Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§3 Die äußere Ableitung von Differentialformen

Aus Wikiversity

Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Für eine 0-Form f(x) der Klasse C^1(\mathcal{O}) erklären wir ihre äußere Ableitung als das Differential
df(x) = \sum^n_{i = 1} f_{x_i}(x)\, dx_i, \quad x \in \mathcal{O}.
Ist
\omega = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m}(x)\, dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}
eine m-Form der Klasse C^1(\mathcal{O}), so erklären wir ihre äußere Ableitung als die (m + 1)-Form
d\omega := \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} \Bigl( da_{i_1 \ldots i_m}(x) \Bigr) \wedge dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}.

[Bearbeiten] Definition 2

Wir nennen
\operatorname{rot}\, a(x) = \left( \frac{\partial a_3}{\partial x_2} - \frac{\partial a_2}{\partial x_3}, \frac{\partial a_1}{\partial x_3} - \frac{\partial a_3}{\partial x_1}, \frac{\partial a_2}{\partial x_1} - \frac{\partial a_1}{\partial x_2} \right)
die Rotation des Vektorfeldes a(x) = \Bigl( a_1(x), a_2(x), a_3(x) \Bigr) \in C^1(\mathcal{O}, \mathbb{R}^3).

[Bearbeiten] Definition 3

Für ein Vektorfeld a(x) = \Bigl( a_1(x), \ldots, a_n(x) \Bigr) \in C^1(\mathcal{O}, \mathbb{R}^n) auf der offenen Menge \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^n erklären wir dessen Divergenz (Quelldichte) als
\operatorname{div}\, a(x) := \sum^n_{i = 1} \frac{\partial a_i}{\partial x_i} (x), \quad x \in \mathcal{O}.

[Bearbeiten] Definition 4 (Transformierte Differentialform)

Sei
\omega = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m}(x) dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_m}
eine stetige m-Form in einer offenen Menge \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^n. Sei weiter T \subset \mathbb{R}^l, l \in \mathbb{N} eine offene Menge und die Abbildung
x = (x_1, \ldots, x_n) = \Phi(y) = (\varphi_1(y_1, \ldots, y_l), \ldots, \varphi_n(y_1, \ldots, y_l)): T \to \mathcal{O}
der Klasse C^1(T, \mathbb{R}^n) gegeben. Mit
d \varphi_i = \sum^l_{j = 1} \frac{\partial \varphi_i}{\partial y_j}(y) dy_j, \quad i = 1, \ldots, n
und
\omega_\Phi = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} \Bigl( \Phi(y) \Bigr) d \varphi_{i_1} \wedge \ldots \wedge d \varphi_{i_m}
erhalten wir die unter der Abbildung Φ transformierte m-Form ωΦ.

[Bearbeiten] Satz 1 (Zurückziehen der Differentialform)

Sei ω eine stetige m-Form in der offenen Menge \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^n. Weiter sei auf der offenen Menge T \subset \mathbb{R}^m eine Fläche X durch die Parameterdarstellung
x = \Phi(y): T \to \mathcal{O} \in C^1(T)
mit \Phi(T) \subset \subset \mathcal{O} gegeben. Schließlich erklären wir die Fläche
Y(t) = (t_1, \ldots, t_m), \quad t \in T
und beachten
X(t) = \Phi \circ Y(t), \quad t \in T.
Dann gilt die folgende Identität:
\int\limits_X \omega = \int\limits_Y \omega_\Phi.

[Bearbeiten] Beweis

Wir berechnen

d \varphi_{i_1} \wedge \ldots \wedge d \varphi_{i_m} = \left( \sum^m_{j_1 = 1} \frac{\partial \varphi_{i_1}}{\partial y_{j_1}} dy_{j_1} \right) \wedge \ldots \wedge \left( \sum^m_{j_m = 1} \frac{\partial \varphi_{i_m}}{\partial y_{j_m}} dy_{j_m} \right)
= \frac{\partial (\varphi_{i_1}, \ldots, \varphi_{i_m})}{\partial (y_1, \ldots, y_m)} dy_1 \wedge \ldots \wedge dy_m

sowie

\omega_\Phi = \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} (\Phi(y)) \frac{\partial (\varphi_{i_1}, \ldots, \varphi_{i_m})}{\partial (y_1, \ldots, y_m)} dy_1 \wedge \ldots \wedge dy_m

Es folgt somit

\int\limits_Y \omega_\Phi = \int\limits_T \sum_{1 \le i_1 < \ldots < i_m \le n} a_{i_1 \ldots i_m} (X(t)) \frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_m})}{\partial (t_1, \ldots, t_m)} dt_1 \ldots dt_m = \int\limits_X \omega

und der Satz ist bewiesen.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Kettenregel für Differentialformen)

Sei ω eine stetige m-Form in einer offenen Menge \mathcal{O} \subset \mathbb{R}^n. Auf den offenen Mengen T' \subset \mathbb{R}^{l'} und T'' \subset \mathbb{R}^{l''} mit l', l'' \in \mathbb{N} seien die C1-Funktionen Φ,Ψ gemäß
\Psi: T'' \to T', \quad \Phi: T' \to \mathcal{O} mit z \stackrel{\Psi}{\mapsto} y \stackrel{\Phi}{\mapsto} x
gegeben. Dann gilt
(\omega_\Phi)_\Psi = \omega_{\Phi \circ \Psi}.

[Bearbeiten] Beweis

Wir berechnen

\omega_{\Phi \circ \Psi} = \sum_{i_1, \ldots, i_m} a_{i_1 \ldots i_m} \Bigl( \Phi \circ \Psi(z) \Bigr) d(\varphi_{i_1} \circ \Psi) \wedge \ldots \wedge d(\varphi_{i_m} \circ \Psi)
= \sum_{i_1, \ldots, i_m; j_1, \ldots, j_m; k_1, \ldots, k_m} a_{i_1 \ldots i_m} \Bigl( \Phi \circ \Psi(z) \Bigr) \left( \frac{\partial \varphi_{i_1}}{\partial y_{j_1}} \frac{\partial \psi_{j_1}}{\partial z_{k_1}} dz_{k_1} \right) \wedge \ldots\ldots \wedge \left( \frac{\partial \varphi_{i_m}}{\partial y_{j_m}} \frac{\partial \psi_{j_m}}{\partial z_{k_m}} dz_{k_m} \right)
= \sum_{i_1, \ldots, i_m \atop j_1, \ldots, j_m} a_{i_1 \ldots i_m} \Bigl( \Phi \circ \Psi(z) \Bigr) \left( \frac{\partial \varphi_{i_1}}{\partial y_{j_1}} d\psi_{j_1} \right) \wedge \ldots \wedge \left( \frac{\partial \varphi_{i_m}}{\partial y_{j_m}} d\psi_{j_m} \right)
= \left( \sum_{i_1, \ldots, i_m} a_{i_1 \ldots i_m} \Bigl( \Phi(y) \Bigr) d\varphi_{i_1} \wedge \ldots \wedge d\varphi_{i_m} \right)_{y = \Psi(z)},

also

\omega_{\Phi \circ \Psi} = (\omega_\Phi)_\Psi,

wobei über i_1, \ldots, i_m \in \{1, \ldots, n\}, j_1, \ldots, j_m \in \{1, \ldots, l'\} und k_1, \ldots, k_m \in \{1, \ldots, l''\} summiert wird.

q.e.d.

Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_III/Kapitel_I:_Differentiation_und_Integration_auf_Mannigfaltigkeiten/%C2%A73_Die_%C3%A4u%C3%9Fere_Ableitung_von_Differentialformen“
Persönliche Werkzeuge