Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen/§1 Komplexe Exponentialfunktion und natürliche Logarithmusfunktion

Definition 1

Für $z\in \mathbb {C}$ definieren wir

(1) $\exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}$

und nennen $\exp z:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ die komplexe Exponentialfunktion.

Satz 1

Die Exponentialfunktion ist in $\mathbb {C}$ holomorph und es gilt die Identität

${\frac {d}{dz}}\exp z=\exp z,\quad z\in \mathbb {C}$.

Beweis

In Bsp. 2 aus §6 von Kapitel I haben wir die Konvergenz der Reihe (1) nachgewiesen. Nach Satz 15 aus Kapitel II, §3 ist die Funktion $f(x)=\exp z,z\in \mathbb {C}$ holomorph und die gliedweise Differentiation liefert

${\frac {d}{dz}}\exp z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {kz^{k-1}}{k!}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k-1}}{(k-1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp z,\quad z\in \mathbb {C}$.

q.e.d.

Satz 2 (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)

Es gilt für alle $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ die Funktionalgleichung

(2) $\exp(z_{1}+z_{2})=(\exp z_{1})\cdot (\exp z_{2})$.

Beweis

Da die Exponentialreihe in $\mathbb {C}$ nach Satz 14 aus §6 in Kapitel I absolut konvergiert, können wir mit dem Multiplikationssatz für Reihen (vgl. Satz 3 aus §7 in Kapitel I) für alle $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ wie folgt multiplizieren:

(3) $\exp z_{1}\cdot \exp z_{2}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z_{1}^{k}}{k!}}\right)\cdot \left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {z_{2}^{l}}{l!}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{k}{\frac {z_{1}^{l}\cdot z_{2}^{k-l}}{l!\cdot (k-l)!}}\right)$

$=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left(\sum _{l=0}^{k}{\begin{pmatrix}k\\l\end{pmatrix}}z_{1}^{l}\cdot z_{2}^{k-l}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z_{1}+z_{2})^{k}}{k!}}=\exp(z_{1}+z_{2})$.

Hierbei haben wir den Binomialsatz aus §1 in Kapitel I verwendet.

q.e.d.

Satz 3

In jeder kompakten Kreisscheibe ${\overline {K_{R}}}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq R\}$ mit dem festen Radius $R\in (0,\infty )$ konvergiert die Funktionenfolge

$f_{n}(z):=\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n},z\in \mathbb {C} ,n=1,2,\ldots$

gleichmäßig gegen die Funktion $f(z)=\exp z,z\in \mathbb {C}$.

Beweis

Nach dem Binomialsatz gilt für festes $n\in \mathbb {N}$ und $z\in \mathbb {C}$ die Identität

$f_{n}(z):=\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot \left({\frac {z}{n}}\right)^{k}=1+\sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(z,n)$ mit $\varphi _{k}(z,n):={\begin{cases}\displaystyle {n \choose k}\cdot {\frac {1}{n^{k}}}\cdot z^{k}&{\text{falls }}n\geq k\in \mathbb {N} \\0&{\text{falls }}n<k\in \mathbb {N} \end{cases}}$ mit $\varphi _{0}(z,n)=1$.

Für $k=1,2,\ldots ,n$ erhalten wir

$\varphi _{k}(z,n)={n \choose k}\cdot \left({\frac {z}{n}}\right)^{k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!\cdot n^{k}}}\cdot z^{k}$

$=1\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\cdot {\frac {z^{k}}{k!}}$.

und damit

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{k}(z,n)={\frac {z^{k}}{k!}}$.

Weiter gilt

$|\varphi _{k}(z,n)|\leq {\frac {R^{k}}{k!}}$ für alle $z\in {\overline {K_{R}}}$ und alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Die Zahlenreihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {R^{k}}{k!}}=\exp R<+\infty$

stellt also eine konvergente Majorante für die Funktionenreihe $\sum _{k=0}^{\infty }\varphi _{k}(z,n)$ dar. Nach dem Weierstraßschen Majorantentest aus Kapitel II, §2 konvergiert die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }\varphi _{k}(z,n)$

gleichmäßig in ${\overline {K_{R}}}$ gegen die Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp z$.

Somit folgt die gleichmäßige Konvergenz

(4) $\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=\exp z,z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\leq R$.

Definition 2

Wir definieren die Eulersche Zahl $e$ durch die Gleichung

(5) $e:=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$.

Satz 4

Die Gesamtheit der komplexen Stammfunktionen für die Exponentialfunktion wird gegeben durch

$\int \exp z\,dz=\exp z+c$, mit einer Konstante $c\in \mathbb {C}$.

Satz 5

Die Funktion $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, vermöge $\mathbb {R} \ni x\mapsto \exp z$ als Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse definiert, nennen wir die reelle Exponentialfunktion. Diese stellt eine positive, streng monoton wachsende, konvexe Funktion mit dem folgenden asymptotischen Verhalten dar:

(6) $\exp 0=1,\lim _{x\to +\infty }\exp x=+\infty$ und $\lim _{x\to -\infty }\exp x=0$.

Beweis

1. Da die Exponentialreihe reelle Koeffizienten besitzt, folgt $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ für die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die reelle Achse. Genauer gilt die Abschätzung

(7) $\exp x=1+x+{\frac {1}{2}}x^{2}+\ldots \geq 1+x\geq 1>0$ für alle $x\in [0,+\infty )$.

Wir beachten $\exp 0=1$ und ermitteln

$\exp x={\frac {1}{\exp(-x)}}>0$ für alle $x\in (-\infty ,0]$.

2. Mit Hilfe von Satz 1 differenzieren wir auch unsere reelle Funktion

${\frac {d}{dx}}\exp x=\exp x$ für alle $x\in \mathbb {R}$.

Also ist die reelle Exponentialfunktion nach dem Mittelwertsatz streng monoton wachsend. Weiter liefert die Ungleichung

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\exp x=\exp x,\quad x\in \mathbb {R}$

die Konvexität der Funktion.

3. Mit Hilfe von (7) ersehen wir

$\lim _{x\to +\infty }\exp x\geq \lim _{x\to +\infty }(1+x)=+\infty$

Schließlich berechnen wir

$\lim _{x\to -\infty }\exp x=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{\exp(-x)}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1}{\exp(y)}}=0$

Satz 6

Für alle rationalen Exponenten $x:={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$ gilt

(8) $\exp \left({\frac {p}{q}}\right)=\exp x=e^{x}=\left({\sqrt[{q}]{e}}\right)^{p}$.

Beweis

Für ein festes $n\in \mathbb {N}$ berechnen wir mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

$e=\exp 1=\exp \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}\right)=\prod _{k=1}^{n}\exp \left({\frac {1}{n}}\right)$ und folglich $(*)\quad \exp \left({\frac {1}{n}}\right)={\sqrt[{n}]{e}}$.

Für $p=0$ und somit $x=0$ erhalten wir $\exp 0=e^{0}=\left({\sqrt[{q}]{e}}\right)^{0}=1$. Für $p>0$ berechnet man

$\exp x=\exp \left({\frac {p}{q}}\right)=\exp \left(\sum _{k=1}^{p}{\frac {1}{q}}\right)=\prod _{k=1}^{p}\exp \left({\frac {1}{q}}\right){\stackrel {(*)}{=}}\left({\sqrt[{q}]{e}}\right)^{p}=e^{\frac {p}{q}}=e^{x}$.

Im Fall $p<0$ erhalten wir aus dem vorhergehenden:

$\exp x=\exp \left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {-p}{q}}\right)}}={\frac {1}{e^{\left({\frac {-p}{q}}\right)}}}=e^{\left({\frac {p}{q}}\right)}=e^{x}$.

Hilfssatz 1

Für beliebige $n\in \mathbb {N}$ gilt

$\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{n}}{\exp t}}=0$.

Beweis

Für beliebige $n\in \mathbb {N}$ gilt

$\exp t=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{k!}}\geq {\frac {t^{n+1}}{(n+1)!}}$ bzw. $0<{\frac {t^{n}}{\exp t}}\leq {\frac {(n+1)!}{t}}$ für alle $t>0$.

Hieraus folgt wegen

$\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{n}}{\exp t}}\leq \lim _{t\to +\infty }{\frac {(n+1)!}{t}}=0$

sofort die Behauptung.

Hilfssatz 2

Für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ gibt es ein Polynom $G_{k}$ vom Grad $\deg G_{k}\leq 2k$, so dass folgende Darstellung gilt:

$\Phi ^{(k)}(x)=G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)$ für alle $x>0$.

Beweis durch vollständige Induktion über $k$

Für den Induktionsanfang $k=0$ haben wir

$\Phi ^{(0)}(x)=\Phi (x)=\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right),\quad x>0$

mit dem Polynom $G_{0}\left({\frac {1}{x}}\right)\equiv 1$ vom Grad $\deg G_{0}=0$. Die obige Darstellung sei nun für ein $k\in \mathbb {N} _{0}$ bereits gültig. Dann berechnen wir mit der Kettenregel

(11) $\Phi ^{(k+1)}(x)={\frac {d}{dx}}\Phi ^{(k)}(x)={\frac {d}{dx}}\left[G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\right]$

$=\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\cdot {\frac {d}{dx}}G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)+G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\cdot {\frac {1}{x^{2}}}$

$=\exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)\left[\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\cdot G_{k}\left({\frac {1}{x}}\right)-\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\cdot G_{k}'\left({\frac {1}{x}}\right)\right]$

$=G_{k+1}\left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \exp \left(-{\frac {1}{x}}\right)$.

Für den Grad des entstehenden Polynoms $G_{k+1}$ ermitteln wir

$\deg G_{k+1}\leq 2+\deg G_{k}\leq 2+2k=2(k+1)$

und damit haben wir die Behauptung vollständig gezeigt.

q.e.d.

Satz 7 (Glättungsfunktion)

Es sei $-\infty <a<b<+\infty$. Dann existiert eine Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )$ und $f\left(x\right)=0$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus (a,b)$ und $f\left(x\right)>0$ für alle $x\in (a,b)$.

Beweis

Wir wählen die Funktion

$f(x):=\Phi (x-a)\cdot \Phi (b-x)$ für $x\in \mathbb {R}$,

welche das Gewünschte leistet.

Definition 3

Die natürliche Logarithmusfunktion $\ln :I\to \mathbb {R}$ definieren wir auf dem Intervall $I:=(0,+\infty )$

(12) $x=\ln u\Leftrightarrow u=\exp x$ mit $u\in I$ und $x\in \mathbb {R}$

als Umkehrfunktion von $\exp :\mathbb {R} \to I$.

Satz 8 (Natürliche Logarithmusfunktion)

Die Funktion $\ln :I\to \mathbb {R}$ ist stetig differenzierbar in $I$ mit der Ableitung

(13) ${\frac {d}{du}}\ln u=\ln 'u={\frac {1}{u}},\quad u\in I$.

Sie ist in $I$ streng monoton steigend und besitzt die asymptotischen Eigenschaften

(14) $\lim _{u\to -\infty }\ln u=-\infty ,\quad \ln 1=0,\quad \lim _{u\to +\infty }\ln u=+\infty$.

Schließlich genügt sie der Funktionalgleichung

(15) $\ln u_{1}+\ln u_{2}=\ln(u_{1}\cdot u_{2})$ für alle $u_{1},u_{2}\in I$.

Beweis

1. Nach entsprechenden Sätzen aus §1 und §3 in Kapitel II ist die Funktion $\ln :I\to \mathbb {R}$ stetig bzw. differenzierbar und ihre Ableitung ermitteln wir wie folgt:

(16) $\ln 'u={\frac {1}{\exp 'x}}\vert _{x=\ln u}={\frac {1}{\exp \circ \ln u}}={\frac {1}{u}},\quad u\in I$.

Also ist die Ableitungsfunktion stetig auf $I$ und positiv, woraus sich die strikte Monotonie von $\ln :I\to \mathbb {R}$ ergibt.

2. Wegen $\exp 0=1$ folgt zunächst $\ln 1=0$. Sei nun $x_{n}:=\exp(u_{n}),\ n=1,2,\ldots$ eine Folge in $I$ mit der Eigenschaft $x_{n}\to 0\ (n\to \infty )$. Dann erhalten wir $u_{n}=\ln(x_{n})\to -\infty \ (n\to \infty )$. Damit haben wir die erste asymptotische Eigenschaft in (14) bewiesen – und die zweite folgt genauso.

3. Die Funktionalgleichung (15) für die Logarithmusfunktion überführen wir äquivalent in die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion:

(17) $\ln u_{1}+\ln u_{2}=\ln(u_{1}\cdot u_{2})\Leftrightarrow$

$x_{1}+x_{2}=\ln {\Bigl (}\exp(x_{1})\cdot \exp(x_{2}){\Bigr )}\Leftrightarrow$

$\exp(x_{1}+x_{2})=\exp(x_{1})\cdot \exp(x_{2})$

für alle $u_{1}=\exp(x_{1}),u_{2}=\exp(x_{2})\in I$ mit $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$.

q.e.d.

Satz 9

Für festes $u_{0}\in \mathbb {R}$ bestimmen wir in $\mathbb {R} \setminus \{u_{0}\}$ die Gesamtheit der Stammfunktionen

(18) $\int {\frac {1}{u-u_{0}}}\,du=\ln |u-u_{0}|+c,\quad u\in \mathbb {R} \setminus \{u_{0}\}$

mit der reellen Integrationskonstante $c\in \mathbb {R}$

Beweis

Falls $u>u_{0}$ richtig ist, berechnen wir

(19) ${\frac {d}{du}}\ln |u-u_{0}|={\frac {d}{du}}\ln(u-u_{0})={\frac {1}{u-u_{0}}}$ für $u\in \mathbb {R} ,u>u_{0}$

Falls $u<u_{0}$ richtig ist, ermitteln wir

(20) ${\frac {d}{du}}\ln |u-u_{0}|={\frac {d}{du}}\ln -(u-u_{0})={\frac {-1}{-(u-u_{0})}}={\frac {1}{u-u_{0}}}$ für $u\in \mathbb {R} ,u<u_{0}$

Bemerkung

Die reellen Stammfunktionen bestimmt man mittels partieller Integration wie folgt:

(21) $\int \ln u\,du=\int (1\cdot \ln u)\,du=u\cdot \ln u-\int \left(u\cdot {\frac {1}{u}}\right)\,du$

$=u\cdot \ln u-\int 1\,du=u\cdot \ln u-u+c,\quad u\in I$

mit der Integrationskonstante $c\in \mathbb {R}$.