Kurs:Analysis III/Kapitel I: Differentiation und Integration auf Mannigfaltigkeiten/§8 Die Coableitung und der Laplace-Beltrami-Operator

Aus Wikiversity

Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition 1

Für k \in K := \{0, 1, n - 1, n\} ordnen wir jeder k-Form α ihre duale (n − k)-Form * α wie folgt zu:
1. Seien k = 0,α = a(x). Dann setzen wir
* α: = a(x)ω,
wobei
\omega = \sqrt{g(x)}\, dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n
die Volumenform bedeutet.
2. Seien k = 1 und
\alpha = \sum^n_{i = 1} a_i(x)\, dx_i.
Dann setzen wir
*\alpha := \sqrt{g(x)} \sum^n_{i = 1} \left( \sum^n_{j = 1} g^{ij}(x) a_j(x) \right) \theta_i.
3. Seien k = n − 1 und
\alpha = \sum^n_{i = 1} a_i(x) \theta_i.
Dann setzen wir
*\alpha := \frac{(-1)^{n - 1}}{\sqrt{g(x)}} \sum^n_{i = 1} \left( \sum^n_{j = 1} g_{ij}(x) a_j(x) \right)\, dx_i.
4. Seien k = n,α = a(x)ω. Dann ist
* α = a(x).

[Bearbeiten] Definition 2

Für eine 1-Form
\alpha = \sum^n_{i = 1} a_i(x)\, dx_i, \quad x \in \Omega
der Klasse C1(Ω) erklären wir die Coableitung δα gemäß
δα: = * d * α.

[Bearbeiten] Satz 1 (Partielle Integration in beliebigen Parametern)

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n ein Gebiet, das die Voraussetzungen (A), (B) und (D) des Gaußschen Integralsatzes erfüllt. Die Parametertransformation
\overline{x} = \Phi(x): \Omega \to \Theta \in C^1(\overline{\Omega})
sei bijektiv und erfülle die Bedingung
J_\Phi(x) \ge \eta > 0 für alle x \in \overline{\Omega}.
Weiter seien eine 1-Form
\alpha = \sum^n_{i = 1} a_i(x)\, dx_i, \quad x \in \overline{\Omega}
und eine 0-Form \beta = b(x), x \in \overline{\Omega} der Klasse C^1(\overline{\Omega}) gegeben. Dann gilt
\int\limits_\Omega (\alpha, d\beta)_1 \omega + \int\limits_\Omega (\delta \alpha, \beta)_0 \omega = \int\limits_{\partial \Omega} (*\alpha) \wedge \beta.
Dabei trägt \partial \Omega die induzierte kanonische Orientierung des \mathbb{R}^n.

[Bearbeiten] Beweis

Insbesondere wegen der Voraussetzungen an die Parametertransformation Φ sind alle auftretenden Funktionen in der Klasse C^1(\overline{\Omega}). Wir wenden den Stokesschen Integralsatz an und erhalten

\int\limits_\Omega (\alpha, d\beta)_1 \omega = \int\limits_\Omega \alpha \wedge (*d\beta) = (-1)^{n - 1} \int\limits_\Omega (*\alpha) \wedge d\beta
= \int\limits_\Omega d \Bigl( (*\alpha) \wedge \beta \Bigr) - \int\limits_\Omega (d * \alpha) \wedge \beta
= \int\limits_{\partial \Omega} (*\alpha) \wedge \beta - \int\limits_\Omega (d * \alpha) \wedge (**\beta)
= \int\limits_{\partial \Omega} (*\alpha) \wedge \beta - \int\limits_\Omega (d * \alpha, *\beta)_n \omega
= \int\limits_{\partial \Omega} (*\alpha) \wedge \beta - \int\limits_\Omega (*d * \alpha, \beta)_0 \omega
= \int\limits_{\partial \Omega} (*\alpha) \wedge \beta - \int\limits_\Omega (\delta \alpha, \beta)_0 \omega.

Umstellen liefert die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Für zwei Funktionen ψ(x) und χ(x) der Klasse C1(Ω) mit den zugehörigen Differentialen
d\psi = \sum^n_{i = 1} \psi_{x_i}\, dx_i, \quad d\chi = \sum^n_{i = 1} \chi_{x_i}\, dx_i
erklären wir den Beltramioperator erster Ordnung gemäß
\nabla (\psi, \chi) := (d\psi, d\chi)_1 (x) = \sum^n_{i, j = 1} g^{ij}(x) \psi_{x_i}(x) \chi_{x_j}(x).

[Bearbeiten] Definition 4

Für eine Funktion \psi(x) \in C^2(\Omega) erklären wir den Laplace-Beltrami-Operator
\Delta \psi(x) := \delta d\psi(x), \quad x \in \Omega.
Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_III/Kapitel_I:_Differentiation_und_Integration_auf_Mannigfaltigkeiten/%C2%A78_Die_Coableitung_und_der_Laplace-Beltrami-Operator“
Persönliche Werkzeuge