Kurs:Analysis I/Kapitel I: Das System der reellen und komplexen Zahlen/Komplexe Zahlen (§5)

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[Bearbeiten] Definition 1

Eine komplexe Zahl $z$ ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen $a$ und $b$ , also $z = (a, b)$ . Dabei heißt $a$ der Realteil und $b$ der Imaginärteil von $z$ . Wir schreiben $R e (z): = a$ und $I m (z): = b$ . Zwei komplexe Zahlen $x : = (a, b)$ und $y : = (c, d)$ heißen gleich genau dann, wenn $a = c$ und $b = d$ gelten. Die Menge aller komplexen Zahlen nennen wir

$\mathbb{C} := \{z = (a, b): a, b \in \mathbb{R}\}$ .

Für zwei komplexe Zahlen $x =(a,b), y =(c,d) \in \mathbb{C}$ erklären wir durch

(1) $x + y = (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) \in \mathbb{C}$

eine Addition und durch

(2) $x \cdot y = (a, b) \cdot (c, d) := (ac - bd, ad + bc) \in \mathbb{C}$

eine Multiplikation.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Eine komplexe Zahl kann als Punkt im $\mathbb{R}^2$ gesehen werden – also als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene. Der Unterschied zwischen $\mathbb{C}$ und $\mathbb{R}^2$ besteht in den Verknüpfungsoperationen, die auf den jeweiligen Mengen erklärt sind – insbesondere in der komplexen Multiplikation. So meinen wir mit $\mathbb{C}$ eben nicht nur die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen, sondern die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen mit ihren Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ gemäß (1) und (2). Analog verstehen wir unter $\mathbb{R}^2$ die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen als Vektorraum über $\mathbb{R}$ mit der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation.

[Bearbeiten] Hilfssatz 1

Für alle $x, y, z \in \mathbb{C}$ gelten

(3) $(x + y) + z = x + (y + z)$ (additive Assoziativität)

(4) $x + y = y + x$ (additive Kommutativität)

(5) $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ (multiplikative Assoziativität)

(6) $x \cdot y = y \cdot x$ (multiplikative Kommutativität)

(7) $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z)$ (Distributivität)

[Bearbeiten] Hilfssatz 2

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Nullelement $0_\mathbb{C} \in \mathbb{C}$ , so dass

(8) $x + y = x \Longleftrightarrow y = 0_\mathbb{C}$

für alle $x \in \mathbb{C}$ richtig ist.

[Bearbeiten] Beweis

Wir wählen

(9) $0_\mathbb{C} := (0, 0) \in \mathbb{C}$

Da das Nullelement $0 \in \mathbb{R}$ eindeutig bestimmt ist, gilt für alle $a \in \mathbb{R}$ die Identität

$a + c = a \Longleftrightarrow c = 0$ .

Mit (1) und (8) folgt dann

$x + y = x \Longleftrightarrow y = 0_\mathbb{C}$

für jedes $x \in \mathbb{C}$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 3

Zu jedem $x \in \mathbb{C}$ gibt es ein eindeutig bestimmtes additiv inverses (bzw. negatives) Element $-x \in \mathbb{C}$ , so dass

(10) $x + y = 0_\mathbb{C} \Longleftrightarrow y = - x$ .

[Bearbeiten] Beweis

Sei $x = (a, b)$ . Dann wählen wir

(11)

- x : = ( - a, - b)

und erhalten (10) mit (1) und den Eigenschaften von $\mathbb{R}$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 4

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Einselement $1_\mathbb{C} \in \mathbb{C}$ , so dass

(12) $x \cdot y = x \Longleftrightarrow y = 1_\mathbb{C}$

für alle $x \in \mathbb{C} \setminus \{0_\mathbb{C}\}$ richtig ist.

[Bearbeiten] Beweis

„ $\Leftarrow$ “: Wir wählen

(13) $1_\mathbb{C} := (1_\mathbb{R}, 0) \in \mathbb{C}$ .

Sei $x = (a, b)$ beliebig. Dann erhalten wir mit (2):

$x \cdot 1_\mathbb{C} = (a, b) \cdot (1, 0) = (a \cdot 1_\mathbb{R} - b \cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1_\mathbb{R}) = (a, b)$

„ $\Rightarrow$ “: Sei nun $y = (c, d) \in \mathbb{C}$ , so dass

$(a, b) = x = x \cdot y = (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$

$\Longleftrightarrow a = ac - bd \wedge b = ad + bc$ .

Dann ist $(c, d)$ eine Lösung des Gleichungssystems

(14) $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ .

Für $(a, b) = x \neq 0_\mathbb{C} = (0,0)$ haben wir

$0< a^2 + b^2 = \det \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$

und damit die eindeutige Lösbarkeit von (14) durch $y = (c,d)=(1_\mathbb{R}, 0) = 1_\mathbb{C}$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Hilfssatz 5

Zu jedem $x \in \mathbb{C} \setminus \{0_\mathbb{C}\}$ gibt es ein eindeutig bestimmtes multiplikativ inverses (bzw. reziprokes) Element $x^{-1} \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ , so dass

(15) $x \cdot y = 1_\mathbb{C} \Longleftrightarrow y = x^{-1}$ .

[Bearbeiten] Beweis

„ $\Leftarrow$ “: Sei $x = (a, b) \neq (0, 0) = 0_\mathbb{C}$ . Dann wählen wir

(16) $x^{-1} := \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right) \in \mathbb{C}$

und berechnen mit (2):

$x \cdot x^{-1} = (a,b) \cdot \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right) = \left( \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2}, \frac{-ab + ab}{a^2 + b^2} \right) = (1, 0) = 1_\mathbb{C}$ .

„ $\Rightarrow$ “: Sei nun $y = (c, d) \in \mathbb{C}$ , so dass

$(1, 0) = 1_\mathbb{C} = x \cdot y = (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$

$\Longleftrightarrow 1 = ac - bd \wedge 0 = ad + bc$ .

Dann ist $(c, d)$ eine Lösung des Gleichungssystems

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ .

Wie im Beweis von Hilfssatz 4 erhalten wir für $x \neq 0_\mathbb{C}$ Eindeutigkeit und es folgt $y = x - 1$ .

q.e.d.

Für $x, y \in \mathbb{C}, x \neq 0_\mathbb{C}$ schreiben wir auch

(17) $x^{-1}=: \frac{1_\mathbb{C}}{x}$ und $y \cdot x^{-1}=: \frac{y}{x}$ .

[Bearbeiten] Satz 1

Die Menge der rationalen Zahlen mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ gemäß (1) und (2) bildet einen Körper (siehe Definition 1 in §1).

[Bearbeiten] Definition 2

Die Teilmenge

(18) $\mathbb{C}_\mathbb{R} := \{(a, 0) \in \mathbb{C}: a \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{C}$

der komplexen Zahlen nennen wir die reelle Achse von $\mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 6

$\mathbb{C}_\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ist ein Unterkörper von $\mathbb{C}$ , das heißt die Teilmenge $\mathbb{C}_\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ der komplexen Zahlen bildet mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ gemäß (1) und (2) einen Körper.

[Bearbeiten] Beweis

Da sich Assoziativität, Kommutativität und Distributivität automatisch übertragen, bleibt nur (a) die Abgeschlossenheit von $\mathbb{C}_\mathbb{R}$ bzgl. $+$ und $\cdot$ sowie (b) die Existenz von Null-, Eins-, negativem und reziprokem Element in $\mathbb{C}_\mathbb{R}$ zu zeigen

(a) Seien $x, y \in \mathbb{C}_\mathbb{R}$ . Dann gibt es zwei Zahlen $a, c \in \mathbb{R}$ mit $x = (a,0), y = (c,0)$ und es ist

$x + y = (a,0) + (c,0) = (a + c, 0) \in \mathbb{C}_\mathbb{R}$

und

$x \cdot y = (a,0) \cdot (c,0) = (a \cdot c, 0) \in \mathbb{C}_\mathbb{R}$ .

(b) Es gelten

$0_\mathbb{C} = (0,0) \in \mathbb{C}_\mathbb{R}$ und $1_\mathbb{C} = (1,0) \in \mathbb{C}_\mathbb{R}$

sowie

$x \in \mathbb{C}_\mathbb{R} \Rightarrow x = (a,0), a \in \mathbb{R} \Rightarrow - x = (-a,0) \in \mathbb{C}_\mathbb{R}$

und

$x \in \mathbb{C}_\mathbb{R} \setminus \{0_\mathbb{C}\} \Rightarrow x = (a,0), a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \Rightarrow x^{-1} = (\frac{1}{a}, 0) \in \mathbb{C}_\mathbb{R} \setminus \{0_\mathbb{C}\}$ .

Damit hat $\mathbb{C}_\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ alle Eigenschaften eines Körpers.

q.e.d.

Mit der Abbildung

$\iota: \mathbb{R} \to \mathbb{C}_\mathbb{R}$ vermöge $a \mapsto \iota(a) := (a, 0)$ ,

welche bijektiv ist und

(i) $ι(a + c) = (a + c,0) = (a,0) + (c,0) = ι(a) + ι(c)$ für alle $a, c \in \mathbb{R}$ ,
(ii) $\iota(a \cdot c) = (a \cdot c, 0) = (a, 0) \cdot (c, 0) = \iota(a) \cdot \iota(c)$ für alle $a, c \in \mathbb{R}$ ,
(iii) $\iota(1) = (1, 0) = 1_\mathbb{C}$

erfüllt, erhalten wir einen sogenannten Körperisomorphismus vom Körper $\mathbb{R}$ in den Körper $\mathbb{C}_\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ . Durch diesen können wir die reellen Zahlen mit der reellen Achse von $\mathbb{C}$ identifizieren und somit $\mathbb{R}$ in $\mathbb{C}$ einbetten. In Zukunft identifizieren wir also $a \in \mathbb{R}$ mit $(a, 0) \in \mathbb{C}$ , $0 \in \mathbb{R}$ mit $0_\mathbb{C} \in \mathbb{C}$ und $1 \in \mathbb{R}$ mit $1_\mathbb{C} \in \mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Definition 3

Sei $x = (a,b) \in \mathbb{C}$ eine komplexe Zahl. Dann nennen wir

(19) $\overline{x} := (a, -b) \in \mathbb{C}$

die zu $x$ konjugiert komplexe Zahl und

(20) $|x| := \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0$

den Betrag von $x$ .

[Bearbeiten] Bemerkung

Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht dem Betrag des zugehörigen Vektors im $\mathbb{R}^2$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 7

Für alle $x, y \in \mathbb{C}$ gelten die folgenden Aussagen:

(21) $|x| = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ ,

(22) $x \cdot \overline{x} = |x|^2$ ,

(23) $\overline{(\overline{x})} = x$ ,

(24) $\overline{x + y} = \overline{x} + \overline{y}$ ,

(25) $\overline{x \cdot y} = \overline{x} \cdot \overline{y}$ ,

(26) $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$ .

[Bearbeiten] Definition 4

Wir nennen

(27)

i : = (0,1)

die imaginäre Einheit in $\mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Hilfssatz 8

Es gilt

(28)

i 2 = - 1

und für $x = (a,b) \in \mathbb{C}$ haben wir die Darstellung

(29) $x = a + i \cdot b$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir berechnen

$i^2 = (0,1)^2 = (0,1) \cdot (0,1) = (-1,0) = -1$

und

$x = (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (0,1) \cdot (b,0) = a + i \cdot b$ .

[Bearbeiten] Satz 2 (Vollständigkeit von $\mathbb{C}$ )

Sei $\{z_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}$ eine komplexe Cauchy-Folge, d. h. es gebe zu jedem $\varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ , so dass $|z_k - z_l|< \varepsilon$ für alle $k,l \ge N$ richtig ist. Dann existiert ein $z \in \mathbb{C}$ mit $\lim_{k \to \infty} |z_k - z| = 0$ . Wir schreiben $z_k \to z \ (k \to \infty)$ bzw. $z = \lim_{k \to \infty} z_k$ .

[Bearbeiten] Satz 3 (Häufungsstellensatz in $\mathbb{C}$ )

Sei $\{z_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C}$ eine beschränkte Folge komplexer Zahlen, d. h. es gebe eine reelle Zahl $c > 0$ , so dass $|z_k| \le c$ für alle $k \in \mathbb{N}$ richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge $\{z_{k_p}\}_{p \in \mathbb{N}} \subset \{z_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ und ein $z \in \mathbb{C}$ , so dass $z_{k_p} \to z \ (p \to \infty)$ gilt.

Erklären wir im Raum

$\mathbb{C}^n := \{\mathbf{z} = (z_1, \ldots, z_n): z_k \in \mathbb{C}\ \mathrm{f\ddot ur\ } k = 1, \ldots, n\}$

ein inneres Produkt durch die Setzung

(30) $\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle := \sum^n_{k = 1} a_k \overline{b_k}$ für $\mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n), \mathbf{b} = (b_1, \ldots, b_n) \in \mathbb{C}^n$ .

In Verallgemeinerung der reellen Ungleichung von Cauchy-Schwarz aus Satz 4 in §1 wollen wir noch die Abschätzung

$|\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle|^2 \le \langle \mathbf{a}, \mathbf{a} \rangle \langle \mathbf{b}, \mathbf{b} \rangle$ für alle $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{C}^n$

beweisen. Man kann so zeigen, dass $|\mathbf{a}| := \sqrt{\langle \mathbb{a}, \mathbf{a} \rangle}$ für die komplexen Vektoren $\mathbf{a} \in \mathbb{C}^n$ einen sinnvollen Abstandsbegriff bildet.

[Bearbeiten] Satz 4 (Komplexe Ungleichung von Cauchy-Schwarz)

Seien $a_k,b_k \in \mathbb{C}$ für $k = 1, \ldots, n$ . Dann gilt:

(31) $\left| \sum^n_{k = 1} a_k \overline{b_k} \right|^2 \le \left( \sum^n_{k = 1} |a_k|^2 \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} |b_k|^2 \right)$

[Bearbeiten] Beweis

Mit den Beziehungen aus Hilfssatz 7 erhalten wir

$0 \le \sum^n_{i, j = 1} |a_ib_j - a_jb_i|^2 = \sum^n_{i, j = 1} (a_ib_j - a_jb_i)\overline{(a_ib_j - a_jb_i)}$

$= \sum^n_{i, j = 1} (a_ib_j - a_jb_i)(\overline{a_i} \overline{b_j} - \overline{a_j} \overline{b_i})$

$= \sum^n_{i, j = 1} (a_i \overline{a_i} b_j \overline{b_j} + a_j \overline{a_j} b_i \overline{b_i} - a_i \overline{a_j} b_j \overline{b_i} - a_j \overline{a_i} b_i \overline{b_j})$

$= 2 \cdot \sum^n_{i, j = 1} a_i \overline{a_i} b_j \overline{b_j} - 2 \cdot \sum^n_{i, j = 1} a_i \overline{b_i} \overline{a_j} b_j$

$= 2 \cdot \left[ \left( \sum^n_{i = 1} |a_i|^2 \right) \cdot \left( \sum^n_{i = 1} |b_i|^2 \right) - \left( \sum^n_{i = 1} a_i \overline{b_i} \right) \cdot \left( \sum^n_{i = 1} \overline{a_i} b_i \right) \right]$

$= 2 \cdot \left[ \left( \sum^n_{i = 1} |a_i|^2 \right) \cdot \left( \sum^n_{i = 1} |b_i|^2 \right) - \left( \sum^n_{i = 1} a_i \overline{b_i} \right) \cdot \overline{\left( \sum^n_{i = 1} a_i \overline{b_i} \right)} \right]$

$= 2 \cdot \left[ \left( \sum^n_{i = 1} |a_i|^2 \right) \cdot \left( \sum^n_{i = 1} |b_i|^2 \right) - \left| \sum^n_{i = 1} a_i \overline{b_i} \right|^2 \right]$ ,

woraus die behauptete Ungleichung folgt.

q.e.d.

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[Bearbeiten] Beweis

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[Bearbeiten] Beweis

[Bearbeiten] Definition 3

[Bearbeiten] Bemerkung

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[Bearbeiten] Definition 4

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[Bearbeiten] Satz 2 (Vollständigkeit von $\mathbb{C}$ )

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