Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Folgen und Reihen (§6)

Satz 1

Es gelten die folgenden Aussagen:

(a) Für $p\in (0,+\infty )$ ist $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=1$ richtig.

(b) Es gilt $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$.

(c) Für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|<1$ ist $\lim _{n\to \infty }z^{n}=0$ erfüllt.

Beweis

(a) Für $p=1$ ist ${\sqrt[{n}]{p}}=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ richtig, also $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=1$. Für $p>1$ haben wir ${\sqrt[{n}]{p}}>1$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ mit ${\sqrt[{n}]{p}}=1+x_{n}$ erklärt, so gilt $x_{n}>0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Mit der Ungleichung von Bernoulli erhalten wir $p=(1+x_{n})^{n}\geq 1+nx_{n}$ und damit

$0<x_{n}\leq {\frac {p-1}{n}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$.

Nun ist $\left\{{\frac {p-1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge. Damit muss auch $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge sein und es folgt

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=\lim _{n\to \infty }(1+x_{n})=1+\lim _{n\to \infty }x_{n}=1$.

Für $p<1$ setzen wir $p={\frac {1}{q}}$ mit $q>1$. Dann gilt $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{q}}=1$ und damit

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {1}{q}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{q}}}={\frac {1}{\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{q}}}}=1$.

(b) Für $n>1$ ist ${\sqrt[{n}]{n}}>1$. Sei $\{x_{n}\}_{n=2,3,\ldots }\subset \mathbb {R}$ mit ${\sqrt[{n}]{n}}=1+x_{n}$ gesetzt, so folgt $x_{n}>0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 2$. Mit dem Binomischen Lehrsatz (Satz 5 aus §1) erhalten wir

$n=(1+x_{n})^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}x_{n}^{k}\geq {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}x_{n}^{2}={\frac {n}{2}}(n-1)x_{n}^{2}$

und damit

$0<x_{n}^{2}\leq {\frac {2}{n-1}}$

Nun ist wieder $\left\{{\frac {2}{n-1}}\right\}_{n=2,3,\ldots }$ eine Nullfolge, also besitzt auch $\{x_{n}^{2}\}_{n=2,3,\ldots }$ und damit $\{x_{n}\}_{n=2,3,\ldots }$ diese Konvergenzeigenschaft und wir erhalten

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1+\lim _{n\to \infty }x_{n}=1$.

(c) Für $z\in \mathbb {C}$ folgt mit (26) aus §5, dass $|z^{n}|=|z|^{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt. Sei nun $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|<1$ gewählt, dann gibt es ein $h>0$, so dass $|z|={\frac {1}{1+h}}$ richtig ist. Mit der Ungleichung von Bernoulli gilt dann $(1+h)^{n}\geq 1+nh$ und damit

$0\leq |z^{n}|=|z|^{n}={\frac {1}{(1+h)^{n}}}\leq {\frac {1}{1+nh}}$ für alle $n\in \mathbb {C}$

Die Folge $\left\{{\frac {1}{1+hn}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge und somit auch $\{|z^{n}|\}_{n\in \mathbb {N} }$. Schließlich erhalten wir

$\lim _{n\to \infty }|z^{n}|=0\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }z^{n}=0$.

q.e.d.

Definition 1

Sei $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ eine Folge komplexer Zahlen. Für $n\in \mathbb {N}$ nennen wir

(1) $s_{n}:=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\in \mathbb {C}$

die $n$-te Partialsumme der Folge $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Die Folge der Partialsummen $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ nennen wir eine Reihe und bezeichnen diese mit

(2) $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}:=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$.

Wir nennen die Reihe beschränkt, falls die Folge der Partialsummen $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ beschränkt ist.

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ist konvergent genau dann, wenn die Partialsummen konvergieren gemäß $s_{n}\to s\in \mathbb {C} \ (n\to \infty )$. In diesem Falle schreiben wir

$s=\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)=:\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

und nennen die komplexe Zahl $s\in \mathbb {C}$ die Summe oder den Wert der Reihe. Falls eine Reihe nicht konvergiert, die Folge der Partialsummen also nicht konvergiert, so sprechen wir von einer divergenten Reihe.

Bemerkung

Bei konvergenten Reihen bezeichnet das Symbol $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ einerseits die Folge der Partialsummen $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ und andererseits deren Grenzwert bzw. die Summe $s\in \mathbb {C}$ der Reihe.

Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine natürliche Zahl $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ gibt, so dass

$\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon$ für alle $n>m\geq N$

richtig ist.

Beweis

Mit $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},n\in \mathbb {N}$ gilt:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergent $\Longleftrightarrow \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent $\Longleftrightarrow \{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ Cauchy-Folge.

Nun ist $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann eine Cauchy-Folge, wenn zu jedem $\varepsilon >0$ ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ existiert, so dass für alle $n,m\geq N$ mit o. B. d. A. $n>m$ gilt:

$\varepsilon >|s_{n}-s_{m}|=\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|$.

q.e.d.

Satz 3 (Notwendiges Konvergenzkriterium)

Wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, dann ist $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Beweis

Wenn die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, dann liefert Satz 2 zu jedem $\varepsilon >0$ ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass $|a_{m+1}|=\left|\sum _{k=m+1}^{m+1}a_{k}\right|<\varepsilon$ für alle $m\geq N$ richtig ist. Damit ist $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Durch Negation erhalten wir aus Satz 3 sofort das Divergenzkriterium: Ist $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ nicht.
2. Das folgende Beispiel zeigt, dass Satz 3 kein hinreichendes Kriterium ist.

Beispiel 1 (Harmonische Reihe)

Betrachten wir die Reihe

(4) $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$,

so erkennt man $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$. Allerdings erfüllt (4) nicht das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen: Mit $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},n\in \mathbb {N}$ erhalten wir für beliebiges $m\in \mathbb {N}$ die Ungleichung

$|s_{2m}-s_{m}|=\sum _{k=m+1}^{2m}{\frac {1}{k}}>\sum _{k=m+1}^{2m}{\frac {1}{2m}}=m\cdot {\frac {1}{2m}}={\frac {1}{2}}$.

Folglich konvergiert die Reihe (4) nicht – sie ist also divergent

Satz 4

Sei eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ mit den nicht negativen Gliedern $a_{n}\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$ gegeben. Dann konvergiert sie genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Beweis

Die Partialsummen $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},n=1,2,\ldots$ bilden eine monoton nicht fallende Folge $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ nicht negativer reeller Zahlen. Der Satz 5 aus §3 liefert:

(5) Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert;

$\Longleftrightarrow$ Die Folge der Partialsummen $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert;

$\Longleftrightarrow$ Die Folge der Partialsummen $\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ist nach oben beschränkt;

$\Longleftrightarrow$ Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist beschränkt.

Definition 2

Sei $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ eine reelle Zahlenfolge mit nicht negativen Gliedern $a_{n}\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Falls die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, schreiben wir

(6) $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}<+\infty$.

Im Falle der Divergenz schreiben wir

(7) $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=+\infty$.

Satz 5 (Majorantenkriterium)

Die Folgen $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ und $\{b_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,+\infty )$ seien gegeben. Weiter existiere ein Index $M\in \mathbb {N}$, so dass $|a_{n}|\leq b_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq M$ richtig ist. Dann gilt die Implikation

$\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}<+\infty \Longrightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist konvergent.

Beweis

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}<+\infty$. Dann gibt es zu beliebig vorgegebenem $\varepsilon >0$ ein $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass die Abschätzung

$\varepsilon >\sum _{k=m}^{n}b_{k}\geq \sum _{k=m}^{n}|a_{k}|\geq \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|$

richtig ist für alle $m,n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq m\geq \max\{M,N\}$. Also ist $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ nach Satz 2 konvergent.

q.e.d.

Bemerkungen

1. Man nennt $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ eine Majorante der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.
2. Falls $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|<+\infty$ erfüllt ist, so konvergiert auch $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.
3. Analog werden wir im nachfolgenden Satz ein Kriterium für die Divergenz der Reihe finden.

Satz 6 (Minorantenkriterium)

Seien $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\{b_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ reelle Zahlenfolgen mit der Eigenschaft $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt die Implikation

$\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=+\infty \Longrightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=+\infty$.

Beweis

Würde die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}<+\infty$ erfüllen und somit konvergieren, so müsste auch die majorisierte Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ nach Satz 5 konvergieren – im Widerspruch zur Annahme $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}=+\infty$.

Satz 7 (Geometrische Reihe)

Es gelten die folgenden Aussagen:

(a) Für alle komplexen Zahlen der offenen Einheitskreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ und es gilt

(8) $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}$.

(b) Für alle komplexen Zahlen des Komplements $\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\}$ divergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$.

Beweis

Mit der geometrischen Summenformel am Ende von §1 haben wir für beliebiges $z\in \mathbb {C} \setminus \{+1\}$ die Identität

(9) $\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}$.

(a) Sei nun $|z|<1$ gewählt. Nach Satz 1(c) ist dann $\{z^{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge und damit erhalten wir

$\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}z^{k}=\lim _{n\to \infty }{\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}={\frac {\lim _{n\to \infty }z^{n+1}-1}{z-1}}={\frac {-1}{z-1}}={\frac {1}{1-z}}$.

(b) Für $|z|\geq 1$ ist $|z^{n}|=|z|^{n}\geq 1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllt und damit ergibt $\{z^{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge. Somit ist die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ nach Satz 3 divergent.

q.e.d.

Satz 8 (Vergleichskriterium für Reihen)

Sei die komplexe Zahlenfolge $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ gegeben. Weiter seien die Größen $c,q\in \mathbb {R}$ mit $c>0$ und $q\in (0,1)$ so gewählt, dass die Ungleichung

$|a_{n}|\leq c\cdot q^{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq N$

mit festem Index $N\in \mathbb {N}$ richtig ist. Dann ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergent.

Satz 9 (Wurzelkriterium)

Sei die Folge $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ gegeben, so gelten die Implikationen:

(10) $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1\Longrightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist konvergent

und

(11) $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1\Longrightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist divergent.

Beweis von (10)

Sei $r:=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1$. Zu einer Zahl $q\in (r,1)$ können wir wegen Satz 12 in §3 eine Zahl $P\in \mathbb {N}$ finden, so dass ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq q$ bzw. $|a_{n}|\leq q^{n}$ für alle $n\geq P$ gilt. Nach Satz 8 konvergiert dann $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Beweis von (11)

Seien $r_{n}:={\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},n\in \mathbb {N}$ und $r:=\limsup _{n\to \infty }r_{n}>1$. Dann gibt es nach Satz 12 in §3 eine Teilfolge $\{r{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \{r_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$, so dass $r{n_{k}}\to r\ (k\to \infty )$ richtig ist. Wegen $r>1$ gibt es einen Index $K\in \mathbb {N}$, so dass $r_{n_{k}}={\sqrt[{n_{k}}]{|a_{n_{k}}|}}>1$ und damit $|a_{n_{k}}|>1$ für alle $k\geq K$ gilt. Es ist somit $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ nach Satz 3 divergent.

q.e.d.

Bemerkung

Falls $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=1$ erfüllt ist, kann man mit dem Wurzelkriterium nicht über Konvergenz oder Divergenz von $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ entscheiden.

Satz 10 (Quotientenkriterium)

Sei die Folge $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ mit einem Index $N\in \mathbb {N}$ gegeben, so dass $a_{n}\neq 0$ für alle $n\geq N$ richtig ist. Dann gelten die Implikationen

(12) $\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1\Longrightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist konvergent

und

(13) Für alle $n\geq M$ gilt $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ mit geeignetem Index $M\geq N$

$\Longrightarrow \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist divergent.

Beweis von (12)

Sei

$t:=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$

gesetzt. Dann gibt es eine reelle Zahl $q\in (t,1)$ und nach Satz 12 in §3 einen Index $P\in \mathbb {N}$ mit $P\geq N$, so dass

$\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq q$ für alle $k\geq P$

gilt. Für beliebiges $n>P$ erhalten wir

$\left|{\frac {a_{n}}{a_{P}}}\right|=\prod _{k=P}^{n-1}\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq \prod _{k=P}^{n-1}q=q^{n-P}$

und damit

$|a_{n}|\leq |a_{P}|q^{n-P}=(|a_{P}|q^{-P})\cdot q^{n}=c\cdot q^{n}$,

wobei $c:=|a_{P}|q^{-P}>0$ abgekürzt wurde. Damit folgt nach Satz 8 die Konvergenz von $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Beweis von (13)

Sei $M\geq N$ ein Index mit

$\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\geq 1$ für alle $k\geq M$.

Dann folgt für beliebiges $n>M$:

$\left|{\frac {a_{n}}{a_{M}}}\right|=\prod _{k=M}^{n-1}\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\geq \prod _{k=M}^{n-1}1=1$.

Also gilt $|a_{n}|\geq \varepsilon$ für alle $n>M$, wobei wir $\varepsilon :=|a_{M}|>0$ abkürzen.Damit kann $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge sein und nach Satz 3 ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ divergent.

q.e.d.

Beispiel 2 (Komplexe Exponentialreihe)

Für alle $z\in \mathbb {C}$ konvergiert die Reihe

(14) $\exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}$.

Setzen wir nämlich

$a_{k}:={\frac {z^{k}}{k!}},\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

als Glieder der Reihe, so berechnen wir

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {|z|^{n+1}\cdot n!}{(n+1)!\cdot |z|^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {|z|}{n+1}}=0$

Die Konvergenz der Reihe für alle Punkte $z\in \mathbb {C}$ liefert nun das Quotientenkriterium.

Satz 11

Sei $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ eine Folge mit $a_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Dann gilt

(15) $\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$.

Beweis

Seien $r:=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$ und $t:=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ erklärt. Nehmen wir an, es wäre $r>t$ erfüllt. Dann gibt es eine reelle Zahl $q\in (t,r)$ und einen Index $P\in \mathbb {N}$, so dass $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q$ für alle $k\geq P$ gilt. Wie im Beweis von (12) erhalten wir $|a_{n}|\leq c\cdot q^{n}$ und damit ${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq {\sqrt[{n}]{c}}\cdot q$ für alle $n\geq P$. Nach Satz 1(a) gilt $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{c}}=1$ und es folgt

$r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq \limsup _{n\to \infty }({\sqrt[{n}]{c}}\cdot q)=q\cdot \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{c}}=q$,

im Widerspruch zur Wahl von $q<r$.

q.e.d.

Definition 3

Seien die komplexen Zahlen $a_{n}\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N} _{0}$ gegeben. Dann ordnen wir jeder komplexen Zahl $z\in \mathbb {C}$ die Reihe

(16) $P(z):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

zu und nennen diese eine Potenzreihe in $z$ mit den Koeffizienten $a_{n}\in \mathbb {C} ,n\in \mathbb {N} _{0}$.

Bemerkung

Falls es einen Index $N\in \mathbb {N} _{0}$ gibt, so dass $a_{N}\neq 0$ und $a_{n}=0$ für alle $n>N$ richtig ist, so reduziert sich die Potenzreihe auf ein Polynom vom Grade $N$.

Satz 12 (A. Cauchy und J. Hadamard)

Seien $P(z):=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ eine Potenzreihe und $\alpha :=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$. Sei weiter

(17) $R:=\left\lbrace {\begin{matrix}+\infty ,&wenn\ \alpha =0\\\alpha ^{-1},&wenn\ \alpha \in (0,+\infty )\\0,&wenn\ \alpha =+\infty \end{matrix}}\right.$

gesetzt. Dann gelten die Implikationen:

(18) $|z|<R\Longrightarrow P(z)$ ist konvergent

und

(19) $|z|>R\Longrightarrow P(z)$ ist divergent.

Beweis

Sei $|z|\left\lbrace {\begin{matrix}<\\>\end{matrix}}\right\rbrace R$. Dann ist

$|z|\left\lbrace {\begin{matrix}<\\>\end{matrix}}\right\rbrace {\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}\Longleftrightarrow |z|\cdot \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}z^{n}|}}\left\lbrace {\begin{matrix}<\\>\end{matrix}}\right\rbrace 1$

und mit (10) bzw. (11) ist die Konvergenz bzw. Divergenz von sofort zu ermitteln.

q.e.d.

Definition 4

Die Zahl $R\in [0,+\infty ]$ aus Satz 12 heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe.

Bemerkung

Das Konvergenzgebiet ist eine offene Kreisscheibe um den Nullpunkt vom Radius

(20) $0\leq R:={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}\leq +\infty$.

Diese ist als Formel von Cauchy-Hadamard bekannt und wurde bereits 1821 gefunden.

Beispiel 3 (Konvergenzradien)

1. Die geometrische Reihe

$P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$

konvergiert für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|<1$ und divergiert für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\geq 1$. Damit besitzt sie den Konvergenzradius $R=1$.

2. Die Exponentialreihe

$P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}$

konvergiert für alle $z\in \mathbb {C}$ und hat somit als Konvergenzradius $R=\infty$

3. Man ermittelt leicht den Konvergenzradius $R=1$ der Potenzreihe

$P(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}$.

In Satz 16 werden wir genau ihren Konvergenzbereich bestimmen.

Definition 5

Sei die Folge $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {C}$ gegeben. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ heißt absolut konvergent, falls

(21) $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|<+\infty$

ausfällt.

Satz 13

Jede absolut konvergente Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ ist auch konvergent.

Satz 14 (Absolute Konvergenz von Potenzreihen)

Sei die Potenzreihe $P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ gegeben und $z_{0}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ ein Punkt, an dem $P(z_{0})$ konvergiert. Dann ist $P(z)$ absolut konvergent für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|<|z_{0}|$.

Beweis

Sei $P(z_{0})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}$ für $z_{0}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$ konvergent. Dann gilt $\lim _{n\to \infty }a_{k}z_{0}^{k}=0$ und es gibt eine Zahl $c\in (0,+\infty )$, so dass $|a_{n}z_{0}^{n}|\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ richtig ist. Somit können wir für beliebiges $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|<|z_{0}|$ und beliebiges $n\in \mathbb {N} _{0}$ die Terme

$|a_{n}z^{n}|=\left|a_{n}z_{0}^{n}{\frac {z^{n}}{z_{0}^{n}}}\right|=|a_{n}z_{0}^{n}|\cdot \left|{\frac {z}{z_{0}}}\right|^{n}\leq c\cdot \left|{\frac {z}{z_{0}}}\right|^{n}=c\cdot q^{n}$

abschätzen, wobei wir $q:=\left|{\frac {z}{z_{0}}}\right|<1$ setzen. Mit Satz 8 folgt die Konvergenz von $\sum _{k=0}^{\infty }|a_{k}z^{k}|$, also die absolute Konvergenz von $P(z)$.

q.e.d.

Hilfssatz 1 (Partielle Summation)

Seien $a_{k}\in \mathbb {C}$ und $x_{k}\in \mathbb {R}$ für $k=0,1,2,\ldots ,n$ mit $n\in \mathbb {N}$ so gegeben, dass $x_{0}\geq x_{1}\geq x_{2}\geq \ldots \geq x_{n}\geq 0$ gilt. Dann haben wir die Abschätzung

(22) $\left|\sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{k}\right|\leq x_{0}\cdot \max \left\{\left|\sum _{k=0}^{p}a_{k}\right|:p=0,1,\ldots ,n\right\}$.

Beweis

Wir setzen $s_{p}:=\sum _{k=0}^{p}a_{k}$ für $p=0,1,2,\ldots ,n$ sowie $s_{-1}:=0$ und erhalten $a_{k}=s_{k}-s_{k-1}$ für $k=0,1,2,\ldots ,n$. Nun berechnen wir leicht

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{k}=s_{0}x_{0}+\sum _{k=0}^{n-1}(s_{k+1}-s_{k})x_{k+1}=s_{n}x_{n}+\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(x_{k}-x_{k+1})$,

wenn wir die Identität

$\sum _{k=0}^{n-1}s_{k+1}x_{k+1}-\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}x_{k}=s_{n}x_{n}-s_{0}x_{0}$

beachten. Nach Voraussetzung ist $x_{k}-x_{k+1}\geq 0$ für $k=0,1,2,\ldots ,n-1$ richtig und es folgt

(23) $\left|\sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{k}\right|\leq |s_{n}|\cdot x_{n}+\sum _{k=0}^{n-1}|s_{k}|\cdot (x_{k}-x_{k+1})$

$\leq \max\{|s_{k}|:k=0,1,\ldots n\}\cdot \left[x_{n}+\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k}-x_{k+1})\right]$

$=x_{0}\cdot \max\{|s_{k}|:k=0,1,\ldots n\}$.

Satz 15

Sei $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {C}$ eine Folge derart, dass die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ beschränkt ist und sei $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {R}$ eine Nullfolge mit $x_{n}\geq x_{n+1}\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x_{k}$.

Beweis

Wegen der Beschränktheit der Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ existiert eine obere Schranke $c>0$, so dass die Partialsummen $s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},n\in \mathbb {N} _{0}$ die Ungleichung $|s_{n}|\leq c$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ erfüllen. Da $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ eine Nullfolge darstellt, gibt es zu jedem $\varepsilon >0$ einen Index $N=N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$, so dass $0\leq x_{n}\leq \varepsilon$ für alle $n\geq N$ richtig ist. Da diese Nullfolge absteigend ist, können wir mit obigem Hilfssatz über Partielle Summation wie folgt abschätzen:

(24) $\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}x_{k}\right|\leq x_{m}\cdot \max \left\{\left|\sum _{k=m}^{p}a_{k}\right|:p=m,m+1,\ldots ,n\right\}$

$\leq \varepsilon \cdot \max\{|s_{p}-s_{m-1}|:p=m,m+1,\ldots ,n\}$

$\leq 2c\cdot \varepsilon$ für alle $n\geq m\geq N$.

Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen aus Satz 2 erschließen wir die Konvergenz der o. a. Reihe.

q.e.d.

Satz 16

Sei $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {R}$ eine Nullfolge mit $a_{n}\geq a_{n+1}\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$. Dann konvergiert die Potenzreihe $P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq 1$ und $z\neq 1$.

Beweis

Sei $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq 1$ und $z\neq 1$ beliebig gewählt. Dann erhalten wir für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ mittels Formel (9) die Abschätzung

$\left|\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right|=\left|{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}\right|={\frac {|1-z^{n+1}|}{|1-z|}}\leq {\frac {1+|z|^{n+1}}{|1-z|}}\leq {\frac {2}{|1-z|}}=:c(z)\in \mathbb {R}$.

Somit ist die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ beschränkt und Satz 15 liefert die Konvergenz von $P(z)$.

Satz 17 (Konvergenzkriterium von Leibniz)

Sei $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}\subset \mathbb {R}$ eine Nullfolge mit $a_{n}\geq a_{n+1}\geq 0$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$. Dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$.