Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Folgen und Reihen (§6)

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Satz 1

Es gelten die folgenden Aussagen:
(a) Für p \in (0, +\infty) ist \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{p} = 1 richtig.
(b) Es gilt \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1.
(c) Für alle z \in \mathbb{C} mit | z | < 1 ist \lim_{n \to \infty} z^n = 0 erfüllt.

[Bearbeiten] Beweis

(a) Für p = 1 ist \sqrt[n]{p} = 1 für alle n \in \mathbb{N} richtig, also \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{p} = 1. Für p > 1 haben wir \sqrt[n]{p} > 1 für alle n \in \mathbb{N}. Sei \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} mit \sqrt[n]{p} = 1 + x_n erklärt, so gilt xn > 0 für alle n \in \mathbb{N}. Mit der Ungleichung von Bernoulli erhalten wir p = (1+x_n)^n \ge 1 + nx_n und damit

0 < x_n \le \frac{p-1}{n} für alle n \in \mathbb{N}.

Nun ist \left\{\frac{p-1}{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} eine Nullfolge. Damit muss auch \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} eine Nullfolge sein und es folgt

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{p} = \lim_{n \to \infty} (1 + x_n) = 1 + \lim_{n \to \infty} x_n = 1.

Für p < 1 setzen wir p = \frac{1}{q} mit q > 1. Dann gilt \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{q} = 1 und damit

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{p} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{q}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{q}} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{q}} = 1.

(b) Für n > 1 ist \sqrt[n]{n} > 1. Sei \{x_n\}_{n = 2,3,\ldots} \subset \mathbb{R} mit \sqrt[n]{n} = 1 + x_n gesetzt, so folgt xn > 0 für alle n \in \mathbb{N} mit n \ge 2. Mit dem Binomischen Lehrsatz (Satz 5 aus §1) erhalten wir

n = (1 + x_n)^n = \sum^n_{k = 0} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k_n \ge \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x^2_n = \frac{n}{2} (n - 1) x^2_n

und damit

0 < x_n^2 \le \frac{2}{n - 1}

Nun ist wieder \left\{\frac{2}{n-1}\right\}_{n = 2, 3, \ldots} eine Nullfolge, also besitzt auch \{x_n^2\}_{n = 2,3,\ldots} und damit \{x_n\}_{n = 2,3,\ldots} diese Konvergenzeigenschaft und wir erhalten

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 + \lim_{n \to \infty} x_n = 1.

(c) Für z \in \mathbb{C} folgt mit (26) aus §5, dass | zn | = | z | n für alle n \in \mathbb{N} gilt. Sei nun z \in \mathbb{C} mit | z | < 1 gewählt, dann gibt es ein h > 0, so dass |z| = \frac{1}{1+h} richtig ist. Mit der Ungleichung von Bernoulli gilt dann (1+h)^n \ge 1+nh und damit

0 \le |z^n| = |z|^n = \frac{1}{(1+h)^n} \le \frac{1}{1+nh} für alle n \in \mathbb{C}

Die Folge \left\{\frac{1}{1 + hn}\right\}_{n \in \mathbb{N}} ist eine Nullfolge und somit auch \{|z^n|\}_{n \in \mathbb{N}}. Schließlich erhalten wir

\lim_{n \to \infty} |z^n| = 0 \Longleftrightarrow \lim_{n \to \infty} z^n = 0.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 1

Sei \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} eine Folge komplexer Zahlen. Für n \in \mathbb{N} nennen wir
(1) s_n := \sum^n_{k = 1} a_k \in \mathbb{C}
die n-te Partialsumme der Folge \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}. Die Folge der Partialsummen \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} nennen wir eine Reihe und bezeichnen diese mit
(2) \sum^\infty_{k = 1} a_k := \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} = \left\{ \sum^n_{k = 1} a_k \right\}_{n \in \mathbb{N}}.
Wir nennen die Reihe beschränkt, falls die Folge der Partialsummen \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} beschränkt ist.
Die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k = \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} ist konvergent genau dann, wenn die Partialsummen konvergieren gemäß s_n \to s \in \mathbb{C}\ (n \to \infty). In diesem Falle schreiben wir
s = \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \left( \sum^n_{k = 1} a_k \right) =: \sum^\infty_{k = 1} a_k
und nennen die komplexe Zahl s \in \mathbb{C} die Summe oder den Wert der Reihe. Falls eine Reihe nicht konvergiert, die Folge der Partialsummen also nicht konvergiert, so sprechen wir von einer divergenten Reihe.

[Bearbeiten] Bemerkung

Bei konvergenten Reihen bezeichnet das Symbol \sum^\infty_{k = 1} a_k einerseits die Folge der Partialsummen \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} und andererseits deren Grenzwert bzw. die Summe s \in \mathbb{C} der Reihe.

[Bearbeiten] Satz 2 (Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen)

Die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k konvergiert genau dann, wenn es zu jedem \varepsilon > 0 eine natürliche Zahl N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N} gibt, so dass
\left| \sum^n_{k = m + 1} a_k \right| < \varepsilon für alle n > m \ge N
richtig ist.

[Bearbeiten] Beweis

Mit s_n = \sum^n_{k = 1} a_k, n \in \mathbb{N} gilt:

\sum^\infty_{k = 1} a_k konvergent \Longleftrightarrow \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} konvergent \Longleftrightarrow \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} Cauchy-Folge.

Nun ist \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} genau dann eine Cauchy-Folge, wenn zu jedem \varepsilon > 0 ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N} existiert, so dass für alle n, m \ge N mit o. B. d. A. n > m gilt:

\varepsilon > |s_n - s_m| = \left| \sum^n_{k = 1} a_k - \sum^m_{k = 1} a_k \right| = \left| \sum^n_{k = m + 1} a_k \right|.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Notwendiges Konvergenzkriterium)

Wenn die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k konvergiert, dann ist \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} eine Nullfolge.

[Bearbeiten] Beweis

Wenn die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k konvergiert, dann liefert Satz 2 zu jedem \varepsilon > 0 ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass |a_{m + 1}| = \left| \sum^{m + 1}_{k = m + 1} a_k \right| < \varepsilon für alle m \ge N richtig ist. Damit ist \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} eine Nullfolge.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

  1. Durch Negation erhalten wir aus Satz 3 sofort das Divergenzkriterium: Ist \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} keine Nullfolge, so konvergiert die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k nicht.
  2. Das folgende Beispiel zeigt, dass Satz 3 kein hinreichendes Kriterium ist.

[Bearbeiten] Beispiel 1 (Harmonische Reihe)

Betrachten wir die Reihe

(4) \sum^\infty_{k = 1} \frac{1}{k},

so erkennt man \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0. Allerdings erfüllt (4) nicht das Cauchysche Konvergenzkriterium für Reihen: Mit s_n = \sum^n_{k = 1} a_k, n \in \mathbb{N} erhalten wir für beliebiges m \in \mathbb{N} die Ungleichung

|s_{2m} - s_m| = \sum^{2m}_{k = m + 1} \frac{1}{k} > \sum^{2m}_{k = m + 1} \frac{1}{2m} = m \cdot \frac{1}{2m} = \frac{1}{2}.

Folglich konvergiert die Reihe (4) nicht – sie ist also divergent

[Bearbeiten] Satz 4

Sei eine Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k mit den nicht negativen Gliedern a_n \ge 0 für alle n \in \mathbb{N} gegeben. Dann konvergiert sie genau dann, wenn sie beschränkt ist.

[Bearbeiten] Beweis

Die Partialsummen s_n = \sum^n_{k = 1} a_k, n = 1, 2, \ldots bilden eine monoton nicht fallende Folge \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} nicht negativer reeller Zahlen. Der Satz 5 aus §3 liefert:

(5) Die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k konvergiert;
\Longleftrightarrow Die Folge der Partialsummen \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} konvergiert;
\Longleftrightarrow Die Folge der Partialsummen \{s_n\}_{n \in \mathbb{N}} ist nach oben beschränkt;
\Longleftrightarrow Die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k ist beschränkt.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} eine reelle Zahlenfolge mit nicht negativen Gliedern a_n \ge 0 für alle n \in \mathbb{N}. Falls die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k konvergiert, schreiben wir
(6) \sum^\infty_{k = 1} a_k < + \infty.
Im Falle der Divergenz schreiben wir
(7) \sum^\infty_{k = 1} a_k = + \infty.

[Bearbeiten] Satz 5 (Majorantenkriterium)

Die Folgen \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} und \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset [0, + \infty) seien gegeben. Weiter existiere ein Index M \in \mathbb{N}, so dass |a_n| \le b_n für alle n \in \mathbb{N} mit n \ge M richtig ist. Dann gilt die Implikation
\sum^\infty_{k = 1} b_k < + \infty \Longrightarrow \sum^\infty_{k = 1} a_k ist konvergent.

[Bearbeiten] Beweis

Sei \sum^\infty_{k = 1} b_k < + \infty. Dann gibt es zu beliebig vorgegebenem \varepsilon > 0 ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass die Abschätzung

\varepsilon > \sum^n_{k = m} b_k \ge \sum^n_{k = m} |a_k| \ge \left| \sum^n_{k = m} a_k \right|

richtig ist für alle m,n \in \mathbb{N} mit n \ge m \ge \max \{M,N\}. Also ist \sum^\infty_{k = 1} a_k nach Satz 2 konvergent.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

  1. Man nennt \sum^\infty_{k = 1} b_k eine Majorante der Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k.
  2. Falls \sum^\infty_{k = 1} |a_k| < + \infty erfüllt ist, so konvergiert auch \sum^\infty_{k = 1} a_k.
  3. Analog werden wir im nachfolgenden Satz ein Kriterium für die Divergenz der Reihe finden.

[Bearbeiten] Satz 6 (Minorantenkriterium)

Seien \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} reelle Zahlenfolgen mit der Eigenschaft 0 \le b_n \le a_n für alle n \in \mathbb{N}. Dann gilt die Implikation
\sum^\infty_{k = 1} b_k = + \infty \Longrightarrow \sum^\infty_{k = 1} a_k = + \infty.

[Bearbeiten] Beweis

Würde die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k < + \infty erfüllen und somit konvergieren, so müsste auch die majorisierte Reihe \sum^\infty_{k = 1} b_k nach Satz 5 konvergieren – im Widerspruch zur Annahme \sum^\infty_{k = 1} b_k = + \infty.

[Bearbeiten] Satz 7 (Geometrische Reihe)

Es gelten die folgenden Aussagen:
(a) Für alle komplexen Zahlen der offenen Einheitskreisscheibe \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\} konvergiert die Reihe \sum^\infty_{k = 0} z^k und es gilt
(8) \sum^\infty_{k = 0} z^k = \frac{1}{1 - z}.
(b) Für alle komplexen Zahlen des Komplements \{z \in \mathbb{C}: |z| \ge 1\} divergiert die Reihe \sum^\infty_{k = 0} z^k.

[Bearbeiten] Beweis

Mit der geometrischen Summenformel am Ende von §1 haben wir für beliebiges z \in \mathbb{C} \setminus \{+1\} die Identität

(9) \sum^n_{k = 0} z^k = \frac{z^{n + 1} - 1}{z - 1}.

(a) Sei nun | z | < 1 gewählt. Nach Satz 1(c) ist dann \{z^n\}_{n \in \mathbb{N}} eine Nullfolge und damit erhalten wir

\sum^\infty_{k = 0} z^k = \lim_{n \to \infty} \sum^n_{k = 0} z^k = \lim_{n \to \infty} \frac{z^{n + 1} - 1}{z - 1} = \frac{\lim_{n \to \infty} z^{n + 1} - 1}{z - 1} = \frac{- 1}{z - 1} = \frac{1}{1 - z}.

(b) Für |z| \ge 1 ist |z^n| = |z|^n \ge 1 für alle n \in \mathbb{N} erfüllt und damit ergibt \{z^n\}_{n \in \mathbb{N}} keine Nullfolge. Somit ist die Reihe \sum^\infty_{k = 0} z^k nach Satz 3 divergent.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 8 (Vergleichskriterium für Reihen)

Sei die komplexe Zahlenfolge \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} gegeben. Weiter seien die Größen c, q \in \mathbb{R} mit c > 0 und q \in (0,1) so gewählt, dass die Ungleichung
|a_n| \le c \cdot q^n für alle n \in \mathbb{N} mit n \ge N
mit festem Index N \in \mathbb{N} richtig ist. Dann ist die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k konvergent.

[Bearbeiten] Satz 9 (Wurzelkriterium)

Sei die Folge \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} gegeben, so gelten die Implikationen:
(10) \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \Longrightarrow \sum^\infty_{k = 1} a_k ist konvergent
und
(11) \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1 \Longrightarrow \sum^\infty_{k = 1} a_k ist divergent.

[Bearbeiten] Beweis von (10)

Sei r:= \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1. Zu einer Zahl q \in (r,1) können wir wegen Satz 12 in §3 eine Zahl P \in \mathbb{N} finden, so dass \sqrt[n]{|a_n|} \le q bzw. |a_n| \le q^n für alle n \ge P gilt. Nach Satz 8 konvergiert dann \sum^\infty_{k = 1} a_k.

[Bearbeiten] Beweis von (11)

Seien r_n:= \sqrt[n]{|a_n|}, n \in \mathbb{N} und r:= \limsup_{n \to \infty} r_n > 1. Dann gibt es nach Satz 12 in §3 eine Teilfolge \{r{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \{r_n\}_{n \in \mathbb{N}}, so dass r{n_k} \to r\ (k \to \infty) richtig ist. Wegen r > 1 gibt es einen Index K \in \mathbb{N}, so dass r_{n_k} = \sqrt[n_k]{|a_{n_k}|} > 1 und damit |a_{n_k}| > 1 für alle k \ge K gilt. Es ist somit \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} keine Nullfolge und \sum^\infty_{k = 1} a_k nach Satz 3 divergent.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkung

Falls \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1 erfüllt ist, kann man mit dem Wurzelkriterium nicht über Konvergenz oder Divergenz von \sum^\infty_{k = 1} a_k entscheiden.

[Bearbeiten] Satz 10 (Quotientenkriterium)

Sei die Folge \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} mit einem Index N \in \mathbb{N} gegeben, so dass a_n \neq 0 für alle n \ge N richtig ist. Dann gelten die Implikationen
(12) \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| < 1 \Longrightarrow \sum^\infty_{k = 1} a_k ist konvergent
und
(13) Für alle n \ge M gilt \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| \ge 1 mit geeignetem Index M \ge N
\Longrightarrow \sum^\infty_{k = 1} a_k ist divergent.

[Bearbeiten] Beweis von (12)

Sei

t:= \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| < 1

gesetzt. Dann gibt es eine reelle Zahl q \in (t,1) und nach Satz 12 in §3 einen Index P \in \mathbb{N} mit P \ge N, so dass

\left| \frac{a_{k + 1}}{a_k} \right| \le q für alle k \ge P

gilt. Für beliebiges n > P erhalten wir

\left| \frac{a_n}{a_P} \right| = \prod^{n - 1}_{k = P} \left| \frac{a_{k + 1}}{a_k} \right| \le \prod^{n - 1}_{k = P} q = q^{n - P}

und damit

|a_n| \le |a_P| q^{n - P} = (|a_P| q^{-P}) \cdot q^n = c \cdot q^n,

wobei c: = | aP | q − P > 0 abgekürzt wurde. Damit folgt nach Satz 8 die Konvergenz von \sum^\infty_{k = 1} a_k.

[Bearbeiten] Beweis von (13)

Sei M \ge N ein Index mit

\left| \frac{a_{k + 1}}{a_k} \right| \ge 1 für alle k \ge M.

Dann folgt für beliebiges n > M:

\left| \frac{a_n}{a_M} \right| = \prod^{n - 1}_{k = M} \left| \frac{a_{k + 1}}{a_k} \right| \ge \prod^{n - 1}_{k = M} 1 = 1.

Also gilt |a_n| \ge \varepsilon für alle n > M, wobei wir \varepsilon := |a_M| > 0 abkürzen.Damit kann \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} keine Nullfolge sein und nach Satz 3 ist die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k divergent.

q.e.d.

[Bearbeiten] Beispiel 2 (Komplexe Exponentialreihe)

Für alle z \in \mathbb{C} konvergiert die Reihe

(14) \exp z := \sum^\infty_{k = 0} \frac{z^k}{k!}.

Setzen wir nämlich

a_k := \frac{z^k}{k!}, \quad k \in \mathbb{N}_0

als Glieder der Reihe, so berechnen wir

\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{|z|^{n + 1} \cdot n!}{(n + 1)! \cdot |z|^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{|z|}{n + 1} = 0

Die Konvergenz der Reihe für alle Punkte z \in \mathbb{C} liefert nun das Quotientenkriterium.

[Bearbeiten] Satz 11

Sei \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} eine Folge mit a_n \neq 0 für alle n \in \mathbb{N}. Dann gilt
(15) \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \le \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right|.

[Bearbeiten] Beweis

Seien r:= \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} und t:= \limsup_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| erklärt. Nehmen wir an, es wäre r > t erfüllt. Dann gibt es eine reelle Zahl q \in (t,r) und einen Index P \in \mathbb{N}, so dass \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| \le q für alle k \ge P gilt. Wie im Beweis von (12) erhalten wir |a_n| \le c \cdot q^n und damit \sqrt[n]{|a_n|} \le \sqrt[n]{c} \cdot q für alle n \ge P. Nach Satz 1(a) gilt \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{c} = 1 und es folgt

r = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \le \limsup_{n \to \infty} (\sqrt[n]{c} \cdot q) = q \cdot \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{c} = q,

im Widerspruch zur Wahl von q < r.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Seien die komplexen Zahlen a_n \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}_0 gegeben. Dann ordnen wir jeder komplexen Zahl z \in \mathbb{C} die Reihe
(16) P(z):= \sum^\infty_{k = 0} a_kz^k
zu und nennen diese eine Potenzreihe in z mit den Koeffizienten a_n \in \mathbb{C}, n \in \mathbb{N}_0.

[Bearbeiten] Bemerkung

Falls es einen Index N \in \mathbb{N}_0 gibt, so dass a_N \neq 0 und an = 0 für alle n > N richtig ist, so reduziert sich die Potenzreihe auf ein Polynom vom Grade N.

[Bearbeiten] Satz 12 (A. Cauchy und J. Hadamard)

Seien P(z):= \sum^\infty_{k = 0} a_kz^k eine Potenzreihe und \alpha := \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. Sei weiter
(17) R := \left\lbrace \begin{matrix} + \infty, & wenn\ \alpha = 0 \\ \alpha^{-1}, & wenn\ \alpha \in (0, + \infty) \\ 0, & wenn\ \alpha = + \infty \end{matrix} \right.
gesetzt. Dann gelten die Implikationen:
(18) |z| < R \Longrightarrow P(z) ist konvergent
und
(19) |z| > R \Longrightarrow P(z) ist divergent.

[Bearbeiten] Beweis

Sei |z| \left\lbrace \begin{matrix} < \\ > \end{matrix} \right\rbrace R. Dann ist

|z| \left\lbrace \begin{matrix} < \\ > \end{matrix} \right\rbrace \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \Longleftrightarrow |z| \cdot \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_nz^n|} \left\lbrace \begin{matrix} < \\ > \end{matrix} \right\rbrace 1

und mit (10) bzw. (11) ist die Konvergenz bzw. Divergenz von sofort zu ermitteln.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 4

Die Zahl R \in [0, + \infty] aus Satz 12 heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe.

[Bearbeiten] Bemerkung

Das Konvergenzgebiet ist eine offene Kreisscheibe um den Nullpunkt vom Radius

(20) 0 \le R := \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \le + \infty.

Diese ist als Formel von Cauchy-Hadamard bekannt und wurde bereits 1821 gefunden.

[Bearbeiten] Beispiel 3 (Konvergenzradien)

1. Die geometrische Reihe

P(z) = \sum^\infty_{k = 0} z^k

konvergiert für alle z \in \mathbb{C} mit | z | < 1 und divergiert für alle z \in \mathbb{C} mit |z| \ge 1. Damit besitzt sie den Konvergenzradius R = 1.

2. Die Exponentialreihe

P(z) = \sum^\infty_{k = 0} \frac{z^k}{k!}

konvergiert für alle z \in \mathbb{C} und hat somit als Konvergenzradius R = \infty

3. Man ermittelt leicht den Konvergenzradius R = 1 der Potenzreihe

P(z) = \sum^\infty_{k = 1} \frac{z^k}{k}.

In Satz 16 werden wir genau ihren Konvergenzbereich bestimmen.

[Bearbeiten] Definition 5

Sei die Folge \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} gegeben. Die Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k heißt absolut konvergent, falls
(21) \sum^\infty_{k = 1} |a_k| < + \infty

ausfällt.

[Bearbeiten] Satz 13

Jede absolut konvergente Reihe \sum^\infty_{k = 1} a_k ist auch konvergent.

[Bearbeiten] Satz 14 (Absolute Konvergenz von Potenzreihen)

Sei die Potenzreihe P(z) = \sum^\infty_{k = 0} a_kz^k gegeben und z_0 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} ein Punkt, an dem P(z0) konvergiert. Dann ist P(z) absolut konvergent für alle z \in \mathbb{C} mit | z | < | z0 | .

[Bearbeiten] Beweis

Sei P(z_0) = \sum^\infty_{k = 0} a_kz_0^k für z_0 \in \mathbb{C} \setminus \{0\} konvergent. Dann gilt \lim_{n \to \infty} a_kz_0^k = 0 und es gibt eine Zahl c \in (0,+ \infty), so dass |a_nz_0^n| \le c für alle n \in \mathbb{N}_0 richtig ist. Somit können wir für beliebiges z \in \mathbb{C} mit | z | < | z0 | und beliebiges n \in \mathbb{N}_0 die Terme

|a_n z^n| = \left| a_n z_0^n \frac{z^n}{z_0^n} \right| = |a_n z^n_0| \cdot \left| \frac{z}{z_0} \right|^n \le c \cdot \left| \frac{z}{z_0} \right|^n = c \cdot q^n

abschätzen, wobei wir q := \left| \frac{z}{z_0} \right| < 1 setzen. Mit Satz 8 folgt die Konvergenz von \sum^\infty_{k = 0} |a_k z^k|, also die absolute Konvergenz von P(z).

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 1 (Partielle Summation)

Seien a_k \in \mathbb{C} und x_k \in \mathbb{R} für k=0,1,2,\ldots, n mit n \in \mathbb{N} so gegeben, dass x_0 \ge x_1 \ge x_2 \ge \ldots \ge x_n \ge 0 gilt. Dann haben wir die Abschätzung
(22) \left| \sum^n_{k = 0} a_kx_k \right| \le x_0 \cdot \max \left\{ \left| \sum^p_{k = 0} a_k \right|: p = 0,1, \ldots, n \right\}.

[Bearbeiten] Beweis

Wir setzen s_p:= \sum^p_{k = 0} a_k für p = 0, 1, 2, \ldots, n sowie s − 1: = 0 und erhalten ak = sk − sk − 1 für k = 0, 1, 2, \ldots, n. Nun berechnen wir leicht

\sum^n_{k = 0} a_kx_k = s_0x_0 + \sum^{n - 1}_{k = 0} (s_{k + 1} - s_k) x_{k + 1} = s_nx_n + \sum^{n - 1}_{k = 0} s_k (x_k - x_{k + 1}),

wenn wir die Identität

\sum^{n - 1}_{k = 0} s_{k + 1} x_{k + 1} - \sum^{n - 1}_{k = 0} s_k x_k = s_n x_n - s_0 x_0

beachten. Nach Voraussetzung ist x_k - x_{k + 1} \ge 0 für k = 0, 1, 2, \ldots, n - 1 richtig und es folgt

(23) \left| \sum^n_{k = 0} a_kx_k \right| \le |s_n| \cdot x_n + \sum^{n - 1}_{k = 0} |s_k| \cdot (x_k - x_{k + 1})
\le \max \{|s_k|: k = 0, 1, \ldots n\} \cdot \left[ x_n + \sum^{n - 1}_{k = 0} (x_k - x_{k + 1}) \right]
= x_0 \cdot \max \{|s_k|: k = 0, 1, \ldots n\}.

[Bearbeiten] Satz 15

Sei \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{C} eine Folge derart, dass die Reihe \sum^\infty_{k=0} a_k beschränkt ist und sei \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R} eine Nullfolge mit x_n \ge x_{n + 1} \ge 0 für alle n \in \mathbb{N}_0. Dann konvergiert die Reihe \sum^\infty_{k=0} a_k x_k.

[Bearbeiten] Beweis

Wegen der Beschränktheit der Reihe \sum^\infty_{k=0} a_k existiert eine obere Schranke c > 0, so dass die Partialsummen s_n := \sum^n_{k=0} a_k, n \in \mathbb{N}_0 die Ungleichung |s_n| \le c für alle n \in \mathbb{N}_0 erfüllen. Da \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} eine Nullfolge darstellt, gibt es zu jedem \varepsilon > 0 einen Index N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, so dass 0 \le x_n \le \varepsilon für alle n \ge N richtig ist. Da diese Nullfolge absteigend ist, können wir mit obigem Hilfssatz über Partielle Summation wie folgt abschätzen:

(24) \left| \sum^n_{k = m} a_kx_k \right| \le x_m \cdot \max \left\{ \left| \sum^p_{k = m} a_k \right|: p = m, m + 1, \ldots, n \right\}
\le \varepsilon \cdot \max \{|s_p - s_{m - 1}|: p = m, m + 1, \ldots, n\}
\le 2c \cdot \varepsilon für alle n \ge m \ge N.

Mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen aus Satz 2 erschließen wir die Konvergenz der o. a. Reihe.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 16

Sei \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R} eine Nullfolge mit a_n \ge a_{n + 1} \ge 0 für alle n \in \mathbb{N}_0. Dann konvergiert die Potenzreihe P(z) = \sum^\infty_{k = 0} a_k z^k für alle z \in \mathbb{C} mit |z| \le 1 und z \neq 1.

[Bearbeiten] Beweis

Sei z \in \mathbb{C} mit |z| \le 1 und z \neq 1 beliebig gewählt. Dann erhalten wir für alle n \in \mathbb{N}_0 mittels Formel (9) die Abschätzung

\left| \sum^n_{k = 0} z^k \right| = \left| \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} \right| = \frac{|1 - z^{n + 1}|}{|1 - z|} \le \frac{1 + |z|^{n + 1}}{|1 - z|} \le \frac{2}{|1 - z|} =: c(z) \in \mathbb{R}.

Somit ist die Reihe \sum^\infty_{k = 0} z^k beschränkt und Satz 15 liefert die Konvergenz von P(z).

[Bearbeiten] Satz 17 (Konvergenzkriterium von Leibniz)

Sei \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} \subset \mathbb{R} eine Nullfolge mit a_n \ge a_{n + 1} \ge 0 für alle n \in \mathbb{N}_0. Dann konvergiert die Reihe \sum^\infty_{k = 0} (-1)^k a_k.
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