Kurs:Analysis III/Kapitel II: Grundlagen der Funktionalanalysis/§1 Das Daniellsche Integral mit Beispielen

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[Bearbeiten] Definition 1

Seien $X$ eine beliebige Menge und $M = M (X)$ ein Raum von Funktionen $f: X \to \mathbb{R}$ mit folgenden Eigenschaften:

– $M$ ist ein linearer Raum, d. h.

(1) für alle $f, g \in M$ und alle $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ gilt $\alpha f + \beta g \in M$ .

– $M$ ist abgeschlossen hinsichtlich der Betragsbildung, d. h.

(2) für alle $f \in M$ gilt $|f| \in M$ .

Weiter sei $I: M \to \mathbb{R}$ ein Funktional auf $M$ , welches die folgenden Bedingungen erfüllt:

– $I$ ist linear, d. h.

(3) für alle $f, g \in M$ und alle $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ gilt $I (α f + β g) = α I (f) + β I (g)$ .

– $I$ ist nicht negativ, d. h.

(4) für alle $f \in M$ mit $f \ge 0$ gilt $I(f) \ge 0$ .

Dabei bedeutet $f \ge 0$ , dass $f(x) \ge 0$ für alle $x \in X$ richtig ist.

– $I$ ist stetig bezüglich monotoner Konvergenz in $M$ , d. h.

(5) für jede Folge $\{f_n\}_{n = 1, 2, \ldots} \subset M$ mit $f_n \downarrow 0$ gilt $\lim_{n \to \infty} I(f_n) = I(0) = 0$ .

Dabei bedeutet $f_n \downarrow 0$ , dass für alle $x \in X$ die Folge $\{f_n(x)\}_{n = 1, 2, \ldots} \subset \mathbb{R}$ schwach monoton fallend ist und dass $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$ gilt.

Dann heißt $I$ ein auf $M$ erklärtes Daniellsches Integral.

[Bearbeiten] Satz 1 (Dini)

Auf der kompakten Menge $K \subset \mathbb{R}^n$ seien die stetigen Funktionen $f_1, f_2, \ldots, f \in C^0(K, \mathbb{R})$ gegeben. Es gelte $f_l \uparrow f$ , d. h. für alle $x \in K$ ist die Folge $\{f_l(x)\} \subset \mathbb{R}$ schwach monoton steigend und es gilt

$\lim_{l \to \infty} f_l(x) = f(x).$

Dann konvergiert die Folge $\{f_l\}_{l = 1, 2, \ldots}$ gleichmäßig auf $K$ gegen $f$ .

[Bearbeiten] Beweis

Sei $\{g_l\}_{l = 1, 2, \ldots} \subset C^0(K, \mathbb{R})$ eine Folge mit $g_l \downarrow 0$ . Zu zeigen ist, dass

$\sup_{x \in K} |g_l(x)| \to 0$

richtig ist. Wäre diese Aussage falsch, dann gäbe es Indizes ${l i}$ mit $l i < l i + 1$ und Punkte $\xi_i \in K$ , so dass

$g_{l_i}(\xi_i) \ge \varepsilon > 0$ für alle $i \in \mathbb{N}$

mit einem festen $\varepsilon > 0$ gilt. Nach dem Weierstraßschen Häufungsstellensatz können wir o. B. d. A. annehmen, dass $\xi_i \to \xi$ für $i \to \infty$ mit $\xi \in K$ richtig ist. Zu festem $l *$ wählen wir nun ein $i_* = i(l_*) \in \mathbb{N}$ , so dass $l_i \ge l_*$ für alle $i \ge i_*$ gilt. Die Monotonieeigenschaft der Funktionenfolge ${g l}$ liefert dann