \mathcal{M}:\{x_n\} \sim \{a_n\}\}$ .

[Bearbeiten] Bemerkung

Wir nennen $\alpha \in \mathbb{R}$ rational, wenn $a_n = \frac{p}{q}\ (p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt – sonst heißt $α$ irrational. Damit sind die konstanten rationalen Cauchy-Folgen die Repräsentanten der rationalen Elemente von $\mathbb{R}$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

[Bearbeiten] Beweis

Sei $\{x_n\} \in \mathcal{M}$ . Dann ist zu zeigen, dass es eine positive Zahl $c$ gibt mit $|x_n| \le c$ für alle $n \in \mathbb{N}$ . Da ${x n}$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es gemäß Definition 2 zu $\varepsilon = 1$ eine natürliche Zahl $N = N (1)$ mit $| x n - x m | < 1$ für alle $m, n \ge N$ . Dann folgt nach der Dreiecksungleichung

$|x_n|=|(x_n- x_N)+x_N|\le |x_n- x_N|+|x_N|$ .

Setzen wir $c:=\max \{|x_1|, |x_2|, \ldots, |x_{N-1}|, 1+|x_N|,\}$ , so ergibt sich mit $|x_n| \le c$ für alle $n \in \mathbb{N}$ die Behauptung.

[Bearbeiten] Hilfssatz 3

Seien $\{a_n\},\{b_n\},\{x_n\},\{y_n\} \in \mathcal{M}$ rationale Cauchy-Folgen, wobei ${a n}˜{x n}$ und ${b n}˜{y n}$ erfüllt ist. Dann sind auch $\{a_n+b_n\}, \{a_n \cdot b_n\}, \{x_n+y_n\}, \{x_n \cdot y_n\} \in \mathcal{M}$ rationale Cauchy-Folgen und es gelten die Relationen

(3)

{a n + b n}˜{x n + y n}

sowie

(4) $\{a_n \cdot b_n\} \sim \{x_n \cdot y_n\}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Es ist jeweils die Differenzfolge als Nullfolge zu erkennen (vgl. Definition 4). Zuerst zeigen wir (3) unter Anwendung der Dreiecksungleichung:

(3) $\Leftrightarrow |(x_n+y_n) - (a_n+b_n)|=|(x_n-a_n) + (y_n-b_n)|$

$\le |x_n-a_n| + |y_n-b_n| \stackrel{(n. V.)}{<} \varepsilon + \varepsilon$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$ .

Analog ergibt sich nach Hilfssatz 2 und (12) und (13) in Satz 2 aus §1:

(4) $\Leftrightarrow |x_ny_n - a_nb_n|=|x_ny_n - a_ny_n + a_ny_n - a_nb_n|$

$= |(x_n - a_n)y_n + (y_n - b_n)a_n| \le |(x_n - a_n)y_n| + |(y_n - b_n)a_n|$

$= |(x_n - a_n)| \cdot |y_n| + |(y_n - b_n)| \cdot |a_n| \le c (|(x_n - a_n)| + |(y_n - b_n)|)$

$\stackrel{(n. V.)}{\le} 2c \varepsilon$ für alle $n \ge N(\varepsilon)$ .

Dabei wurde $c > 0$ geeignet gewählt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 8

Im beliebigen Körper $\mathbb{K}$ sei die Folge $\{x_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{K}$ gegeben. Weiter sei eine beliebige Folge natürlicher Zahlen $1 \le n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$ gewählt. Dann nennen wir

$\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} = x_{n_1}, x_{n_2}, \ldots, x_{n_k}, \ldots$

eine Teilfolge der Folge $\{x_i\}_{i \in \mathbb{N}}$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 4

Sei $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ eine rationale Cauchy-Folge. Dann tritt genau einer der folgenden Fälle ein:

$(i)$ $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ist eine Nullfolge.

$(i i)$ Typ $A +$ : Es gibt eine positive Zahl $a$ und ein $N \in \mathbb{N}$ mit $x n > a$ für alle $n \ge N$ .

$(i i i)$ Typ $A -$ : Es gibt eine negative Zahl $a$ und ein $N \in \mathbb{N}$ mit $x n < a$ für alle $n \ge N$ .

[Bearbeiten] Beweis

Sei $\{x_n\} \in \mathcal{M}$ . Wenn Fall $(i)$ nicht eintritt, also ${x n}$ keine Nullfolge darstellt, so gibt es ein $\varepsilon > 0$ und eine Teilfolge

$\{x_{n_k}\}$ mit $|x_{n_k}| \ge 2 \varepsilon$ für alle $k \ge K(\varepsilon)$ .

Wegen $\{x_n\} \in \mathcal{M}$ gibt es andererseits eine natürliche Zahl $p \ge K(\varepsilon)$ derart, dass folgendes gilt:

$|x_m - x_{n_p}| < \varepsilon$ für alle

m > n p

.

Nach Voraussetzung $|x_{n_p}| \ge 2 \varepsilon$ gilt entweder $x_{n_p} \ge 2 \varepsilon > 0$ oder $x_{n_p} \le -2 \varepsilon$ . Im ersten Fall gilt

$x_m= x_{n_p}+ (x_m - x_{n_p}) \ge 2 \varepsilon - |x_m-x_{n_p}| \ge \varepsilon > 0$

für alle $m > n p$ , also tritt Fall $(i i)$ ein; dabei wird $a:= \varepsilon$ und $N : = n p$ gesetzt. Im zweiten Fall hat man für alle $m > n p$ die Abschätzung

$x_m= x_{n_p}+ (x_m - x_{n_p}) \le -2 \varepsilon - |x_m-x_{n_p}| \le -\varepsilon < 0$ ,

aus der $(i i i)$ folgt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 5

Seien ${x n}$ und ${y n}$ zueinander äquivalente rationale Cauchy-Folgen, die keine Nullfolgen sind. Weiter gelte $x_n \neq 0$ und $y_n \neq 0$ für alle $n \in \mathbb{N}$ . Dann sind $\{x^{-1}_n\}$ und $\{y^{-1}_n\}$ Cauchy-Folgen und es gilt

(5) $\{x^{-1}_n\} \sim \{y^{-1}_n\}$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wegen Hilfssatz 4 gibt es eine positive Zahl $a$ und ein $N \in \mathbb{N}$ derart, dass die Ungleichungen $|x_n| \ge a$ und $|y_n| \ge a$ für alle $n \ge N$ erfüllt sind. Da für alle $n \ge N$ die Abschätzungen

$\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{x_m} \right| \stackrel{(18)}{\le} \frac{1}{a^2} |x_n - x_m| < \frac{\varepsilon}{a^2}$

richtig sind, bildet $\left\{ \frac{1}{x_n} \right\}$ eine Cauchy-Folge. Somit liefert auch $\left\{ \frac{1}{y_n} \right\}$ eine Cauchy-Folge. Weiter folgt wegen Formel (18) aus §1 und Definition 4 für alle $\varepsilon > 0$ und $n \ge N(\varepsilon)$ :

$\left| \frac{1}{x_n} - \frac{1}{y_n} \right| \le \frac{1}{a^2} |x_n - y_n| < \frac{\varepsilon}{a^2} \Rightarrow \left\{ \frac{1}{x_n} \right\} \sim \left\{ \frac{1}{y_n} \right\}$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Wenn $\{x_n\} \in \mathcal{M}$ und $\{x_{n_k}\}$ eine Teilfolge von ${x n}$ darstellt, dann sehen wir

$\{x_n\} \sim \{x_{n_k}\}$ .

Offenbar kann man durch Addition der Terme $\pm \frac{1}{n}\ (n \in \mathbb{N})$ eine Folge $\{x_n\} \in \mathcal{M}$ so verändern, dass eine Folge $\{x_n^*\}$ entsteht, die den Bedingungen $x_n^* \neq 0$ für $n = 1, 2, \ldots$ und $\{x_n^*\} \sim \{x_n\}$ genügt.

Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen lassen sich die Rechenoperationen und der Begriff der Positivität für Elemente $\alpha = [a_n] \in \mathbb{R}$ durch Repräsentanten $\{a_n\} \in \mathcal{M}$ der zugehörigen Äquivalenzklassen definieren.

[Bearbeiten] Definition 9 (Eigenschaft der Positivität)

$\alpha:=[a_n]= 0 \Leftrightarrow \{a_n\}$ ist eine Nullfolge.

$\alpha > 0 \Leftrightarrow \{a_n\}$ gehört zum Typ $A +$ .

$\alpha < 0 \Leftrightarrow \{a_n\}$ gehört zum Typ $A -$ .

[Bearbeiten] Definition 10 (Rechenoperationen in $\mathbb{R}$ )

Seien $\alpha=[a_n] \in \mathbb{R}$ und $\beta=[b_n] \in \mathbb{R}$ . Dann definiert man:

(6) $α + β: = [a n + b n]$ Summe von $α$ und $β$

(7) $\alpha \cdot \beta := [a_n \cdot b_n]$ Produkt von $α$ und $β$

(8) $- α: = [ - a n]$ Negatives von $α$

(9) $\alpha \neq 0$ und $a_n \neq 0\ (n \in \mathbb{N}) \Rightarrow \alpha^{-1}:= \left[ \frac{1}{a_n} \right]$ Inverses von $α$

[Bearbeiten] Definition 11 (Einbettung der rationalen Zahlen in $\mathbb{R}$ )

Sei $α = [a n]$ mit $a_n = r \in \mathbb{Q}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ . Dann setzen wir $α: = r$ .

[Bearbeiten] Definition 12 (Intervalle reeller Zahlen)

Seien $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ und $α < β$ gegeben, so erklären wir

$(\alpha, \beta) := \{x \in \mathbb{R}: \alpha < x < \beta\}$ als offenes Intervall,

$[\alpha, \beta] := \{x \in \mathbb{R}: \alpha \le x \le \beta\}$ als abgeschlossenes Intervall,

$(\alpha, \beta] := \{x \in \mathbb{R}: \alpha < x \le \beta\}$ als halboffenes Intervall,

$[\alpha, \beta) := \{x \in \mathbb{R}: \alpha \le x < \beta\}$ als offenes Intervall.

[Bearbeiten] Bemerkung

Es kann auch $\alpha = - \infty$ und $\beta = + \infty$ gewählt werden.

[Bearbeiten] Satz 2

Die Menge $\mathbb{R}$ ist bezüglich Definition 9 und der in Definition 10 erklärten Operationen (6) bis (9) ein angeordneter Körper, der den Körper $\mathbb{Q}$ als echten Unterkörper enthält.

[Bearbeiten] Bemerkung

Der Beweis ist bezüglich Definition 1 und 2 aus §1 leicht zu führen. Die Erweiterung $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ist sinnvoll, da wir nun die Gleichung $x 2 - 2 = 0$ in $\mathbb{R}$ lösen können.

[Bearbeiten] Satz 3

Es seien $a \in \mathbb{R}$ mit $a > 0$ und $p \in \mathbb{N}$ . Dann gibt es genau ein $x \in \mathbb{R}$ mit $x > 0$ derart, dass $x p = a$ gilt.

[Bearbeiten] Beweis

1. (Eindeutigkeit) Angenommen, es gäbe zwei positive Zahlen $x, y \in \mathbb{R}$ mit $x \neq y$ und $x p = a$ sowie $y p = a$ . Dann sei o. B. d. A. $0 < x < y$ und mittels vollständiger Induktion über $p$ zeigt man $0 < x p < y p$ . Dies steht im Widerspruch zu der Annahme, dass $x p = y p = a$ gilt. Somit besitzt die Gleichung $x p = a$ höchstens eine Lösung.

2. (Konstruktion der Lösung) Angenommen es gibt ein $x \in \mathbb{Q}$ mit $x p = a$ . Dann ist nichts mehr zu beweisen. Nehmen wir also an, es gäbe kein $x \in \mathbb{Q}$ mit $x p = a$ . Für $n = 0,1,2, \ldots$ zerlegt die Zahlenfolge

$\left\{ \left( \frac{i}{10^n} \right)^p \right\}_{i = 0, 1, 2,\ldots}$

die Menge der nicht negativen reellen Zahlen $[0, + \infty]$ . Beim Übergang von der $n$ -ten zur $(n + 1)$ -ten Zerlegung wird jedes Intervall in zehn Teilintervalle zerlegt. Nach Voraussetzung folgt für alle $i, n \in \mathbb{N}_0$ die Ungleichung

$\left\{ \left( \frac{i}{10^n} \right)^p \right\} \neq 0$ ,

denn die Lösung soll nicht in $\mathbb{Q}$ liegen. Somit fällt $x \in \mathbb{R}$ bei jeder Zerlegung ins Innere genau eines solchen Intervalls. Deshalb gibt es eine Folge ${x n}$ erklärt durch

$x_n = \sum^n_{k=0} \frac{b_k}{10^k} = b_0 + \sum^n_{k=1} \frac{b_k}{10^k} \le b_0 + 1$

mit $b_0 \in \mathbb{N}_0$ sowie $b_k \in \{0, 1, 2,\ldots, 9\}$ für $k \ge 1$ . Wir beachten

(10) $x^p_n<a<\left( x_n+\frac{1}{10^n} \right)^p$ .

Für $m > n$ hat man die Ungleichung

$x_n \le x_m \le x_n+\frac{1}{10^n} \le 1 + b_0$ .

Also ist $\{x_m\} \in \mathcal{M}$ und wir setzen $x:= [x_m] \in \mathbb{R}$ . Für alle $n \in \mathbb{N}$ gelten

(11) $x_n \le x \le x_n+\frac{1}{10^n}$ und $x_n^p \le x^p \le \left( x_n+\frac{1}{10^n} \right)^p$ .

Aus (10), (11) und Satz 5 aus §1 folgt

$0 \le |x^p - a| \le \left( x_n+\frac{1}{10^n} \right)^p - x^p_n = x^p_n \left[ \left( \frac{1}{x_n \cdot 10^n}+1 \right)^p - 1 \right]$

$= x^p_n \sum^p_{k=1} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} \left( \frac{1}{x_n \cdot 10^n} \right)^k \le (b_0 + 1)^p \cdot \sum^p_{k=1} \begin{pmatrix} p \\ k \end{pmatrix} \left( \frac{1}{x_n \cdot 10^n} \right)^k$ .

Für $n \to \infty$ strebt die rechte Seite in obiger Ungleichung gegen Null. Also gilt für $n \to \infty$ die Abschätzung

$0 \le |x^p-a| \le 0$ bzw.

x p = a

.

q.e.d.

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

[Bearbeiten] Beweis (indirekt)

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[Bearbeiten] Definition 4

[Bearbeiten] Definition 5

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[Bearbeiten] Definition 6

[Bearbeiten] Satz 1

[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Definition 7

[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

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[Bearbeiten] Hilfssatz 3

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[Bearbeiten] Hilfssatz 4

[Bearbeiten] Beweis

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[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Bemerkungen

[Bearbeiten] Definition 9 (Eigenschaft der Positivität)

[Bearbeiten] Definition 10 (Rechenoperationen in )

[Bearbeiten] Definition 11 (Einbettung der rationalen Zahlen in )

[Bearbeiten] Definition 12 (Intervalle reeller Zahlen)

[Bearbeiten] Bemerkung

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[Bearbeiten] Bemerkung

[Bearbeiten] Satz 3

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