Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§6 Die n-ten Wurzeln und die komplexe Logarithmusfunktion

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Wir setzen nun unsere Überlegungen aus §5 fort und übernehmen auch die dort eingeführten Bezeichnungen. Wir betrachten zu festem n \in \mathbb{N} die \begin{matrix} n \end{matrix}-te Potenzfunktion
(1) F(z) := z^n, \quad z = x + iy \in \mathbb{C} \setminus \{0\}.

Wir verwenden die Polarkoordinaten

(2) z = r \cdot \exp(i\varphi) mit r \in (0,+\infty) und \varphi \in \left( -\frac{\pi}{n}, -\frac{\pi}{n} + 2\pi \right]

und erhalten

(3) F(z) = r^n \cdot \exp(in\varphi) mit r \in (0,+\infty) und \varphi \in \left( -\frac{\pi}{n}, -\frac{\pi}{n} + 2\pi \right].

Offenbar ist für n > 1 diese Funktion F: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} \setminus \{0\} nicht injektiv und verbietet eine Umkehrfunktion! Darum liften wir sie auf die n-fache Überlagerungsfläche zur Funktion

(4) \mathbb{F}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{U} [n] vermöge \mathbb{F} \Bigl( r \cdot \exp(i\varphi) \Bigr) := \Bigl( r^n \cdot \exp(in\varphi),k \Bigr), falls r \in (0, +\infty) und \varphi \in \left( -\frac{\pi}{n} + k\frac{2\pi}{n}, -\frac{\pi}{n} + (k+1)\frac{2\pi}{n} \right] mit k \in \{0,1,2,\ldots, n - 1\} richtig ist.

Nun ist die funktion \mathbb{F}: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{U} [n] bijektiv und stetig. Sie besitzt eine stetige Umkehrfunktion \mathbb{G}:\mathbb{U}[n] \to \mathbb{C} \setminus \{0\}, denn für jedes \varepsilon > 0 ist die Funktion \mathbb{F}: R_\varepsilon \to \mathbb{U}[n] auf dem kompakten Kreisring

R_\varepsilon := \{z \in \mathbb{C}: \varepsilon < |z| < \varepsilon^{-1}\}

stetig umkehrbar (siehe Satz 6 in §1 von Kapitel II). Identifizieren wir nun noch \mathbb{C} \setminus \{0\} mit \mathbb{U}[1], so erhalten wir

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Die oben konstruierte Funktion \mathbb{G}:\mathbb{U}[n] \to \mathbb{U}[1] als Umkehrfunktion zu \mathbb{F}: \mathbb{U}[1] \to \mathbb{U}[n] nennen wir die \begin{matrix}n\end{matrix}-te Wurzelfunktion z \mapsto \sqrt[n]{z}.

[Bearbeiten] Definition 2

Die geliftete Exponentialfunktion Exp: \mathbb{C} \to \mathbb{U} wird gegeben durch die Setzung
\mathbb{C} \ni z = x + iy \mapsto \Bigl( \exp z, [[y]] \Bigr) \in \mathbb{U}
mit Hilfe der \mathbb{Z}-Funktion.

[Bearbeiten] Bemerkungen

1. Diese geliftete Exponentialabbildung Exp: \mathbb{C} \to \mathbb{U} ist nach Konstruktion bijektiv und stetig.

2. Für zwei komplexe Zahlen z_j = x_j+iy_j \in \mathbb{C} - j =1,2-{} berechnen wir mittels Definition 2 aus §5 das Produkt in der universellen Überlagerungsfläche

(5) Exp\left(z_1)*Exp(z_2\right)=\Bigl( \exp(x_1+iy_1), [[y_1]] \Bigr)*\Bigl( \exp(x_2+iy_2), [[y_2]] \Bigr)
=\mathbf{w} \Bigl( e^{x_1}, y_1 \Bigr)*\mathbf{w} \Bigl( e^{x_2}, y_2 \Bigr) = \mathbf{w} \Bigl( e^{x_1} \cdot e^{x_2}, y_1 + y_2 \Bigr) = \mathbf{w} \Bigl( e^{x_1+x_2}, y_1 + y_2 \Bigr)
=\Bigl( e^{x_1+x_2} \exp i(y_1+y_2-2\pi k), [[y_1 + y_2]] \Bigr)=\Bigl( e^{x_1+x_2}\exp i(y_1+y_2),[[y_1+y_2]] \Bigr)
=Exp \Bigl( (x_1+x_2) + i(y_1+y_2) \Bigr) = Exp(z_1+z_2)

Hierbei verwenden wir die Zahl k:=[[y_1+y_2]] \in \mathbb{Z}, für welche die Bedingung y_1+y_2- 2 \pi k \in (-\pi, +\pi] garantiert ist.

3. Ein beliebiges kompaktes Rechteck [x_-,x_+]\times[y_-, y_+] \subset \mathbb{C} wird durch Exp eineindeutig abgebildet auf den folgenden abgeschlossenen, beschränkten Sektor:

Exp \Bigl( [x_-,x_+]\times[y_-, y_+] \Bigr)
=\Bigl\{ Exp(x+iy) \in \mathbb{U}: x_-\le x \le x_+, y_-\le y\le y_+ \Bigr\}
=\Bigl\{ \Bigl( e^x \cdot (\cos y + i \sin y), [[y]] \Bigr): x_-\le x \le x_+, y_-\le y\le y_+ \Bigr\}
=\mathbb{P}\Bigl( \exp(x_-), \exp(x_+); y_-,y_+ \Bigr).

[Bearbeiten] Definition 3

Die Umkehrfunktion zur gelifteten Exponentialfunktion Exp : \mathbb{C} \to \mathbb{U} nennen wir die universelle Logarithmusfunktion
Log:\mathbb{U} \to \mathbb{C} vermöge Log (\mathbf{w}) = z \Longleftrightarrow \mathbf{w} = Exp(z)
Sie erfüllt die beiden Gleichungen
Exp \circ Log(\mathbf{w}) = \mathbf{w} für alle \mathbf{w} \in \mathbb{U}
und
Log \circ Exp(z) = z für alle z \in \mathbb{C}.

[Bearbeiten] Satz 1

Die geliftete Exponentialfunktion genügt der Funktionalgleichung
Exp\left(z_1+z_2\right)=Exp(z_1)* Exp(z_2) für alle z_1, z_2 \in \mathbb{C}.
Die universelle Logarithmusfunktion erfüllt die Funktionalgleichung
Log(\mathbf{w}_1*\mathbf{w}_2)=Log(\mathbf{w}_1) + Log(\mathbf{w}_2) für alle Punkte \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \in \mathbb{U}.

[Bearbeiten] Beweis

Die Funktionalgleichung der gelifteten Exponentialfunktion haben wir bereits in Formel () gezeigt. Da die universelle Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der gelifteten Exponentialfunktion it, leitet man wie im Beweis – Teil 3. – zu Satz 8 in §1 (für den natürlichen Logarithmus) die zweite Funktionalgleichung aus der ersten her.

q.e.d.

Mit Hilfe von Definition 6 in §5 zeigen wir nun die Holomorphie der Funktionen Exp und Log. Zunächst beachten wir die Identität

(9) \sigma \circ Exp(z)=\exp z für alle z \in \mathbb{C}.

Diese impliziert die Holomorphie der gelifteten Exponentialfunktion.

[Bearbeiten] Satz 2

Für die universelle Logarithmusfunktion betrachten wir in jedem Punkt \mathbf{w}_0 \in \mathbb{U} die Liftung
\tau_{\mathbf{w}_0}:K(w_0)\to \mathbb{K}(\mathbf{w}_0)
auf die maximale Kreisscheibe in der Überlagerungsfläche. Dann betrachten wir lokal die Logarithmusfunktion
(10) \log(w)=\log_{\mathbf{w}_0} (w):=Log \circ \tau_{\mathbf{w}_0}(w), \quad w \in K(w_0).
Diese ist komplex differenzierbar in K\left( w_0 \right) und es gilt für ihre Ableitung
(11) \frac{d}{dw}\log(w)=\frac{1}{w}, \quad w \in K(w_0)
Also ist Log:\mathbb{U}\to\mathbb{C} eine holomorphe Funktion auf der universellen Überlagerungsfläche.

[Bearbeiten] Beweis

Da nun lokal die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der holomorphen Exponentialfunktion erscheint, können wir den Beweis – Teil 1. – von Satz 8 aus §1 anwenden. Dabei benötigen wir Satz 14 aus §3 in Kapitel II über die holomorphe Umkehrfunktion.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Logarithmusreihe)

Für alle Punkte \mathbf{w} \in \mathbb{K}(\mathbf{w}_0) gilt die Darstellung
(12) Log(\mathbf{w})= Log(\mathbf{w}_0) + \sum^\infty_{l = 0} (-1)^l \cdot w_0^{-l-1} \cdot \frac{1}{l+1} \cdot (w- w_0)^{l+1}
durch die konvergente Potenzreihe mit w_0 = \sigma(\mathbf{w}_0) und w=\sigma(\mathbf{w}).

[Bearbeiten] Beweis

Da w_0 \neq 0 und | w − w0 | < | w0 | richtig ist, entwickeln wir die nachfolgende Funktion in eine geometrische Reihe um den Punkt w0:

(13) \frac{1}{w} = \frac{1}{w_0+(w-w_0)} = \frac{\frac{1}{w}}{1-\left( -\frac{w-w_0}{w_0} \right)}
= \frac{1}{w_0} \cdot \sum^\infty_{l = 0} (-1)^l \cdot \left( \frac{w-w_0}{w_0} \right)^l = \sum^\infty_{l = 0} (-1)^l \cdot w_0^{-l-1} \cdot (w- w_0)^l.

Dann berechnen wir mittels Satz 9 aus §5 in Kapitel II die komplexen Stammfunktionen durch gliedweise Integration der Potenzreihe

(14) \int \frac{1}{w} \, dw = \sum^\infty_{l = 0} (-1)^l \cdot w_0^{-l-1} \cdot \frac{1}{l+1} \cdot (w- w_0)^{l+1}+c

mit der Integrationskonstante c \in \mathbb{C}. Schließlich liefert die komplexe Integration der Identität (11) die gewünschte Darstellung

(15) Log(\mathbf{w})-Log(\mathbf{w}_0) = \sum^\infty_{l = 0} (-1)^l \cdot w_0^{-l-1} \cdot \frac{1}{l+1} \cdot (w- w_0)^{l+1}+c.

Hierbei verwenden wir den Satz 6 aus §5 in Kapitel II.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4

Für die universelle Logarithmusfunktion gilt die Darstellung
(16) Log(\mathbf{w})= \ln |\sigma(\mathbf{w})|+ i Arg \,\mathbf{w}, \quad \mathbf{w} \in \mathbb{U}.

[Bearbeiten] Beweis

Wir verwenden die universellen Polarkoordinaten R= R(\mathbf{w}), \Phi = \Phi(\mathbf{w}) des Punktes \mathbf{w} = \mathbf{w}(R,\Phi) \in \mathbb{U}. Dann beachten wir

R(\mathbf{w})= |\sigma(\mathbf{w})| und \Phi(\mathbf{w}) = Arg \,\mathbf{w}

und berechnen

(17) Exp \Bigl( \ln |\sigma(\mathbf{w} )| + i Arg \,\mathbf{w} \Bigr) = Exp \Bigl( \ln R(\mathbf{w})+ i \Phi(\mathbf{w}) \Bigr)
= \Bigl(\exp \bigl( \ln R(\mathbf{w})+ i \Phi(\mathbf{w}) \bigr), [[\Phi(\mathbf{w})]] \Bigr)= \Bigl(R(\mathbf{w}) \cdot \exp \bigl(i \Phi(\mathbf{w}) \bigr), [[\Phi(\mathbf{w})]] \Bigr)
=\Bigl(R(\mathbf{w}) \cdot \exp \bigl(i \Phi(\mathbf{w}) - 2\pi k \bigr), [[\Phi(\mathbf{w})]] \Bigr) = \mathbf{w}(R, \Phi).

Hierbei haben wir k:=[[\Phi(\mathbf{w})]] \in \mathbb{Z} gewählt, so dass \Phi(\mathbf{w}) - 2\pi k \in (-\pi,+\pi] erfüllt ist. Die obige Identität (17) liefert die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Bemerkungen

Projektion der universellen Logarithmusfunktion in die punktierte komplexe Ebene:

Man wählt für w_0 \in \mathbb{C}\setminus\{0\} ein k_0 \in \mathbb{Z} und setzt mit \mathbf{w}_0 = (w_0,k_0) \in \mathbb{U} den Startwert für den Logarithmus wie folgt fest:

(18) \log w_0 := Log \, \mathbf{w}_0

Dann verwendet man einen stetigen Weg \gamma = \gamma(t):[0, 1] \to \mathbb{U} in der Überlagerungsfläche mit dem Anfangswert \gamma(0)=\mathbf{w}_0 und dem Endpunkt \gamma(1) = \mathbf{w} = (w,k) \in \mathbb{U}. Wir setzen dann die Logarithmusfunktion in der punktierten komplexen Ebene längs des projizierten Weges

(19) \zeta(t) := \sigma \circ \gamma(t):[0,1] \to \mathbb{C} \setminus \{0\}

fort, indem wir

(20) \log w := Log \, \mathbf{w}

erklären. Auf diese Weise werden einer komplexen Zahl \mathbf{w} verschiedene Werte des Logarithmus zugeordnet – wir erhalten also eine mehrdeutige Funktion auf \mathbb{C}\setminus\{0\}.

[Bearbeiten] Satz 5

Für die längs des Weges \gamma\left(t\right) in der universellen Überlagerungsfläche wie oben fortgesetzte mehrdeutige Logarithmusfunktion \log\left(w\right) gilt die Identität:
\log(w)-\log(w_0)=\int^1_0 \frac{1}{\zeta(t)} \zeta'(t)\, dt mit w \in \mathbb{C}\setminus \{0\}.

Nun identifizieren wir das Innere des 0-ten Blattes \mathbb{U}_0 \setminus \mathbb{S}_0 mit der geschlitzten komplexen Ebene

\mathbb{C}' := \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0].

Dort können wir eindeutig die Logarithmusfunktion erklären:

[Bearbeiten] Definition 4

Wir definieren die komplexe Logarithmusfunktion
\log:\mathbb{C}' \to \mathbb{C} vermöge \log w := Log(w,0), \quad w \in \mathbb{C}'.

[Bearbeiten] Satz 6

Für alle komplexen Zahlen w=u+iv\in\mathbb{C} mit u > 0 in der rechten Halbebene gilt die folgende Identität:
(24) \log w = \log|w|+i\cdot \arg w = \frac{1}{2} \ln(u^2 + v^2) + i \cdot \arctan \left( \frac{v}{u} \right).

[Bearbeiten] Beweis

Wir spezialisieren den obigen Satz 4 auf das Blatt \mathbb{U}_0. Wegen

\left|w\right|^2 = u^2 + v^2 ist \ln w = \frac{1}{2} \ln(u^2 + v^2) richtig

und es bleibt \arg(u+iv)=\arctan \left( \frac{v}{u} \right) zu zeigen. Mit Hilfe von u > 0 folgt

\varphi:= \arg w \in \left( -\frac{\pi}{2}, +\frac{\pi}{2} \right)

und Satz 1 aus §5 liefert die Identität

(25) u+iv = w = |w| \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) = |w| \cdot \cos \varphi + i \cdot |w| \cdot \sin \varphi

bzw.

(26) u = |w| \cdot \cos \varphi und v = |w| \cdot \sin \varphi.

Wir erhalten

(27) \frac{v}{u} = \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \tan \varphi

und somit

\arctan \left( \frac{v}{u} \right) = \varphi = \arg w.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 7

Für alle komplexen Zahlen w_0=u_0+iv_0\in \mathbb{C} mit v0 > 0 in der oberen Halbebene erhalten wir die reellen Stammfunktionen
(28) \int \frac{1}{u-w_0} \, du = \frac{1}{2} \ln\Bigl( (u-u_0)^2+v_0^2 \Bigr)+ i \cdot \arctan \frac{u-u_0}{v_0} + c, \quad u \in \mathbb{R}
mit der komplexen Integrationskonstante c \in \mathbb{C}.

[Bearbeiten] Beweis

Da i\left(u-w_0\right) für u \in \mathbb{R} in der rechten Halbebene liegt, berechnen wir

(29) \int \frac{1}{u-w_0} \, du = \int \frac{i}{i(u-w_0)} \, du = \log \bigl(i(u-w_0)\bigr) + c
= \log \bigl(v_0+i(u-u_0)\bigr) + c
= \frac{1}{2} \ln\Bigl( (u-u_0)^2+v_0^2 \Bigr)+ i \cdot \arctan \frac{u-u_0}{v_0} + c, \quad u \in \mathbb{R}

mit einer Integrationskonstante c \in \mathbb{C}.

q.e.d.

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