Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§5 Der Gaußsche und der Stokessche Integralsatz

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Voraussetzung (A):

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n eine beschränkte, offene Menge mit dem topologischen Rand \dot{\Omega} = \overline{\Omega} \setminus \Omega. Zu jedem x \in \dot{\Omega} gebe es eine Punktfolge

\left\{ x^{(p)} \right\} \subset \mathbb{R}^n \setminus \overline{\Omega}, \quad p = 1, 2, \ldots,

für die x^{(p)} \to x für p \to \infty richtig ist, d. h. jeder Randpunkt ist 'von außen erreichbar'.

[Bearbeiten] Voraussetzung (B):

Seien als Parameterbereiche die N \in \mathbb{N} beschränkten Gebiete T_i \subset \mathbb{R}^{n - 1}, i = 1, 2, \ldots, N gewählt. Es gebe N reguläre Hyperflächen im \mathbb{R}^n

\mathcal{F}_i: X^{(i)}(t) = \left( x_1^{(i)}(t_1, \ldots, t_{n - 1}), \ldots x_n^{(i)}(t_1, \ldots, t_{n - 1}) \right): \overline{T}_i \to \mathbb{R}^n,

wobei X^{(i)} \in C^1(T_i) \cap C^0(\overline{T}_i) injektiv sei und für alle t \in T_i und alle i = 1, 2, \ldots, N der Rang der Funktionalmatrix \operatorname{rg}\, \partial X^{(i)}(t) = n - 1 erfülle. Weiter gelte für die Flächeninhalte

A(\mathcal{F}_i) := \int\limits_{T_i} d^{n - 1} \sigma^{(i)}(t) < + \infty, \quad i = 1, \ldots, N.

Für i = 1, \ldots, N setzen wir

F_i := X^{(i)}(T_i), \quad \overline{F}_i := X^{(i)}(\overline{T}_i), \quad \dot{F}_i := X^{(i)}(\dot{T}_i).

Der Rand von Ω sei Vereinigung dieser endlich vielen Hyperflächenstücke Fi, d. h.

\dot{\Omega} = \overline{F}_1 \cup \ldots \cup \overline{F}_N.

Weiter gelte

\overline{F}_i \cap \overline{F}_j = \dot{F}_i \cap \dot{F}_j für alle i, j \in \{1, \ldots, N\} mit i \neq j;

zwei verschiedene Flächen haben also höchstens Randpunkte gemeinsam.

[Bearbeiten] Definition 1

Die Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n genüge den Voraussetzungen (A) und (B). Wir setzen dann
\partial \Omega := \bigcup^N_{j = 1} F_j
als regulären Rand von Ω. Weiter sei g(x): \partial \Omega \to \mathbb{R} eine stetige, beschränkte Funktion auf \partial \Omega. Wir erklären durch
\int\limits_{\partial \Omega} g(x)\, d^{n - 1} \sigma := \sum^N_{j = 1} \int\limits_{F_j} g(x)\, d^{n - 1} \sigma_j
das Oberflächenintegral von g über den regulären Rand \partial \Omega.

[Bearbeiten] Voraussetzung (C):

Die Funktion f(x) = (f_1(x), \ldots, f_n(x)), x \in \overline{\Omega} gehöre zur Regularitätsklasse C^1(\Omega, \mathbb{R}^n) \cap C^0(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^n) und es gelte

\int\limits_\Omega |\operatorname{div}\, f(x)|\, dx < + \infty.

[Bearbeiten] Voraussetzung (D):

Die Menge \dot{F}_1 \cup \ldots \cup \dot{F}_N habe den (n − 1)-dimensionalen Hausdorffschen Inhalt Null bzw. sie sei eine (n − 1)-dimensionale Hausdorffsche Nullmenge. Genauer gibt es zu jedem \varepsilon > 0 endlich viele Hyperkugeln

K_j := \Bigl\{ x \in \mathbb{R}^n: |x - x^{(j)}| \le \varrho_j \Bigr\}, \quad j = 1, \ldots, J

mit x^{(j)} \in \mathbb{R}^n und \varrho_j > 0, so dass folgendes gilt:

  1. \dot{F}_1 \cup \ldots \cup \dot{F}_N \subset \bigcup_{j = 1}^J K_j (Überdeckungseigenschaft)
  2. \sum^J_{j = 1} \varrho_j^{n - 1} \le \varepsilon (Kleinheit der Gesamtoberfläche).

[Bearbeiten] Satz 1 (Gaußscher Integralsatz)

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n eine beschränkte, offene Menge, die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter erfülle die Vektorfunktion f(x) die Voraussetzung (C). Dann gilt die Identität
\int\limits_\Omega \operatorname{div}\, f(x)\, dx = \int\limits_{\partial \Omega} f(x) \cdot \xi(x)\, d\sigma.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir fassen \mathcal{M} = \Omega \subset \mathbb{R}^n als n-dimensionale Mannigfaltigkeit im \mathbb{R}^n auf mit dem Atlas \mathcal{A}: X(t) = t, t \in \Omega. Nun gibt es für jeden Punkt

x^0 \in \bigcup^N_{l = 1} F_l \subset \dot{\Omega}

einen Quader Q(x^0, \varrho, \sigma), so dass gilt

\Omega \cap Q = \Bigl\{ x \in \mathbb{R}^n: |x_i - x_i^0| < \varrho\ (i \neq k), x_k \lessgtr \Phi(x_1, \ldots, x_{k - 1}, x_{k + 1}, \ldots, x_n), |x_k - x_k^0| < \sigma \Bigr\}.

Auf dem Halbwürfel

H := \Bigl\{ t \in \mathbb{R}^n: t_1 \in (- \varrho, 0), |t_i| < \varrho, i = 2, \ldots, n \Bigr\}

mit der oberen begrenzenden Seite in e1-Richtung

S := \Bigl\{ t \in \mathbb{R}^n: t_1 = 0, |t_i| < \varrho, i = 2, \ldots, n \Bigr\}

betrachten wir die Transformation

Y(t) = \Bigl( x_1^0 + \varepsilon_2 t_2, \ldots, x_{k - 1}^0 + \varepsilon_k t_k, \Phi(x_1^0 + \varepsilon_2 t_2, \ldots, x_{k + 1}^0 + \varepsilon_k t_k,
x^0_{k + 1} + \varepsilon_{k + 1} t_{k + 1}, \ldots, x^0_n + \varepsilon_n t_n) + \varepsilon_1 t_1, x^0_{k + 1} + \varepsilon_{k + 1} t_{k + 1}, \ldots, x^0_n + \varepsilon_n t_n \Bigr)

mit \varepsilon_k \in \{\pm 1\}, k = 1, \ldots, n. Wählen wir die Vorzeichen \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n geeignet, so erreichen wir

Y(H) \subset \Omega \cap Q, \quad Y(S) = \dot{\Omega} \cap Q und JY(0) = + 1

für die Funktionaldeterminante von Y. Somit ist Y verträglich mit der obigen Karte X und wir statten \partial \mathcal{M} = \partial \Omega mit dem induzierten Atlas aus. Wegen JY(0) > 0 zeigt die durch \partial \Omega orientierte Normale ν(t) an ein Flächenstück in Richtung der äußeren Normalen ξ an \partial \Omega.

Wir betrachten nun die (n − 1)-Form

\omega = \sum^n_{i = 1} (- 1)^{i + 1} f_i(x) dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_{i - 1} \wedge dx_{i + 1} \wedge \ldots \wedge dx_n \in C^1(\mathcal{M}) \cap C^0(\overline{\mathcal{M}}).

Wegen obiger Überlegungen sehen wir

\int\limits_{\partial \Omega} \omega = \int\limits_{\partial \Omega} f(x) \cdot \xi(x)\, d\sigma

ein.

2. Wegen Voraussetzung (D) gibt es zu jedem \varepsilon > 0 endlich viele Kugeln

K_j := \Bigl\{ x \in \mathbb{R}^n: |x - x^{(j)}| \le \varrho_j \Bigr\}, \quad j = 1, \ldots, J

mit

\dot{F}_1 \cup \ldots \cup \dot{F}_N \subset \bigcup^J_{j = 1} K_j und \sum^J_{j = 1} \varrho_j^{n - 1} \le \varepsilon.

Wir zeigen nun, dass die Kapazität des singulären Randes Null ist. Hierzu konstruieren wir zunächst eine Funktion \Psi(r): [0, + \infty) \to [0, 1] \in C^1 mit

\Psi(r) = \left\{ \begin{matrix} 0, & 0 \le r \le 2 \\ 1, & 3 \le r \end{matrix} \right. und M := \sup_{r \ge 0} |\Psi'(r)| < + \infty.

Für j = 1, \ldots, J betrachten wir die Funktion

\chi_j(x) := \Psi \left( |x - x^{(j)}| / \varrho_j \right), \quad x \in \mathbb{R}^n

mit \chi_j \in C^1(\mathbb{R}^n) und

\chi_j(x) = \left\{ \begin{matrix} 1, |x - x^{(j)}| \ge 3\varrho_j \\ 0, 1, |x - x^{(j)}| \le 2\varrho_j \end{matrix} \right..

Ist En das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel, so berechnen wir

\int\limits_{\mathbb{R}^n} |\nabla \chi_j(x)|\, dx = \int\limits_{2\varrho_j \le |x - x^{(j)}| \le 3 \varrho_j} \left| \Psi' \left( \frac{1}{\varrho_j} |x - x^{(j)}| \right) \right| \frac{1}{\varrho_j}\, dx
\le \frac{M}{\varrho_j} E_n(3^n \varrho_j^n - 2^n \varrho_j^n)
= ME_n (3^n - 2^n) \varrho_j^{n - 1}

mit j = 1, \ldots, J. Wir erhalten eine Funktion

\chi(x) := \chi_1 \cdot \ldots \cdot \chi_J \in C^1_0 \Bigl( \overline{\Omega} \setminus (\dot{F}_1 \cup \ldots \cup \dot{F}_N) \Bigr)

mit

\int\limits_\Omega |\nabla \chi_j(x)|\, dx \le \sum^J_{j = 1} \int\limits_{\mathbb{R}^n} |\nabla \chi_j(x)|\, dx \le ME_n(3^n - 2^n) \sum^J_{j = 1} \varrho_j^{n - 1}
\le ME_n(3^n - 2^n) \varepsilon.

Somit hat \dot{F}_1 \cup \ldots \cup \dot{F}_N \subset \dot{\Omega} die Kapazität Null.

3. Der Stokessche Integralsatz für Mannigfaltigkeiten liefert schließlich

\int\limits_{\partial \Omega} f(x) \cdot \xi(x)\, d\sigma = \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \omega = \int\limits_{\mathcal{M}} d\omega = \int\limits_\Omega \operatorname{div}\, f(x)\, dx,

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Greensche Formel)

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n eine offene, beschränkte Menge im \mathbb{R}^n, die den Voraussetzungen (A), (B) und (D) genügt. Weiter seien die Funktionen f(x) und g(x) der Klasse C^1(\overline{\Omega}) \cap C^2(\Omega) mit
\int\limits_\Omega \Bigl( |\Delta f(x)| + |\Delta g(x)| \Bigr)\, dx < + \infty
gegeben, wobei Δ den Laplace-Operator gemäß
\Delta f(x) := \sum^n_{i = 1} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_i} (x)
bedeutet. Dann gilt
\int\limits_\Omega \Bigl( f \Delta g - g \Delta f \Bigr)\, dx = \int\limits_{\partial \Omega} \left( f \frac{\partial g}{\partial \xi} - g \frac{\partial f}{\partial \xi} \right)\, d\sigma
mit den Bezeichnungen
\frac{\partial f}{\partial \xi} := \Delta f(x) \cdot \xi(x), \quad \frac{\partial g}{\partial \xi} := \Delta g(x) \cdot \xi(x), \quad x \in \partial \Omega.

[Bearbeiten] Beweis

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld

h(x) := f(x) \nabla g(x) - g(x) \nabla f(x)

an. Es folgt

\operatorname{div}\, h(x) = \nabla h(x) = f(x) \Delta g(x) - g(x) \Delta f(x)

und wir erhalten schließlich

\int\limits_\Omega \Bigl( f(x) \Delta g(x) - g(x) \Delta f(x) \Bigr)\, dx = \int\limits_{\partial \Omega} h(x) \cdot \xi(x)\, d\sigma
= \int\limits_{\partial \Omega} \left( f(x) \frac{\partial g}{\partial \xi} (x) - f(x) \frac{\partial g}{\partial \xi} (x) \right)\, d\sigma,

woraus die Behauptung folgt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Oszillationslemma von Courant-Lebesgue)

Sei
B := \Bigl\{ w = u + iv = (u, v) \in \mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2: |w| < 1 \Bigr\}
die offene Einheitskreisscheibe. Weiter sei
X(u, v) = \Bigl( x_1(u, v), \ldots, x_n(u, v) \Bigr): B \to \mathbb{R}^n \in C^1(B)
eine vektorwertige Funktion mit endlichem Dirichletschen Integral D(X), d. h. es gilt
D(X) := \iint\limits_B \Bigl( |X_u(u, v)|^2 + |X_v(u, v)|^2 \Bigr)\, du dv \le N < + \infty.
Dann gibt es zu jedem Punkt w_0 = u_0 + iv_0 \in \overline{B} und jedem \delta \in (0, 1) eine Zahl \delta^* \in [\delta, \sqrt{\delta}], so dass die Ungleichung
L := \int\limits_{|w - w_0| = \delta^* \atop w \in B} d\sigma(w) \le 2 \sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta}}}
für die Länge L der Kurve X(w), |w - w_0| = \delta^*, w \in B erfüllt ist.

[Bearbeiten] Beweis

Wir führen um den Punkt w0 = u0 + iv0 Polarkoordinaten ein, d. h.

u = u_0 + \varrho \cos \varphi, \quad v = v_0 + \varrho \sin \varphi, \quad 0 \le \varrho \le \sqrt{\delta}, \quad \varphi_1(\varrho) \le \varphi \le \varphi_2(\varrho)

Weiter definieren wir die Funktion

\Psi(\varrho, \varphi) := X(u_0 + \varrho \cos \varphi, v_0 + \varrho \sin \varphi)

und berechnen

\Psi_\varrho = X_u \cos \varphi + X_v \sin \varphi, \quad \Psi_\varphi = - X_u \varrho \sin \varphi + X_v \varrho \cos \varphi

sowie

|\Psi_\varrho|^2 + \frac{1}{\varrho^2} |\Psi_\varphi|^2 = |X_u|^2 + |X_v|^2.

Unter Verwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung erhalten wir

N \ge D(X) = \iint\limits_B \Bigl( |X_u|^2 + |X_v|^2 \Bigr)\, du dv \ge \int\limits^{\sqrt{\delta}}_{\delta} \int\limits^{\varphi_2(\varrho)}_{\varphi_1(\varrho)} \left( |\Psi_\varrho|^2 + \frac{1}{\varrho^2} |\Psi_\varphi|^2 \right) \varrho\, d\varrho d\varphi
\ge \int\limits^{\sqrt{\delta}}_{\delta} \frac{1}{\varrho} \left( \int\limits^{\varphi_2(\varrho)}_{\varphi_1(\varrho)} |\Psi_\varphi|^2\, d\varphi \right)\, d\varrho = \left( \int\limits^{\varphi_2(\delta^*)}_{\varphi_1(\delta^*)} |\Psi_\varphi(\delta^*, \varphi)|^2\, d\varphi \right) \int\limits^{\sqrt{\delta}}_{\delta} \frac{d\varrho}{\varrho}
\ge \frac{1}{2} \left( \log \frac{1}{\delta} \right) \frac{1}{\varphi_2(\delta^*) - \varphi_1(\delta^*)} \left( \int\limits^{\varphi_2(\delta^*)}_{\varphi_1(\delta^*)} |\Psi_\varphi(\delta^*, \varphi)|\, d\varphi \right)^2
\ge \frac{1}{4 \pi} \log \left( \frac{1}{\delta} \right) \left( \int\limits^{\varphi_2(\delta^*)}_{\varphi_1(\delta^*)} |\Psi_\varphi(\delta^*, \varphi)|\, d\varphi \right)^2

für ein \delta^* \in [\delta, \sqrt{\delta}]. Schließlich folgt mit

L = \int\limits^{\varphi_2(\delta^*)}_{\varphi_1(\delta^*)} |\Psi_\varphi(\delta^*, \varphi)|\, d\varphi \le \sqrt{\frac{4 \pi N}{\log \frac{1}{\delta}}} = 2 \sqrt{\frac{\pi N}{\log \frac{1}{\delta}}}

die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Der klassische Stokessche Integralsatz mit singulärem Rand)

1. Auf dem Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe \overline{B} seien k_0 \in \mathbb{N} \cup \{0\} Punkte w_k = \exp(i \varphi_k), k = 1, \ldots, k_0 mit 0 \le \varphi_1 < \ldots < \varphi_{k_0} < 2 \pi gegeben. Nehmen wir die Punkte w_k, k = 1, \ldots, k_0 aus den Mengen \overline{B} und \partial B heraus, erhalten wir die Mengen \overline{B}' bzw. \partial B'.
2. Weiter sei die injektive Abbildung
X(u, v) = \Bigl( x_1(u, v), x_2(u, v), x_3(u, v) \Bigr): \overline{B} \to \mathbb{R}^3 \in C^1(\overline{B}') \cap C^0(\overline{B})
mit X_u \wedge X_v \neq 0 für alle (u, v) \in \overline{B}' und endlichem Dirichletintegral D(X) < + \infty gegeben. Bezeichnen wir mit
\overline{X}(\varphi) := X \Bigl( e^{i \varphi} \Bigr), \quad 0 \le \varphi \le 2 \pi
die Einschränkung von X auf \partial B, so erhalten wir das Linienelement
d^1\sigma(\varphi) = |\overline{X}'(\varphi )|\, d\varphi, \quad 0 \le \varphi \le 2\pi, \quad \varphi \notin \{\varphi_1, \ldots, \varphi_{k_0}\}.
Wir fordern, dass die Kurve \overline{X}(\varphi) endliche Länge hat, d. h. es gelte
L(\overline{X}) = \sum^{k_0 - 1}_{k = 0} \int\limits^{\varphi_{k + 1}}_{\varphi_k} d^1\sigma(\varphi) < + \infty,
wobei \varphi_0 := \varphi_{k_0} - 2\pi gesetzt wurde.
3. Wir bezeichnen mit
\nu(u, v) := |X_u \wedge X_v|^{- 1} X_u \wedge X_v, \quad (u, v) \in \overline{B}',
den Einheitsnormalenvektor und mit
d^2\sigma(u, v) := |X_u \wedge X_v|\, dudv
das Oberflächenelement der Fläche X(u,v). Für den Tangentialvektor an die Randkurve schreiben wir
T(\varphi) := \frac{\overline{X}'(\varphi)}{|\overline{X}'(\varphi)|}.
4. Sei \mathcal{O} \supset X(B) =: \mathcal{M} eine offene Menge im \mathbb{R}^3 und sei das Vektorfeld
a(x) = \Bigl( a_1(x_1, x_2, x_3), a_2(x_1, x_2, x_3), a_3(x_1, x_2, x_3) \Bigr) \in C^1(\mathcal{O}) \cap C^0(\overline{\mathcal{M}})
mit
\iint\limits_B |\operatorname{rot}\, a(X(u, v))|\, d^2\sigma(u, v) < + \infty
gegeben.
Dann gilt die Stokessche Identität
\iint\limits_B \Bigl\{ \operatorname{rot}\, a \Bigl( X(u, v) \Bigr) \cdot \nu(u, v) \Bigr\}\, d^2\sigma(u, v) = \int\limits^{2 \pi}_0 \Bigl\{ a \Bigl( \overline{X}(\varphi) \Bigr) \cdot T(\varphi) \Bigr\}\, d^1\sigma(\varphi).

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir wollen den Stokesschen Integralsatz für Mannigfaltigkeiten anwenden. Die Menge \mathcal{M} := X(B) ist eine beschränkte, orientierte, 2-dimensionale C1-Mannigfaltigkeit im \mathbb{R}^3 mit der Karte X(u, v): B \to \mathcal{M}. Der reguläre Rand \partial \mathcal{M} := X(\partial B') erhält durch die Abbildung \overline{X}(\varphi), 0 \le \varphi \le 2\pi eine Orientierung und hat wegen L(\overline{X}) < + \infty endliche Länge. Wir zeigen zunächst, dass der singuläre Rand \Delta \mathcal{M} := X(\{w_1, \ldots, w_{k_0}\}) \subset \dot \mathcal{M} \subset \mathbb{R}^3 die Kapazität Null hat.

2. Sei w^* \in \partial B ein singulärer Punkt der Fläche, so führen wir in der Umgebung von w * Polarkoordinaten ein:

w = w^* + \varrho e^{i \varphi}, \quad 0 < \varrho < \varrho^*, \quad \varphi_1(\varrho) < \varphi < \varphi_2(\varrho).

Zu vorgegebenem η > 0 gibt es nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma ein \delta \in (0, \varrho^*) mit folgender Eigenschaft: Sei Y(\varrho, \varphi) := X(w^* + \varrho e^{i \varphi}), 0 < \varrho < \varrho^*, \varphi_1(\varrho) < \varphi < \varphi_2(\varrho), So gilt für mindestens ein \delta^* \in [\delta, \sqrt{\delta}] die Ungleichung

\int\limits^{\varphi_2(\delta^*)}_{\varphi_1(\delta^*)} |Y_\varphi(\delta^*, \varphi)|\, d\varphi \le 2 \sqrt{\frac{\pi D(X)}{\log \frac{1}{\delta}}} \le \eta.

Folglich gibt es Zahlen 0 < \varrho_1 < \delta^* < \varrho_2 < \varrho^* mit der Eigenschaft

\int\limits^{\varphi_2(\varrho)}_{\varphi_1(\varrho)} |Y_\varphi(\varrho, \varphi)|\, d\varphi \le 2\eta für alle \varrho \in [\varrho_1, \varrho_2].

Wir betrachten nun die schwach monoton steigende Glättungsfunktion

\Psi(\varrho): [0, \varrho^*] \to [0, 1] \in C^1

mit

\Psi(\varrho) = \left\{ \begin{matrix} 0, & 0 \le \varrho \le \varrho_1 \\ 1, & \varrho_2 \le \varrho \le \varrho^* \end{matrix} \right..

In einer Umgebung der Fläche \mathcal{M} konstruieren wir nun eine Funktion

\chi = \chi(x_1, x_2, x_3) \in C^1(\mathcal{M})

mit

\Psi(\varrho) = \chi \circ Y(\varrho, \varphi), \quad 0 < \varrho < \varrho^*, \quad \varphi_1(\varrho) < \varphi < \varphi_2(\varrho).

Es folgt

\Psi'(\varrho) = \nabla \chi|_{Y(\varrho, \varphi)} \cdot Y_\varrho(\varrho, \varphi)
= |\nabla \chi(Y(\varrho, \varphi))| |Y_\varrho(\varrho, \varphi)| \cos \angle (\nabla \chi(Y(\varrho, \varphi)), Y_\varrho(\varrho, \varphi))
= |\nabla \chi(Y(\varrho, \varphi))| |Y_\varrho(\varrho, \varphi)| \sin \angle (Y_\varphi(\varrho, \varphi), Y_\varrho(\varrho, \varphi)).

Wir schließen

\iint\limits_{w \in B \cap B_{\varrho^*}(w^*)} |\nabla \chi|\, d^2 \sigma(u, v)
\le \int\limits^{\varrho^*}_0 \left( \int\limits^{\varphi_2(\varrho)}_{\varphi_1(\varrho)} |\nabla \chi(Y(\varrho, \varphi))| |Y_\varrho| |Y_\varphi| \sin \angle (Y_\varphi, Y_\varrho)\, d\varphi \right)\, d\varrho
= \int\limits^{\varrho^*}_0 \Psi'(\varrho) \left( \int\limits^{\varphi_2(\varrho)}_{\varphi_1(\varrho)} |Y_\varphi(\varrho, \varphi)|\, d\varphi \right)\, d\varrho
= \int\limits^{\varrho_2}_{\varrho_1} \Psi'(\varrho) \left( \int\limits^{\varphi_2(\varrho)}_{\varphi_1(\varrho)} |Y_\varphi(\varrho, \varphi)|\, d\varphi \right)\, d\varrho \le 2 \eta \int\limits^{\varrho_2}_{\varrho_1} \Psi'(\varrho)\, d\varrho = 2 \eta

für alle η > 0. Wir sehen so, dass der Randpunkt X(w^*) \in \dot \mathcal{M}die Kapazität Null hat. Folglich haben die endlich vielen Randpunkte X(\{w_1, \ldots, w_{k_0}\}) die Kapazität Null.

3. Wir betrachten nun die Pfaffsche Form

\omega = a_1(x)\, dx_1 + a_2(x)\, dx_2 + a_3(x)\, dx_3 \in C^1(\mathcal{M}) \cap C^0(\overline{\mathcal{M}}),

welche

\int\limits_\mathcal{M} |d\omega| \le \iint\limits_B \Bigl| \operatorname{rot}\, a \Bigl( X(u, v) \Bigr) \Bigr|\, d^2 \sigma(u, v) < + \infty

erfüllt. Satz 1 aus §4 liefert mit

\iint\limits_B \Bigl\{ \operatorname{rot}\, a \Bigl( X(u, v) \Bigr) \cdot \nu \Bigr\}\, d^2 \sigma = \int\limits_\mathcal{M} d\omega
= \int\limits_{\partial \mathcal{M}} \omega = \int\limits^{2 \pi}_0 \Bigl\{ a \Bigl( \overline{X}(\varphi) \Bigr) \cdot T(\varphi) \Bigr\}\, d^1 \sigma(\varphi)

die Behauptung.

q.e.d.

Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_III/Kapitel_I:_Differentiation_und_Integration_auf_Mannigfaltigkeiten/%C2%A75_Der_Gau%C3%9Fsche_und_der_Stokessche_Integralsatz“
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