Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§3 Die Hyperbelfunktionen

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition 1 (Hyperbelfunktionen)
2 Satz 1
- 2.1 Beweis
3 Satz 2 (Additionstheorem für die Hyperbelfunktionen)
- 3.1 Beweis
4 Satz 3
- 4.1 Beweis
5 Satz 4
- 5.1 Beweis
6 Satz 5
7 Satz 6

[Bearbeiten] Definition 1 (Hyperbelfunktionen)

Für alle $y \in \mathbb{R}$ erklären wir den Cosinus hyperbolicus durch

$\cosh y := \frac {1} {2} (e^y + e^{-y})=\cos(iy)$ ,

den Sinus hyperbolicus durch

$\sinh y := \frac {1} {2} (e^y - e^{-y})=-i \cdot \sin(iy)$ ,

den Tangens hyperbolicus durch

$\tanh y := \frac {\sinh y} {\cosh y} = \frac {e^y - e^{-y}} {e^y + e^{-y}}=-i \cdot \tan(iy)$

und den Cotangens hyperbolicus durch

$\coth y := \frac {\cosh y} {\sinh y} = \frac {e^y + e^{-y}} {e^y - e^{-y}}=i \cdot \cot(iy)$

[Bearbeiten] Satz 1

Die Hyperbelfunktionen sind in $\mathbb{R}$ stetig differenzierbar und es gelten für $y\in\mathbb{R}$ die folgenden Differentiationsregeln:

(1) $\frac{d}{dy} \cosh y= \sinh y$ und $\frac{d}{dy} \sinh y= \cosh y$

(1) $\frac{d}{dy} \tanh y= \frac{1}{\cosh^2 y}$ und $\frac{d}{dy} \coth y= -\frac{1}{\sinh^2 y}, y \neq 0$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir beachten die obige Definition der Hyperbelfunktionen durch die trigonometrischen Funktionen. Von den ersten beiden Differentiationsregeln berechnen wir

(2) $\frac{d}{dy} \cosh y = \frac{d}{dy}\cos(iy) = -i \cdot \sin(iy) = \sinh y,y \in \mathbb{R}$ .

Unter Verwendung von Satz 9 aus §2 ermitteln wir die dritte Differentiationsregel:

(3) $\frac{d}{dy} \tanh y =-i \cdot \frac{d}{dy} \tan(iy) = -i \cdot i \cdot \frac{1}{\cos^2(iy)} = \frac{1}{\cosh^2 y}, y \in \mathbb{R}$ .

[Bearbeiten] Satz 2 (Additionstheorem für die Hyperbelfunktionen)

Für alle $y_1, y_2 \in \mathbb{R}$ gelten die folgenden Identitäten:

(4) $\begin{matrix} \cosh(y_1+y_2)=\cosh y_1 \cdot \cosh y_2 + \sinh y_1 \cdot \sinh y_2, \\ \sinh(y_1+y_2)=\sinh y_1 \cdot \cosh y_2 + \cosh y_1 \cdot \sinh y_2. \end{matrix}$

Desweiteren gilt für alle $y \in \mathbb{R}$ die Identität

(5)

cosh 2 y - sinh 2 y = 1

.

[Bearbeiten] Beweis

Mit dem Additionstheorem berechnen wir von (4) die erste Gleichung:

(6) $\cosh\left(y_1+y_2) = \cos(iy_1+iy_2\right)$

$= \cos(iy_1) \cdot \cos(iy_2) - \sin(iy_1) \cdot \sin(iy_2)$

$= \cos(iy_1) \cdot \cos(iy_2) + [-i \cdot \sin(iy_1)] \cdot [-i \cdot \sin(iy_2)]$

$=\cosh y_1 \cdot \cosh y_2 + \sinh y_1 \cdot \sinh y_2$ für alle $y_1, y_2 \in \mathbb{R}$ .

Weiter ermitteln wir für alle $y \in \mathbb{R}$ :

(7) $\cosh^2 y - \sinh^2 y = \cos\left(iy)^2 - (-i)^2 \sin(iy)^2 = \cos(iy)^2 + \sin(iy\right)^2 = 1$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3

Die ungerade Funktion $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vermöge $y \mapsto f(y) = \sinh y$ ist in $\mathbb{R}$ streng monoton steigend und wir haben das asymptotische Verhalten

$\lim_{y \to -\infty} \sinh y = -\infty, \quad \sinh 0 = 0, \quad \lim_{y \to +\infty} \sinh y = +\infty$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wegen der Ungleichung

$f'(y)=\cosh y = \frac{1}{2} (e^y + e^{-y}) >0, \quad y \in \mathbb{R}$

ist die Funktion Sinus hyperbolicus auf $\mathbb{R}$ streng monoton steigend. Weiter ist $sinh$ eine gerade Funktion, da dieses auch für $sin$ zutrifft und es gilt

$\sinh 0 = \frac{1}{2} (e^0 - e^0) = 0$ .

Gemäß §1 ist $\lim_{y \to +\infty} e^y = +\infty$ und $\lim_{y \to +\infty} e^{-y} = 0$ erfüllt und wir erhalten

$\lim_{y \to +\infty} \sinh y = \frac{1}{2} \left( \lim_{y \to +\infty} e^y - \lim_{y \to +\infty} e^{-y} \right) = \frac{1}{2} \lim_{y \to +\infty} e^y = + \infty$ .

Aus der Eigenschaft $\sinh(-y)=-\sinh(y), y \in \mathbb{R}$ folgen nun alle weiteren Aussagen.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4

Die ungerade Funktion $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vermöge $y \mapsto g(y) = \cosh y$ ist im Intervall $0 \le y < +\infty$ streng monoton steigend und es gilt

$\lim_{y \to -\infty} \cosh y = +\infty = \lim_{y \to +\infty} \cosh y$ sowie $cosh0 = 1$ .

Wegen $g'\left(y\right)=\sinh y>0$ für alle $y > 0$ ist die Funktion Cosinus hyperbolicus im Intervall $[0,+\infty)$ streng monoton steigend. Weiter gilt $\cosh 0 = \frac{1}{2} (e^0 + e^0)=1$ . Da die Cosinusfunktion gerade ist, folgt

$\cosh(-y) = \cosh(y), \quad y \in \mathbb{R}$ .

Wegen der asymptotischen Eigenschaften der Exponentialfunktion ist die Bedingung

$\lim_{y \to +\infty} \cosh y = \frac{1}{2} \left( \lim_{y \to +\infty} e^y + \lim_{y \to +\infty} e^{-y} \right) = \frac{1}{2} \lim_{y \to +\infty} e^y = + \infty$