Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Der n-dimensionale Zahlenraum (§4)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Sei n \in \mathbb{N} eine natürliche Zahl. Das kartesische Produkt
\mathbb{R}^n := \underbrace{\mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}}_{n-mal}
bezeichnen wir als n-dimensionalen reellen Zahlenraum. Ein Punkt x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n ist ein geordnetes n-Tupel reeller Zahlen. Das ausgezeichnete Element 0 := (0, \ldots, 0) \in \mathbb{R}^n heißt Nullelement bzw. Nullvektor. Seien weiter x, y \in \mathbb{R}^n und \lambda \in \mathbb{R}, so erklären wir durch
(1) x+y = (x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) := (x_1+y_1, \ldots, x_n+y_n)
eine Addition und durch
(2) \lambda \cdot x = \lambda \cdot (x_1, \ldots, x_n) := (\lambda \cdot x_1, \ldots, \lambda \cdot x_n)
eine skalare Multiplikation.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Für zwei Punkte x = (x_1, \ldots, x_n), y = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n gilt:

x = y \Leftrightarrow x_k = y_k für k = 1, \ldots, n.

2. Für beliebige x, y \in \mathbb{R}^n, \lambda \in \mathbb{R} sind x + y \in \mathbb{R}^n und \lambda x \in \mathbb{R}^n. Somit wird aufgrund der Eigenschaften von \mathbb{R} als Körper der Raum \mathbb{R}^n zusammen mit den Verknüpfungen (1) und (2) zu einem n-dimensionalen Vektorraum über \mathbb{R}.

[Bearbeiten] Definition 2

Seien x, y \in \mathbb{R}^n zwei Vektoren, so erklären wir deren Skalarprodukt (auch inneres Produkt genannt) durch
(3) x \cdot y:= (x,y):= \sum^n_{k = 1} x_k y_k
und den Betrag bzw. die Norm des Vektors x \in \mathbb{R}^n durch
(4) |x|:= \sqrt{(x,x)}= \sqrt{\sum^n_{k = 1} x_k ^2}.

[Bearbeiten] Bemerkung

Es gilt |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0.

[Bearbeiten] Definition 3

Zwei Vektoren x, y \in \mathbb{R}^n heißen zueinander orthogonal (symbolisch: x \perp y), falls (x,y) = 0 gilt.

[Bearbeiten] Satz 1

Für alle x, y \in \mathbb{R}^n gelten die folgenden Ungleichungen
(5) |(x,y)| \le |x| \cdot |y|,
(6) |x+y| \le |x| + |y| (Dreiecksungleichung),
(7) |x-y| \ge ||x| - |y||.

[Bearbeiten] Beweis von (5)

Seien x = (x_1,\ldots, x_n), y = (y_1,\ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n. Mit Hilfe der Ungleichung von Cauchy-Schwarz erhalten wir:

(x,y)^2 \stackrel{(3)}{=} \left( \sum^n_{k = 1} x_k y_k \right)^2 \le \left( \sum^n_{k = 1} x_k^2 \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} y^2_k \right) \stackrel{(4)}{=} |x|^2 \cdot |y| ^2.

Durch Wurzelziehen erhalten wir die Behauptung.

[Bearbeiten] Beweis von (6)

Wir berechnen

|x+y|^2 \stackrel{(4)}{=} \sum^n_{k = 1} (x_k + y_k)^2 = \sum^n_{k = 1} (x_k^2 + 2x_ky_k + y_k^2) = \sum^n_{k = 1} x_k ^2 + 2 \sum^n_{k = 1} x_ky_k + \sum^n_{k = 1} y_k^2
\stackrel{(3), (4)}{=} |x|^2+2(x, y) + |y|^2 \le |x|^2+2|(x, y)| + |y|^2 \stackrel{(5)}{\le} |x|^2+2|x| |y| + |y|^2 = (|x|+|y|)^2

und Radizieren liefert die Behauptung.

[Bearbeiten] Beweis von (7)

Es gilt einerseits

|x|= |x-y + y| \stackrel{(6)}{\le} |x-y|+|y|

also |x|-|y| \le |x-y|. Andererseits haben wir

|y|= |y-x + x| \stackrel{(6)}{\le} |y-x|+|x|

also -(|x|-|y|) = |y|-|x| \le |y-x| = |x-y|. Es folgt schließlich (7)

q.e.d.

Unter einer Punktfolge im \mathbb{R}^n verstehen wir – wie üblich – die Abbildung \mathbb{N} \ni k \mapsto x^{(k)} \in \mathbb{R}^n, welche wir zu \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n abkürzen. Eine Teilfolge dieser Punktfolge

\{x^{(k_l)}\}_{l \in \mathbb{N}} \subset \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}}

wird gegeben durch die aufsteigende Auswahl der Indices

1 \le k_1 < k_2 < k_3 < \ldots.

Wir sprechen von einer beschränkten Punktfolge, wenn es eine Schranke c \in [0, + \infty) so gibt, dass |x^{(k)}| \le c für alle k \in \mathbb{N} erfüllt ist.

[Bearbeiten] Definition 4

Eine Punktfolge \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n heißt konvergent genau dann, wenn es ein x \in \mathbb{R}^n gibt, so dass
(8) \lim_{k \to \infty}|x^{(k)}-x|=0
gilt. Der Punkt x heißt Grenzpunkt der Folge und ist eindeutig bestimmt. Wir schreiben x = \lim_{k \to \infty} x^{(k)} oder x^{(k)} \to x \ (k \to \infty).

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Sei \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n mit x^{(k)} = (x^{(k)}_1, \ldots, x^{(k)}_n ), k \in \mathbb{N}, eine Punktfolge und x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n ein Punkt. Dann gilt x^{(k)} \to x \ (k \to \infty) genau dann, wenn x^{(k)}_i \to x_i \ (k \to \infty) für i = 1, \ldots, n richtig ist.

[Bearbeiten] Beweis

„\Rightarrow“: Gilt \lim_{k \to \infty}|x^{(k)}-x|=0, so folgt wegen

0 \le |x^{(k)}_i-x_i| \le |x^{(k)}-x| für i= 1, \ldots, n und alle k \in \mathbb{N}

die Relation \lim_{k \to \infty}|x^{(k)}_i-x_i|=0 für i = 1, \ldots, n.

„\Leftarrow“: Gilt \lim_{k \to \infty}|x^{(k)}_i-x_i|=0 für i = 1, \ldots, n, so haben wir

\lim_{k \to \infty} \max \left\{|x^{(k)}_i-x_i|: i = 1, \ldots, n \right\} = 0.

Wegen der Ungleichung

0 \le |x^{(k)}-x| = \sqrt{\sum^n_{i = 1} \left( x^{(k)}_i-x_i \right)^2} \le \sqrt{\sum^n_{i = 1} \left( \max \left\{|x^{(k)}_i-x_i|: i = 1, \ldots, n \right\} \right)^2}
= \sqrt{n} \cdot \max \left\{|x^{(k)}_i-x_i|: i = 1, \ldots, n \right\} für alle k \in \mathbb{N}

folgt schließlich \lim_{k \to \infty}|x^{(k)}-x|=0.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 5

Eine Punktfolge \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n heißt Cauchy-Folge (oder auch in sich konvergente Folge) genau dann, wenn die folgende Aussage richtig ist: Zu jedem \varepsilon > 0 gibt es eine natürliche Zahl N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass |x^{(k)}-x^{(l)}|< \varepsilon für alle k, l \ge N erfüllt ist.

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Es ist \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n eine Cauchy-Folge genau dann, wenn \{x_i^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n eine Cauchy-Folge ist für i=1,\ldots, n.

[Bearbeiten] Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium im \mathbb{R} ^n)

Eine Punktfolge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

[Bearbeiten] Beweis

Mit den Hilfssätzen 2 und 3 können wir das Cauchysche Konvergenzkriterium in \mathbb{R} (Satz 3 aus §3) auf den \mathbb{R}^n übertragen:

\{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} ist Cauchy-Folge
\Leftrightarrow \{x_i^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} ist Cauchy-Folge für i = 1, \ldots, n
\Leftrightarrow \{x_i^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} ist konvergent in \mathbb{R} für i = 1, \ldots, n
\Leftrightarrow \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} ist konvergent in \mathbb{R}^n

[Bearbeiten] Satz 3 (Weierstraßscher Häufungsstellensatz im \mathbb{R}^n)

Sei \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} mit x^{(k )} = (x^{(k)}_1, \ldots, x^{(k)}_n), k \in \mathbb{N}, eine beschränkte Folge, d. h. es gibt eine reelle Zahl c > 0, so dass |x^{(k)}| \le c für alle k \in \mathbb{N} richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge \{x^{(k_p)}\}_{p \in \mathbb{N}} \subset \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} und ein x \in \mathbb{R}^n, so dass x^{(k_p)} \to x \ (k \to \infty) gilt.

[Bearbeiten] Beweis

Für n = 1 haben wir den Weierstraßschen Häufungsstellensatz in \mathbb{R} (Satz 4 aus §3) bereits gezeigt. Sei nun n \in \mathbb{N} beliebig und

z^{(k)} = (x^{(k)}_1, \ldots, x^{(k)}_{n -1}) \in \mathbb{R}^{n-1}, \quad k \in \mathbb{N}

gesetzt, so erhalten wir

x^{(k)} = \left( z^{(k)}, x^{(k)}_n \right), \quad k \in \mathbb{N}.

Dabei ist \{z^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} eine Punktfolge im \mathbb{R}^{n-1}. Wir haben dann die Abschätzung

c^2 \ge |x^{(k)}|^2 = |z^{(k)}|^2 + (x^{(k)}_n)^2, \quad k \in \mathbb{N}

und somit

|z^{(k)}| \le c sowie |x_n^{(k)}| \le c für alle k \in \mathbb{N}.

Es sind also \{z^{(k)}\}{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^{n- 1} und \{x_n^{(k)}\}{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} beschränkte Punktfolgen. Gelte nun die Aussage von Satz 3 bereits für n − 1. Dann können wir eine Teilfolge \{z^{(k_p)}\}{p \in \mathbb{N}} \subset \{z^{(k)}\}{k \in \mathbb{N}} und ein z = (x_1, \ldots, x_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n - 1} so finden, dass z^{(k_p)} \to z\ (p \to \infty) bzw.

x_i^{(k_p)} \to x_i\ (p \to \infty) für i = 1, \ldots, n- 1

richtig ist. Wegen |x_n^{(k)}| \le c für alle k \in \mathbb{N} haben wir |x_n^{(k_p)}| \le c für alle p \in \mathbb{N} und nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz in \mathbb{R} finden wir wiederum eine Teilfolge

\{x_n^{(k_{p_l})}\}{l \in \mathbb{N}} \subset \{x_n^{(k_p)}\}{p \in \mathbb{N}}

und ein x_n \in \mathbb{R}, so dass

x_n^{(k_{p_l})} \to x_n \ (l \to \infty)

erfüllt ist. Wegen

x_i^{(k_p)} \to x_i\ (p \to \infty) für i = 1, \ldots, n- 1

folgt

x_i^{(k_{p_l})} \to x_i\ (l \to \infty) für i = 1, \ldots, n- 1.

Es gilt also

x^{(k_{p_l})} \to x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n\ (l \to \infty)

und wir haben die Aussage für n bewiesen.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 6

Seien x \in \mathbb{R}^n und r > 0 beliebig gewählt, so wird durch
(9) K_r(x) := \{\xi \in \mathbb{R}^n: |\xi - x| < r\}
die offene Kugel im \mathbb{R}^n vom Radius r um den Mittelpunkt x definiert. Wählen wir den Radius r = \varepsilon > 0 (im allgemeinen hinreichend klein), so sprechen wir auch kurz von der \varepsilon-Umgebung des Punktes x.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Wegen der englischen Bezeichnung Ball für eine Kugel verwendet man oft auch die Abkürzung Br(x): = Kr(x). Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, lässt man ggf. bei den Kugeln den Mittelpunkt 0 und den Radius r = 1 als normal weg, also ergibt sich Br = Kr: = Kr(0) sowie B: = K1(0) für die offene Einheitskugel um den Nullpunkt. Die Dimension n des umgebenden Raumes ist aus dem Zusammenhang ersichtlich.

[Bearbeiten] Definition 7

Sei M \subset \mathbb{R}^n. Dann nennen wir die Menge
\mathcal{C} M := \{x \in \mathbb{R}^n: x \notin M\}
das Komplement der Menge M.

[Bearbeiten] Definition 8

Sei M \subset \mathbb{R}^n eine Punktmenge.
(a) Ein Punkt x \in \mathbb{R}^n heißt Häufungspunkt von M, wenn es zu jedem \varepsilon > 0 einen Punkt y \in M \setminus \{x\} gibt, der auch y \in K_\varepsilon(x) erfüllt.
(b) Ein Punkt x \in \mathbb{R}^n heißt Randpunkt von M, wenn es zu jedem \varepsilon > 0 Punkte y,z \in K_\varepsilon(x) gibt, so dass y \in M und z \in \mathcal{C} M richtig sind.
(c) Ein Punkt x \in M heißt isolierter Punkt von M, wenn x kein Häufungspunkt von M ist.
(d) Ein Punkt x \in M heißt innerer Punkt von M, wenn es ein \varepsilon > 0 mit der Eigenschaft K_\varepsilon(x) \subset M gibt.

[Bearbeiten] Definition 8

(e) Eine Menge M \subset \mathbb{R}^n heißt offen, falls jeder ihrer Punkte ein innerer Punkt ist.
(f) Eine Menge M \subset \mathbb{R}^n heißt abgeschlossen, wenn für jeden Häufungspunkt \xi \in \mathbb{R}^n von M gilt, das \xi \in M ist.
(g) Eine Menge M \subset \mathbb{R}^n heißt beschränkt, falls eine reelle Zahl c > 0 existiert, so dass |x| \le c für alle x \in M richtig ist.

[Bearbeiten] Definition 9

Sei die Menge M \subset \mathbb{R}^n gegeben.
(h) Die Menge
\stackrel{\circ}{M}:= \{x \in \mathbb{R}^n: x\ ist\ innerer\ Punkt\ von\ M\}
nennen wir den offenen Kern oder auch das Innere der Menge M.
(i) Die Menge
\overline{M}:= \{x \in \mathbb{R}^n: x\ liegt\ in\ M\ oder\ ist\ Haeufungspunkt\ von\ M
heißt abgeschlossene Hülle bzw. Abschluss von M.
(j) Die Menge
\partial M:= \{x \in \mathbb{R}^n: x\ ist\ Randpunkt\ von\ M\}
nennen wir den topologischen Rand von M.

[Bearbeiten] Hilfssatz 3

Sei M \subset \mathbb{R}^n. Ein Punkt x \in \mathbb{R}^n ist genau dann Häufungspunkt von M, wenn es eine Folge \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M \setminus \{x\} gibt mit x^{(k)} \to x\ (k \to \infty).

[Bearbeiten] Beweis

„\Rightarrow“: Sei x \in \mathbb{R}^n Häufungspunkt von M. Dann gibt es für jedes k \in \mathbb{N} einen Punkt x^{(k)} \in M \setminus \{x\} mit x^{(k)} \in K_\frac{1}{k}(x). Wir erhalten also eine Folge \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M \setminus \{x\} mit |x^{(k)} - x| < \frac{1}{k} für alle k \in \mathbb{N} und damit x^{(k)} \to x\ (k \to \infty).

„\Leftarrow“: Sei \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M \setminus \{x\} eine Folge mit x^{(k)} \to x\ (k \to \infty), so existiert zu jedem \varepsilon > 0 ein k_\varepsilon, so dass |x^{(k_\varepsilon)} - x| < \varepsilon. Wir finden also einen Punkt x^{(k_\varepsilon)} \in M \setminus \{x\} mit x^{(k_\varepsilon)} \in K_\varepsilon. Somit ist x ein Häufungspunkt von M.

[Bearbeiten] Hilfssatz 4

Eine Menge M \subset \mathbb{R}^n ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M \setminus \{x\} die Aussage \lim_{k \to \infty} x^{(k)} \in M richtig ist.

[Bearbeiten] Hilfssatz 5

Sei die Menge M \subset \mathbb{R}^n gegeben. Dann gilt:
(a) M ist abgeschlossen \Longleftrightarrow \mathcal{C} M ist offen.
(b) M ist offen \Longleftrightarrow \mathcal{C} M ist abgeschlossen.

[Bearbeiten] Beweis

Es genügt jeweils nur die Richtung „\Rightarrow“ zu zeigen, denn wegen \mathcal{C}(\mathcal{C} M) = M folgt auch „\Leftarrow“.

(a) Sei M abgeschlossen. Wäre nun \mathcal{C} M nicht offen, dann gäbe es einen Punkt x \in \mathcal{C} M mit der Eigenschaft, dass für jedes \varepsilon > 0 gilt: K_\varepsilon(x) \not \subset \mathcal{C} M. Also gibt es ein y \in K_\varepsilon(x) mit y \notin \mathcal{C} M bzw. y \in M. Damit ist x Häufungspunkt von M. Da M abgeschlossen ist, muss x \in M sein, im Widerspruch zu x \in \mathcal{C} M.

(b) Sei M offen. Wir betrachten eine beliebige konvergente Punktfolge

\{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathcal{C} M mit \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x \in \mathbb{R}^n.

Es muss dann x \in \mathcal{C} M sein, denn wäre x \in M, dann gäbe es ein \varepsilon > 0 mit K_\varepsilon(x) \subset M und damit |x^{(k)}-x| \ge \varepsilon für alle k \in \mathbb{N}, im Widerspruch zu \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x. Folglich ist \mathcal{C} M abgeschlossen.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Vereinigung und durchschnitt von Teilmengen des \mathbb{R}^n)

(a) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
(b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
(c) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
(d) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

[Bearbeiten] Beweis

(a) Es seien I eine beliebige Indexmenge und M_i \subset \mathbb{R}^n offen für alle i \in I. Sei weiter x \in M := \bigcup_{i \in I} M_i. Dann gibt es einen Index j \in I mit x \in M_j. Da Mj offen ist, gilt K_\varepsilon(x) \subset M_j für ein \varepsilon > 0 und damit K_\varepsilon(x) \subset M_j \subset \bigcup_{i \in I} M_i = M. Also ist M offen.

(b) Seien I:= \{1, \ldots, m\} eine endliche Indexmenge und M_i \subset \mathbb{R}^n offen für alle i \in I. Sei weiter x \in \bigcap_{i \in I} M_i, so haben wir x \in M_i für alle i \in I. Ferner gibt es zu jedem i \in I ein \varepsilon _i > 0, so dass K_{\varepsilon_i}(x) \subset M_i gilt. Mit

\varepsilon := \min_{i \in I} \varepsilon_i= \min \{\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_m\} > 0

erhalten wir K_\varepsilon(x) \subset K_{\varepsilon_i}(x) \subset M_i für alle i \in I und damit K_\varepsilon(x) \subset \bigcap_{i \in I} M_i = M. Es ist also M offen.

(c) Seien I:= \{1, \ldots, m\} und M_i \subset \mathbb{R}^n abgeschlossen für alle i \in I. Wir betrachten eine konvergente Folge \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M := \bigcup_{i \in I} M_i mit \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x \in \mathbb{R}^n. Da I endlich ist, gibt es ein j \in I und eine Teilfolge \{x^{(k_p)}\}_{p \in \mathbb{N}} \subset \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} mit x^{(k_p)} \in M_j für alle p \in \mathbb{N}. Wegen x^{(k)} \to x\ (k \to \infty) gilt auch x^{(k_p)} \to x\ (p \to \infty). Nun ist Mj abgeschlossen, also ist x \in M_j, folglich gilt x \in M_j \subset \bigcup_{i \in I} M_i = M und damit ist M abgeschlossen.

(d) Seien nun I eine beliebige Indexmenge und M_i \subset \mathbb{R}^n abgeschlossen für alle i \in I. Sei weiter \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M := \bigcup_{i \in I} M_i eine konvergente Folge mit \lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x \in \mathbb{R}^n. Dann gilt \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M_i für alle i \in I. Weil Mi abgeschlossen ist, gilt x \in M_i für alle i \in I, also x \in \bigcap_{i \in I} M_i = M. Es ist M demnach abgeschlossen.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Auf die Endlichkeit der Indexmengen in den Aussagen (b) und (c) können wir nicht verzichten, wie bereits im Beweis ersichtlich wird. So muss ein unendlicher Durchschnitt von offenen Mengen durchaus nicht mehr offen sein. Für n = 1 gilt zum Beispiel

\bigcap_{i \in \mathbb{N}} \left( - \frac{1}{i}, 1 + \frac{1}{i} \right) = [0, 1].

Analog ist eine unendliche Vereinigung abgeschlossener Mengen im allgemeinen nicht mehr abgeschlossen, wie das folgende Beispiel für n = 1 zeigt:

\bigcup_{i \in \mathbb{N}} \left[ - 1 + \frac{1}{i}, 1 - \frac{1}{i} \right] = (- 1, 1).

[Bearbeiten] Definition 11

Sei X eine beliebige Menge und \mathcal{P} (X) := \{A: A \subset X\} deren Potenzmenge. Ein System von Teilmengen \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) heißt Topologie auf X, wenn es folgende Bedingungen erfüllt:
(i) Es gelten \emptyset \in \mathcal{T} und X \in \mathcal{T};
(ii) Mit A, B \in \mathcal{T} ist auch A \cap B \in \mathcal{T};
(iii) Für eine beliebige Indexmenge I ist mit U_i \in \mathcal{T} für alle i \in I auch \bigcup_{i \in I} U_i \in \mathcal{T} erfüllt.
Das geordnete Paar (X, \mathcal{T}) heißt topologischer Raum mit den offenen Mengen U \in \mathcal{T}.

[Bearbeiten] Satz 5

Mit \mathcal{O} := \{U \subset \mathbb{R}^n: U\ ist\ offen\ gemaess\ Definition\ 9(e)\} wird (\mathbb{R}^n, \mathcal{O}) zu einem topologischen Raum.

[Bearbeiten] Satz 6 (Cantorscher Durchschnittssatz)

Sei \{A_i\}_{i \in \mathbb{N}} eine Folge von nicht leeren, abgeschlossenen Teilmengen des \mathbb{R}^n. Sei weiter die Menge A1 beschränkt und A_{i+1} \subset A_i für alle i \in \mathbb{N} erfüllt. Dann ist \bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i \neq \emptyset.

[Bearbeiten] Beweis

Zu jedem k \in \mathbb{N} wählen wir einen Punkt x^{(k)} \in A_k \subset A_1 und erhalten eine Folge \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset A_1. Diese ist beschränkt, weil A1 beschränkt ist. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz im \mathbb{R}^n gibt es eine Teilfolge \{x^{(k_p)}\}_{p \in \mathbb{N}} \subset \{x^{(k)}\}_{k \in \mathbb{N}} und ein x \in \mathbb{R}^n, so dass x^{(k_p)} \to x\ (p \to \infty) gilt. Nach Voraussetzung ist nun zu beliebig vorgegebenem i \in \mathbb{N} die Inklusion A_k \subset A_i für alle k \ge i richtig und damit folgt x^{(k)} \in A_k \subset A_i für alle k \ge i. Wir bestimmen einen Index P = P(i), so dass k_p \ge i und damit x^{(k_p)} \in A_i für alle p \ge P erfüllt ist. Wegen der Konvergenz x^{(k_p)} \to x\ (p \to \infty) und der Abgeschlossenheit von Ai folgt x \in A_i für alle i \in \mathbb{N}. Somit ist x \in \bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

  1. Auf die Beschränktheit können wir nicht verzichten, denn wählen wir für n = 1 beispielsweise A_i := [i, + \infty), i \in \mathbb{N}, so erhalten wir \bigcap_{i \in \mathbb{N}} A_i = \emptyset.
  2. Ebenso wird obige Aussage für nicht abgeschlossene Mengen im allgemeinen falsch: Die Mengen U_i := \left( 0, \frac{1}{i} \right), i \in \mathbb{N} haben den leeren Durchschnitt \bigcap_{i \in \mathbb{N}} U_i = \emptyset.

[Bearbeiten] Definition 12

Seien a,b \in \mathbb{R}^n zwei Punkte mit der Eigenschaft
a < b \Leftrightarrow a_i < b_i für i = 1, \ldots, n.
Dann nennen wir die abgeschlossene Punktmenge
(10) Q:= \{x \in \mathbb{R}^n: a_i \le x_i \le b_i, i = 1, \ldots, n\} = [a_1, b_1] \times \ldots \times [a_n, b_n]
einen Quader im \mathbb{R}^n. Gilt speziell b_i - a_i = c, i = 1, \ldots, n mit einem c \in (0, + \infty), dann sprechen wir auch von einem Würfel der Kantenlänge 2c.

[Bearbeiten] Definition 13

Sei M \subset \mathbb{R}^n. Wir nennen
diam(M) = \delta(M) := \sup\{|x - y|: x, y \in M\} \in [0, + \infty]
den Durchmesser – im Englischen 'diameter' – der Menge M.

Der Durchmesser eines Quaders ist gerade die Länge seiner Diagonale

(11) \delta(Q) = diam(Q) = |b - a| = \sqrt{\sum^n_{i = 1} (b_i - a_i)^2}.

Wir wollen nun die Methode der Quaderzerlegung kennenlernen: Wir gehen aus von einem Quader gemäß Definition 12, nämlich

Q = I_1 \times \ldots \times I_n \subset \mathbb{R}^n

mit den konstituierenden Intervallen Ii: = [ai,bi] für i = 1, \ldots, n. Diese Intervalle halbieren wir und erhalten zwei Teilintervalle

(12) I_i^{(1)} := \left[ a_i, \frac{1}{2} (a_i + b_i) \right] und I_i^{(2)} := \left[ \frac{1}{2} (a_i + b_i), b_i \right],

so dass

(13) I_i^{(1)} \cup I_i^{(2)} = I_i und \stackrel{\circ}{I_i^{(1)}} \cap \stackrel{\circ}{I_i^{(2)}} = \emptyset

für i = 1, \ldots, n gilt. Dann wählen wir n Indices p_1, \ldots, p_n \in \{1, 2\} bzw. den Multiindex p = (p_1, \ldots, p_n) \in \{1, 2\} \times \ldots \times \{1, 2\} = \{1, 2\}^n und erhalten in

(14) Q^p = Q^{(p_1, \ldots, p_n)} := I_1^{(p_1)} \times \ldots \times I_n^{(p_n)} \subset Q

jeweils einen der 2n gleich großen Teilquader von Q. Es gelten die Identitäten

(15) Q = \bigcup_{p \in \{1, 2\}^n} Q^p und \stackrel{\circ}{Q^p} \cap \stackrel{\circ}{Q^q} = \emptyset für p, q \in \{1, 2\}^n mit p \neq q.

Außerdem berechnen wir für p \in \{1, 2\}^n die Durchmesser der Teilquader

(16) \delta(Q^p) = \sqrt{\sum^n_{i = 1} \left[ \frac{1}{2} (b_i - a_i) \right]^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\sum^n_{i = 1} (b_i - a_i)^2} = \frac{1}{2} \delta(Q).

[Bearbeiten] Definition 14

Seien eine Punktmenge M \subset \mathbb{R}^n und eine Indexmenge I gegeben. Weiter sei einem jeden Index i \in I eine offene Menge U_i \subset \mathbb{R}^n zugeordnet, so dass die Inklusion M \subset \bigcup_{i \in I} U_i erfüllt ist. Dann nennen wir das System \{U_i\}_{i \in I} ein offenes Überdeckungssystem von M.

[Bearbeiten] Beispiel

Sei jedem Punkt x \in M eine offene Kugel U_x := K_{\varepsilon(x)} \subset \mathbb{R}^n vom Radius \varepsilon(x) > 0 um den Mittelpunkt x zugeordnet. Dann folgt M \subset \bigcup_{x \in M} U_x und wir erhalten mit \{U_x\}_{x \in M} ein offenes Überdeckungssystem von M.

[Bearbeiten] Satz 7 (Überdeckungssatz von E. Heine und E. Borel)

Sei M \subset \mathbb{R}^n eine beschränkte, abgeschlossene Menge. Sei weiter \{U_i\}_{i \in I} ein offenes Überdeckungssystem von M mit der Indexmenge I. Dann existiert eine endliche Indexmenge J mit J \subset I, so dass auch \{U_i\}_{i \in J} ein offenes Überdeckungssystem von M ist.

[Bearbeiten] Beweis

1. Da die Menge M beschränkt ist, existiert eine reelle Zahl c > 0 hinreichend groß, so dass der zugehörige Würfel W der Kantenlänge 2c um den Nullpunkt die Inklusion

M \subset [- c, + c] \times \ldots \times [- c, + c] =: W \subset \mathbb{R}^n

erfüllt.
Wir nehmen nun an, die Aussage des Satzes wäre falsch: Also ist für jede endliche Indexmenge J \subset I die Aussage M \not\subset \bigcup_{i \in J} U_i richtig, d. h. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen nicht zur Überdeckung von M aus.

2. Zunächst setzen wir W0: = W. Dann konstruieren wir eine Folge \{W_k\}_{k \in \mathbb{N}_0} von Würfeln, so dass für alle k \in \mathbb{N}_0 die Bedingungen

(17) W_{k + 1} \subset W_k sowie \delta(W_k) = \frac{1}{2^k} 2c \sqrt{n}

und

(18) M \cap W_k \not\subset \bigcup_{i \in J} U_i für jede endliche Indexmenge J \subset I

erfüllt sind.
Sei für ein beliebiges k \in \mathbb{N}_0 bereits der Würfel W_k \in \mathbb{R}^n mit den o. a. Eigenschaften gefunden. Diesen zerlegen wir wie oben beschrieben in 2n gleich große Teilwürfel W^p_k, p \in \{1, 2\}^n. Dann sehen wir:

(19) M \cap W_k = M \cap \left( \bigcup_{p \in \{1, 2\}^n} W^p_k \right) = \bigcup_{p \in \{1, 2\}^n} \left( M \cap W^p_k \right).

Nun muss es ein p \in \{1, 2\}^n geben, so dass auch W^p_k die Bedingung erfüllt: M \cap W^p_k \not\subset \bigcup_{i \in J} U_i ist für jede endliche Indexmenge richtig bzw. endlich viele Mengen des Überdeckungssystems reichen zur Überdeckung von M \cap W^p_k nicht aus.
Wäre dies nämlich nicht so, dann könnten wir alle Teilmengen

M \cap W^p_k, \quad p \in \{1, 2\}^n

durch endlich viele Mengen aus dem Überdeckungssystem überdecken und somit auch die endliche Vereinigung (19) – im Widerspruch zu (18).
Wir wählen dieses p \in \{1, 2\}^n und setzen

W_{k + 1} := W^p_k \subset W_k.

Mit Hilfe von (17) ermitteln wir

\delta(W_{k + 1}) = \delta(W_k^p) = \frac{1}{2} \delta(W_k) = \frac{1}{2} \frac{1}{2^k} 2c \sqrt{n} = \frac{1}{2^{k + 1}} 2c \sqrt{n}.

3. Mit der in Teil 2.) konstruierten Würfelfolge \{W_k\}_{k \in \mathbb{N}_0} bilden wir die Folge \{M_k\}_{k \in \mathbb{N}_0} abgeschlossener Mengen

M_k := M \cap W_k \subset M, \quad k \in \mathbb{N}_0.

Wegen (17) folgt M_{k + 1} \subset M_k für alle k \in \mathbb{N}_0. Da M_0 = M \cap W_0 = M beschränkt ist, gibt es nach dem Cantorschen Durchschnittssatz einen Punkt x \in \bigcap_{k \in \mathbb{N}_0} M_k \subset M. Da weiter \{U_i\}_{i \in I} ein Überdeckungssystem von M ist, gibt es einen Index j \in I mit x \in U_j. Die Menge Uj ist offen, also existiert ein \varepsilon > 0, so dass K_\varepsilon(x) \subset U_j gilt. Mit (17) erhalten wir

\delta(M_k) \le \delta(W_k) = \frac{1}{2^k} 2c \sqrt{n}.

Wir können also ein k \in \mathbb{N}_0 finden, so dass \delta(M_K) \le 2^{-K} \cdot 2c \cdot \sqrt{n} < \varepsilon richtig wird. Wegen x \in M_K folgt mit der endlichen Menge J := \{j\} \subset I, dass die Inklusion

M \cap W_K = M_K \subset K_\varepsilon(x) \subset U_j = \bigcup_{i \in J} U_i

gilt – im Widerspruch zu (18). Unsere Annahme ist also falsch und somit ist die Behauptung des Satzes richtig.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Wir können obigen Satz auch folgendermaßen formulieren:

Sei M \subset \mathbb{R}^n eine beschränkte, abgeschlossene Menge und sei jedem Punkt x \in M eine offene Menge U_x \subset \mathbb{R}^n mit x \in U_x zugeordnet. Dann gibt es endlich viele Punkte x^{(1)}, \ldots, x^{(m)} \in M, so dass M \subset \bigcup^m_{i = 1} U_{x^{(i)}} gilt.

2. Aus einer gegebenen unendlichen offenen Überdeckung einer offenen Menge können wir nicht immer eine endliche Teilüberdeckung auswählen, wie für n = 1 das folgende Beispiel zeigt:
Seien die offene Menge M: = (0,1) und die offenen Intervalle

U_i := \left( \frac{1}{2^{i + 2}}, \frac{1}{2^i} \right), \quad i \in \mathbb{N}_0

definiert. Dann ist die Überdeckung M \subset \bigcup_{i \in \mathbb{N}_0} U_i erfüllt, aber für jede endliche Teilmenge J \subset \mathbb{N}_0 sehen wir die Aussage M \not\subset \bigcup_{i \in J} U_i leicht ein.
3. Eine beschränkte, abgeschlossene Menge M \subset \mathbb{R}^n erfüllt nach dem Heine-Borelschen Satz die folgende Überdeckungseigenschaft: Ein beliebig vorgegebenes Überdeckungssystem von M enthält eine endliche Teilüberdeckung. Diese Eigenschaft nennt man in der Topologie Kompaktheit.

[Bearbeiten] Definition 15

Eine beschränkte, abgeschlossene Menge M im \mathbb{R}^n heißt kompakt.
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