Kurs:Analysis III/Kapitel III: Der Brouwersche Abbildungsgrad mit geometrischen Anwendungen

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Inhaltsverzeichnis

1 §1 Die Umlaufszahl
2 §2 Der Abbildungsgrad im
3 §3 Geometrische Existenzsätze
- 3.1 Satz 1 (Brouwerscher Fixpunktsatz)
  - 3.1.1 Beweis
- 3.2 Satz 2 (Igelsatz von Poincaré und Brouwer)
  - 3.2.1 Beweis
4 §4 Der Index einer Abbildung
5 §5 Der Produktsatz
6 §6 Die Sätze von Jordan-Brouwer

[Bearbeiten] §1 Die Umlaufszahl

[Bearbeiten] Definition 1

Zu $k \in \mathbb{N}_0$ erklären wir durch

$\Gamma_k := \Bigl\{ \varphi = \varphi(t): \mathbb{R} \to \mathbb{C} \in C^k(\mathbb{R}, \mathbb{C}): \varphi(t + 2\pi) = \varphi(t)\ f\ddot ur\ alle\ t \in \mathbb{R} \Bigr\}$

die Menge der $k$ -mal stetig differenzierbaren $(k \ge 1)$ bzw. stetigen $(k = 0)$ periodischen komplexwertigen Funktionen.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei $\varphi \in \Gamma_1$ mit $\varphi \neq 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ gegeben. Dann setzen wir

$W(\varphi) = W(\varphi, 0) := \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\, dt$

als Windungszahl (Umlaufszahl) der geschlossenen Kurve $\varphi(t), 0 \le t \le 2\pi$ in Bezug auf den Punkt $z = 0$ .

[Bearbeiten] Definition 3

Sei $\varphi \in \Gamma_0$ mit $\varphi(t) \neq 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ . Ferner sei eine Folge von Funktionen $\{\varphi_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \Gamma_1$ mit $\varphi(t) \neq 0$ für alle $t \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{N}$ gegeben, die gleichmäßig in $[0,2π]$ gegen $\varphi$ konvergiert, d. h. es gilt

$\lim_{k \to \infty} \varphi_k(t) = \varphi(t)$ für alle $t \in [0, 2\pi]$ .

Dann setzen wir

$W(\varphi) := \lim_{k \to \infty} W(\varphi_k).$

[Bearbeiten] Satz 1 (Homotopielemma)

Sei die Schar von stetigen Kurven $\Phi_\tau(t) = \varphi(t, \tau) \in \Gamma_0$ für $\tau^- \le \tau \le \tau^+$ gegeben. Ferner gelten $\varphi(t, \tau) \in C^0([0, 2\pi] \times [\tau^-, \tau^+], \mathbb{R}^2)$ und

$\varphi(t, \tau) \neq 0$ für alle $(t, \tau) \in [0, 2\pi] \times [\tau^-, \tau^+]$ .

Dann ist $W(\varphi_\tau)$ in $[τ -,τ +]$ konstant.

[Bearbeiten] Beweis

Wegen $\varphi(t, \tau) \neq 0$ und der Kompaktheit der Menge $[0, 2\pi] \times [\tau^-, \tau^+]$ gibt es ein $\varepsilon > 0$ , so dass $|\varphi(t, \tau)| > \varepsilon$ für alle $(t, \tau) \in [0, 2\pi] \times [\tau^-, \tau^+]$ gilt. Da $\varphi$ auf $[0, 2\pi] \times [\tau^-, \tau^+]$ gleichmäßig stetig ist, gibt es ein $\delta(\varepsilon) > 0$ mit der Eigenschaft

$|\varphi(t, \tau^*) - \varphi(t, \tau^{**})| > \varepsilon$ für alle $t \in [0, 2\pi]$ , falls $|\tau^{*} - \tau^{**}| < \delta(\varepsilon)$ .

Seien nun $\{\varphi_k^*\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \Gamma_1$ und $\{\varphi_k^{**}\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \Gamma_1$ zwei approximierende Folgen mit

$\lim_{k \to \infty} \varphi_k^*(t) = \varphi(t, \tau^*)$ bzw. $\lim_{k \to \infty} \varphi_k^{**}(t) = \varphi(t, \tau^{**})$ für alle $t \in [0, 2\pi]$ .

Dann gibt es ein $k_0 \in \mathbb{N}$ , so dass für alle $k \ge k_0$ folgendes gilt:

$|\varphi_k^*(t)| > \varepsilon, \quad |\varphi_k^{**}(t)| > \varepsilon, \quad |\varphi_k^*(t) - \varphi_k^{**}(t)| < \varepsilon$ für alle $t \in [0, 2\pi]$ .

Es gilt nun $W(\varphi_k^*) = W(\varphi_k^{**})$ für alle $k \ge k_0$ und es folgt

$W(\Phi_{\tau^*}) = W(\Phi_{\tau^{**}})$ für alle $\tau^{*}, \tau^{**} \in [\tau^-, \tau^+]$ mit $|\tau^{*} - \tau^{**}| < \delta(\varepsilon)$ .

Da $\delta(\varepsilon)$ nicht von $τ *,τ * *$ abhängt und $[τ -,τ +]$ kompakt ist, liefert ein Fortsetzungsargument $W(\varphi_\tau) = \operatorname{const}$ für $\tau \in [\tau^-, \tau^+]$ .

[Bearbeiten] Satz 2 (Rouché)

Zu festem $R > 0$ seien $f_0, f_1: B_R \to \mathbb{C}$ zwei stetige Funktionen mit der Eigenschaft

$| f 1 (z) - f 0 (z) | < | f 0 (z) |$ für alle $z \in \partial B_R$ .

Für die Kurve $\varphi_0(t) := f_0(Re^{it})$ gelten

$\varphi_0(t) \neq 0$ für $0 \le t \le 2\pi$ sowie $W(\varphi_0) \neq 0$ .

Dann existiert ein $z_* \in \stackrel{\circ}{B}$ mit $f 1 (z *) = 0$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir setzen $\varphi_1(t) := f_1(Re^{it}), 0 \le t \le 2\pi$ und betrachten die Homotopie

$\Phi_\tau(t) = \varphi(t, \tau) := (1 - \tau) \varphi_0(t) + \tau \varphi_1(t), \quad 0 \le t \le 2\pi.$

Wegen

$|\varphi(t, \tau)| = |\varphi_0(t) + \tau (\varphi_1(t) - \varphi_0(t))| \ge |\varphi_0(t)| - |\varphi_1(t) - \varphi_0(t)| > 0$

für alle $(t, \tau) \in [0, 2\pi] \times [0, 1]$ liefert das Homotopielemma $W(\varphi_0) = W(\varphi_1) \neq 0$ und nun existiert ein $z_* \in \stackrel{\circ}{B}$ mit $f 1 (z *) = 0$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes komplexe Polynom

$f(z) = z^n + a_{n - 1} z^{n - 1} + \ldots + a_0$

vom Grade $n \in \mathbb{N}$ besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

[Bearbeiten] Beweis

Wir setzen $f_0(z) := z^n, z \in \mathbb{C}$ und betrachten zu festem $R > 0$ die Funktion

$\varphi_0(t) := f(Re^{it}) = R^ne^{int}, \quad 0 \le t \le 2\pi.$

Wir berechnen

$W(\varphi_0) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{\varphi'_0(t)}{\varphi_0(t)}\, dt = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{inR^ne^{int}}{R^ne^{int}}\, dt = n \in \mathbb{N}.$

Wir wählen nun $R > 0$ so groß, dass für alle $z \in \mathbb{C}$ mit $| z | = R$ die Ungleichung

$|f_0(z)| = R^n > |f(z) - f_0(z)| = |a_{n - 1}z^{n - 1} + \ldots + a_0|$

richtig ist. Dann gibt es nach dem Satz von Rouché ein $z_* \in \mathbb{C}$ mit $| z * | < R$ , so dass $f (z *) = 0$ erfüllt ist.

[Bearbeiten] Satz 4 (Brouwerscher Fixpunktsatz)

Sei $f(z): B_R \to B_R$ eine stetige Abbildung. Dann hat $f$ mindestens einen Fixpunkt, d. h. es gibt ein $z_* \in B_R$ mit $f (z *) = z *$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Schar von Abbildungen

$g(z, \tau) := z - \tau f(z), \quad z \in B_R, \quad \tau \in [0, 1).$

Für alle $z \in \partial B_R$ gilt

$|g(z, \tau)| \ge |z| - \tau |f(z)| \ge R (1 - \tau) > 0.$

Nun wenden wir den Satz von Rouché auf die Funktion $f 0 (z): = z$ mit der Randfunktion $\varphi_0(t) = Re^{it}$ und auf $f 1 (z): = g (z,τ)$ für ein festes $\tau \in [0, 1)$ an. Wir finden dann für jedes $\tau \in [0, 1)$ ein $z_\tau \in \stackrel{\circ}{B}_R$ mit der Eigenschaft

0 = g τ (z τ) = z τ - τ f (z τ).

Wählen wir speziell $\tau_n = 1 - \frac{1}{n}, n = 1, 2, \ldots$ , so folgt

$\left( 1 - \frac{1}{n} \right) f(z_n) = z_n, \quad n = 1, 2, \ldots,$

wobei wir noch $z_n := z_{\tau_n}$ gesetzt haben. Nach Auswahl einer in $B R$ konvergenten Teilfolge erhalten wir wegen der Stetigkeit von $f$

$z_* := \lim_{k \to \infty} z_{n_k} = \lim_{k \to \infty} \tau_{n_k} f(z_{n_k}) = \lim_{k \to \infty} f(z_{n_k}) = f(z_*).$

[Bearbeiten] Definition 4

Sei $z \in \mathbb{C}$ ein beliebiger Punkt und die Funktion $\varphi(t) \in \Gamma_0$ genüge der Bedingung $\varphi(t) \neq z$ für alle $t \in \mathbb{R}$ . Dann nennen wir

$W(\varphi, z) := W(\varphi(t) - z)$

die Umlaufszahl der Kurve $\varphi$ um den Punkt $z$ .

[Bearbeiten] Definition 5

Sei die stetige Funktion $f = f(z): \{z \in \mathbb{C}: |z - z_0| \le \varepsilon_0\} \to \mathbb{C}$ mit $z_0 \in \mathbb{C}$ und $\varepsilon_0 > 0$ gegeben, welche in $z 0$ eine isolierte Nullstelle besitzt, d. h. es gelten

$f (z 0) = 0$ und $f(z) \neq 0$ für alle $0 < |z - z_0| \le \varepsilon_0$

Dann erklären wir den Index von $f$ in Bezug auf $z = z 0$ wie folgt:

$i(f, z_0) := W(\varphi)$ mit $\varphi(t) = f(z_0 + \varepsilon e^{it}), \quad 0 \le t \le 2\pi, \quad 0 < \varepsilon \le \varepsilon_0$ .

[Bearbeiten] Satz 5 (Indexsummenformel)

Die Funktion $f \in C^2(B_R, \mathbb{C})$ habe die Randfunktion $\varphi(t) := f(Re^{it}) \neq 0$ mit $t \in [0, 2\pi]$ . Ferner besitze $f$ in $\stackrel{\circ}{B}_R$ die paarweise verschiedenen Nullstellen $z k$ mit zugehörigem Index $i(f, z_k), k = 1, \ldots, p$ und $p \in \mathbb{N}_0$ . Dann gilt die Identität

$W(\varphi) = \sum^p_{k = 1} i(f, z_k).$

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir setzen

$F(x, y) := \log f(x, y), \quad (x, y) \in B_R$

und berechnen

$W(\varphi) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}\, dt = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{\frac{d}{dt} f(Re^{it})}{f(Re^{it})}\, dt$

$= \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{f_x(Re^{it}) (-R \sin t) + f_y(Re^{it}) (R \cos t)}{f(Re^{it})}\, dt$

$= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial B_R} \{F_x\, dx + F_y\, dy\} = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial B_R} dF$

mit der 1-Form $dF = F_x(x, y)\, dx + F_y(x, y)\, dy$ . Dabei wird $\partial B_R$ in mathematisch positivem Sinn durchlaufen.

2. Zu hinreichend kleinem $\varepsilon > 0$ betrachten wir das Gebiet

$\Omega(\varepsilon) := \left\{ z \in \stackrel{\circ}{B}_R: |z - z_k| > \varepsilon\ \mathrm{f\ddot ur\ } k = 1, \ldots, p \right\}.$

Setzen wir

$\varphi_k(t) := f(z_k + \varepsilon e^{it}), \quad t \in [0, 2\pi], \quad k = 1, \ldots, p,$

so folgt wie in Teil 1 des Beweises

$W(\varphi_k) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|z - z_k| = \varepsilon} dF, \quad k = 1, \ldots, p,$

wobei die Kurven $|z - z_k| = \varepsilon$ in mathematisch positivem Sinn durchlaufen werden. Der Stokessche Integralsatz liefert nun

$W(\varphi) - \sum^p_{k = 1} i(f, z_k) = W(\varphi) - \sum^p_{k = 1} W(\varphi_k)$

$= \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial B_R} dF - \frac{1}{2\pi i} \sum^p_{k = 1} \oint\limits_{|z - z_k| = \varepsilon} dF = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial \Omega(\varepsilon)} dF = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\Omega(\varepsilon)} ddF = 0.$

q.e.d.

[Bearbeiten] §2 Der Abbildungsgrad im $\mathbb{R}^n$

[Bearbeiten] Definition 1

Seien $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine beschränkte, offene Menge im $\mathbb{R}^n$ und

$f = (f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_n(x_1, \ldots, x_n)) \in A^k(\Omega) := C^k(\Omega, \mathbb{R}^n) \cap C^0(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^n)$

für $k \in \mathbb{N}$ eine Funktion mit $f(x) \neq 0$ für alle $x \in \partial \Omega$ . Mit einem $0 < \varepsilon < \inf \{|f(x)|: x \in \partial \Omega\}$ betrachten wir eine Funktion $\omega \in C^0([0, + \infty), \mathbb{R})$ mit den Eigenschaften

(a) $ω(r) = 0$ für alle $r \in [0, \delta] \cup [\varepsilon, + \infty)$ und für ein $\delta \in (0, \varepsilon)$ ,

(b) es gelte

$\int\limits_{\mathbb{R}^n} \omega(|y|)\, dy = 1.$

Dann erklären wir den Brouwerschen Abbildungsgrad von $f$ bezüglich $y = 0$ gemäß

$d(f, \Omega) = d(f, \Omega, 0) := \int\limits_\Omega \omega(|f(x)|) J_f(x)\, dx.$

Dabei ist

$J_f(x) = \frac{\partial (f_1, \ldots, f_n)}{\partial (x_1, \ldots, x_n)}, \quad x \in \Omega$

die Funktionaldeterminante der Abbildung $f$ .

[Bearbeiten] Definition 2

Sei $f(x) \in A^0(\Omega) := C^0(\overline{\Omega}, \mathbb{R}^n)$ mit $f(x) \neq 0$ für alle $x \in \partial \Omega$ gegeben. Ferner sei $\{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset A^1(\Omega)$ eine Funktionenfolge mit

$f_k(x) \neq 0$ für alle $x \in \partial \Omega$ und alle $k \in \mathbb{N}$

und es gelte

$f_k(x) \to f(x)$ für $k \to \infty$

gleichmäßig in $\overline{\Omega}$ . Dann setzen wir

$d(f, \Omega) := \lim_{k \to \infty} d(f_k, \Omega)$

und nennen dieses den Brouwerschen Abbildungsgrad für stetige Funktionen.

[Bearbeiten] Satz 1 (Homotopielemma)

Sei $f_\tau(x) \in A^0(\Omega)$ für $\tau \in [a, b]$ eine Schar stetiger Abbildungen mit den Eigenschaften

(a) $f_\tau(x) = f(x, \tau): \overline{\Omega} \times [a, b] \to \mathbb{R} \in C^0(\overline{\Omega} \times [a, b], \mathbb{R})$ ,

(b) $f_\tau(x) \neq 0$ für alle $x \in \partial \Omega$ und alle $\tau \in [a, b]$ .

Dann ist $d(f_\tau, \Omega) = \operatorname{const}$ in $[a, b]$ .

[Bearbeiten] Beweis

Zunächst gibt es ein $\varepsilon > 0$ , so dass $|f_\tau(x)| > 5 \varepsilon$ für alle $x \in \partial \Omega$ und alle $\tau \in [a, b]$ richtig ist. Weiter existiert ein $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ , so dass für alle $\tau^*, \tau^{**} \in [a, b]$ mit $|\tau^* - \tau^{**}| < \delta(\varepsilon)$ die Ungleichung

$|f(x, \tau^*) - f(x, \tau^{**})| < \varepsilon$ für alle $x \in \overline{\Omega}$

gilt. Wir wählen nun mit

$\{f_k^*\}_{k = 1, 2, \ldots}, \{f_k^{**}\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset A^1(\Omega)$

zulässige Approximationsfolgen für $f_{\tau^*}(x)$ bzw. $f_{\tau^{**}}(x)$ . Dann gibt es ein $k_0 \in \mathbb{N}$ , so dass die Ungleichungen

$|f_k^*(x)| > 5\varepsilon, \quad |f_k^{**}(x)| > 5\varepsilon$ für alle $x \in \partial \Omega$ und alle $k \ge k_0$

sowie

$|f_k^*(x) - f_k^{**}(x)| < \varepsilon$ für alle $x \in \overline \Omega$ und alle $k \ge k_0$

erfüllt sind. Es gilt nun

$d(f_k^*, \Omega) = d(f_k^{**}, \Omega)$ für alle $k \ge k_0$

und es folgt

$d(f_{\tau^*}, \Omega) = d(f_{\tau^{**}}, \Omega)$ für alle $\tau^*, \tau^{**} \in [a, b]$ mit $|\tau^* - \tau^{**}| < \delta(\varepsilon)$ .

Dieses ergibt $d(f_\tau, \Omega) = \operatorname{const}$ für $a \le \tau \le b$ .

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine beschränkte, offene Menge und $f(x): \partial \Omega \to \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ sei stetig. Weiter sei $\hat f(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \in C^0(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ mit $\hat f(x) = f(x)$ für alle $x \in \partial \Omega$ eine stetige Fortsetzung von $f$ auf den $\mathbb{R}^n$ . Dann setzen wir

$v(f, \partial \Omega) := d(\hat f, \Omega)$

für die Ordnung von $f$ in Bezug auf den Punkt $z = 0$ .

[Bearbeiten] §3 Geometrische Existenzsätze

[Bearbeiten] Satz 1 (Brouwerscher Fixpunktsatz)

Jede stetige Abbildung $f(x): B \to B$ der Einheitskugel $B := \{x \in \mathbb{R}^n: |x| \le 1\}$ in sich besitzt einen Fixpunkt $\xi \in B$ , für welchen also $ξ = f (ξ)$ gilt.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten für alle $\tau \in [0, 1)$ die Abbildung

$f_\tau(x) = x - \tau f(x), \quad x \in B,$

welche die Randbedingung

$|f_\tau(x)| \ge |x| - \tau |f(x)| \ge 1 - \tau > 0$ für alle $x \in \partial B$ und alle $\tau \in [0, 1)$

erfüllt. Nun gibt es zu jedem $\tau \in [0, 1)$ ein $x_\tau \in \stackrel{\circ}{B}$ mit $f τ (x) = 0$ bzw. $τ f (x τ) = x τ$ . Wir wählen nun eine Folge $\tau_n \uparrow 1$ für $n \to \infty$ , so dass $\{x_{\tau_n}\}_{n = 1, 2, \ldots}$ in $B$ konvergiert. Dann folgt

$\xi := \lim_{n \to \infty} x_{\tau_n} = \lim_{n \to \infty} \tau_n f(x_{\tau_n}) = \lim_{n \to \infty} f(x_{\tau_n}) = f(\xi).$

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Igelsatz von Poincaré und Brouwer)

Sei $n \in \mathbb{N}$ gerade. Mit

$S^n := \Bigl\{ x \in \mathbb{R}^{n + 1}: |x| = 1 \Bigr\}$

bezeichnen wir die $n$ -dimensionale Sphäre im $\mathbb{R}^{n + 1}$ . Dann gibt es kein tangentiales, nullstellenfreies und stetiges Vektorfeld auf der Sphäre $S n$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wäre $\varphi: S^n \to \mathbb{R}^{n + 1}$ ein solches Vektorfeld, so wären $|\varphi(x)| > 0$ und $(\varphi(x), x) = 0$ für alle $x \in S^n$ erfüllt. Wir betrachten nun zu $\varepsilon = \pm 1$ die Abbildung $f(x) := \varepsilon x, x \in S^n$ und die Homotopie

$f_\tau(x) = (1 - \tau) f(x) + \tau \varphi(x), \quad x \in S^n.$

Es gilt

$|f_\tau(x)|^2 = (1 - \tau)^2 |f(x)|^2 + \tau^2 |\varphi(x)|^2 > 0$

für alle $x \in S^n$ und alle $\tau \in [0, 1]$ . Es folgt

$v(\varphi, S^n) = v(f_1, S^n) = v(f_0, S^n) = v(f, S^n) = \varepsilon^{n + 1}.$

Für gerades $n$ würde also

$- 1 = v(\varphi, S^n) = + 1$

folgen. Das ist aber ein Widerspruch!

q.e.d.

[Bearbeiten] §4 Der Index einer Abbildung

[Bearbeiten] Definition 1

Sei $f(x) \in A^0(\Omega)$ . Für ein $z \in \Omega$ und ein hinreichend kleines $\varepsilon > 0$ gelte $f (z) = 0$ und $f(x) \neq 0$ für alle $0 < |x - z| \le \varepsilon$ . Dann nennen wir

$i(f, z) := d(f, B_\varepsilon(z))$

den Index von $f$ im Punkt $x = z$ . Dabei ist $B_\varepsilon(z) := \{x \in \mathbb{R}^n: |x - z| < \varepsilon\}$ .

[Bearbeiten] Satz 1 (Sardsches Lemma)

Seien $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge und $f: \Omega \to \mathbb{R}^n \in C^1(\Omega, \mathbb{R}^n)$ eine stetig differenzierbare Abbildung. Ferner sei $F \subset \Omega$ kompakt und

$F^* := \Bigl\{ y = f(x): x \in F, J_f(x) = 0 \Bigr\}$

die Menge ihrer kritischen Werte. Dann ist $F *$ eine $n$ -dimensionale Lebesgue-Nullmenge.

[Bearbeiten] Beweis

Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass $F$ ein Würfel ist:

$F = W = \Bigl\{ x \in \mathbb{R}^n: a_i \le x_i \le a_i + h, i = 1, \ldots, n \Bigr\}.$

Wir nehmen nun eine gleichmäßige Zerlegung des Würfels $W$ in $N n$ Würfel der Kantenlänge $\frac{h}{N}$ mit $N \in \mathbb{N}$ , indem wir auf den Achsen die Zerlegung $a_i + j\frac{h}{N}$ mit $i = 1, \ldots, n, j = 0, 1, \ldots, N$ zugrunde legen. Damit erhalten wir die Würfel $W_\alpha, \alpha = 1, \ldots, N^n$ mit den Eigenschaften

$W = \bigcup^{N^n}_{\alpha = 1} W_\alpha, \quad \stackrel{\circ}{W}_\alpha \cap \stackrel{\circ}{W}_\beta = \emptyset\ (\alpha \neq \beta).$

Der Durchmesser eines Würfels $W α$ berechnet sich gemäß

$\operatorname{diam}\, (W_\alpha) = \sqrt{n} \frac{h}{N}.$

Wir setzen nun

$M := \sup_{x \in W} \|\partial f(x)\| \text{ und } \varepsilon_N := \sup_{x', x'' \in W \atop |x' - x''| \le \sqrt{n} \frac{h}{N}} \|\partial f(x') - \partial f(x'')\|$

Sei $\mathbf{N} \subset \{1, \ldots, N^n\}$ die Indexmenge, die zu den Würfeln $W α$ gehört, welche mindestens einen Punkt $\xi \in W_\alpha$ mit $J f (ξ) = 0$ enthalten. Dann folgt

$W^* \subset \bigcup_{\alpha \in \mathbf{N}} W^*_\alpha \text{ mit } W^*_\alpha := \Bigl\{ y = f(x): x \in W_\alpha \Bigr\}$ .

Es gibt nun für jedes $\alpha \in \mathbf{N}$ eine Funktion $\varphi_\alpha = \varphi_\alpha(y) \in C^0_0(\mathbb{R}^n, [0, 1])$ mit $\varphi_\alpha(y) \ge \chi_{W^*_\alpha}(y), y \in \mathbb{R}^n$ sowie

$\int\limits_{\mathbb{R}^n} \varphi_\alpha(y)\, dy \le K(M, n) \left( \frac{h}{N} \right)^n \varepsilon_N.$

Dabei bezeichnet $χ A$ die charakteristische Funktion einer Menge $A$ . Es folgt

$\chi_{W^*}(y) \le \sum_{\alpha \in \mathbf{N}} \chi_{W^*_\alpha}(y) \le \sum_{\alpha \in \mathbf{N}} \varphi_\alpha(y), \quad y \in \mathbb{R}^n$

und für die Funktion $\sum_{\alpha \in \mathbf{N}} \varphi_\alpha\left(y\right) \in C^0_0(\mathbb{R}^n, [0, + \infty))$ gilt

$\int\limits_{\mathbb{R}^n} \left( \sum_{\alpha \in \mathbf{N}} \varphi_\alpha(y) \right)\, dy \le \sum_{\alpha \in \mathbf{N}} \left( K(M, n) \left( \frac{h}{N} \right)^n \varepsilon_N \right) \le |W| K(M, n) \varepsilon_N$

für alle $N \in \mathbb{N}$ . Für $N \to \infty$ folgt schließlich $\varepsilon_N \downarrow 0$ und somit ist $W *$ eine $n$ -dimensionale Lebesguesche Nullmenge.

[Bearbeiten] Satz 2 (Generische Endlichkeit)

Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ eine beschränkte, offene Menge und $f \in A^1(\Omega)$ mit $\inf_{x \in \partial \Omega} |f(x)| > \varepsilon > 0$ . Dann gibt es ein $z \in \mathbb{R}^n$ mit $|z| \le \varepsilon$ , so dass folgendes gilt:

(1) Die Gleichung $f(x) = z, x \in \overline{\Omega}$ hat höchstens endlich viele Lösungen $x^{(1)}, \ldots, x^{(N)} \in \Omega$ .

(2) Für $\nu = 1, \ldots, N$ ist $J_f(x^{(\nu)}) \neq 0$ richtig.

[Bearbeiten] Beweis

Sei

$F := \Bigl\{ x \in \overline{\Omega}: |f(x)| \le \varepsilon \Bigr\},$

so ist $F \subset \mathbb{R}^n$ kompakt und es gilt $F \subset \Omega$ . Die Menge

$F^* := \Bigl\{ y = f(x): x \in F, J_f(x) = 0 \Bigr\}$

der kritischen Werte von $f$ ist nach dem Sardschen Lemma eine Lebesguesche Nullmenge. Somit existiert ein $z \in \mathbb{R}^n$ mit $|z| \le \varepsilon$ und $z \notin F^*$ . Wir zeigen nun, dass mit diesem $z$ die Eigenschaft (1) gilt: Angenommen, die Gleichung $f (x) = z$ hätte unendlich viele Lösungen $x^1, x^2, \ldots \in \overline{\Omega}$ und ohne Einschränkung gelte $x^\nu \to \xi$ für $\nu \to \infty$ . Wegen $f (x ν) = f (ξ) = z$ für alle $\nu \in \mathbb{N}$ würden sich die $z$ -Stellen von $f$ im Punkt $ξ$ häufen. Da aber $\xi \in \Omega$ und $J_f(\xi) \neq 0$ sind, ist $f$ dort lokal injektiv und wir erhalten einen Widerspruch. Folglich gibt es nur endlich viele Lösungen der Gleichung $f(x) = z, x \in \overline{\Omega}$ , die offenbar alle die Eigenschaft (2) haben.

q.e.d.

[Bearbeiten] §5 Der Produktsatz

[Bearbeiten] Definition 1

Sei $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^n$ eine offene Menge und $x \in \mathcal{O}$ . Dann nennen wir die Menge

$G_x := \left\{ y \in \mathcal{O}: \begin{matrix} es\ existiert\ ein\ \varphi(t): [0, 1] \to \mathcal{O} \in C^0([0, 1]) \\ mit\ \varphi(0) = x\ und\ \varphi(1) = y \end{matrix} \right\}$

die Zusammenhangskomponente von $x$ in $\mathcal{O}$ .

[Bearbeiten] Definition 2

Zu einer Funktion $\varphi \in C^0_0(\mathbb{R}^n)$ nennen wir

$\operatorname{supp}\, \varphi = \overline{\Bigl\{ x \in \mathbb{R}^n: \varphi(x) \neq 0 \Bigr\}}$

den Träger von $\varphi$ .

[Bearbeiten] Definition 3

Sei $f \in A^0(\Omega)$ und $z \in \mathbb{R}^n \setminus f(\partial \Omega)$ . Dann setzen wir

d (f,Ω, z): = d (f (x) - z,Ω,0)

für den Abbildungsgrad von $f$ bezüglich dem Punkt $z$ .

[Bearbeiten] Definition 4

Sei $G \subset \mathbb{R}^n \setminus f(\partial \Omega)$ ein Gebiet, so setzen wir

$d (f,Ω, G): = d (f,Ω, z)$ für ein $z \in G$ .

[Bearbeiten] Satz 1 (Produktsatz)

Seien $f, g \in C^0(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ und sei $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ offen und beschränkt. Wir setzen $E := f(\partial \Omega)$ . Mit $\{D_i\}_{i = 1, \ldots, N_0}, N_0 \in \{0, 1, \ldots, + \infty \}$ bezeichnen wir die beschränkten Zusammenhangskomponenten von $\mathbb{R}^n \setminus E$ . Schließlich wählen wir ein $z \in \mathbb{R}^n \setminus g(E)$ . Dann gilt die Identität

$d(g \circ f, \Omega, z) = \sum^{N_0}_{i = 1} d(f, \Omega, D_i) d(g, D_i, z),$

wobei die Reihe nur endlich viele nicht verschwindende Terme hat.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir setzen

$h(x) := g \circ f(x).$

Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz aus Kapitel I, §1 können wir Folgen $\{f_l(x)\}_{l = 1, 2, \ldots} \subset C^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ und $\{g_k(y)\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset C^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ wählen, die gleichmäßig auf jedem Kompaktum gegen $f (x)$ bzw. $g (x)$ konvergieren. Wir erklären noch die Funktionen

$h_k(x) := g_k \circ f(x), \quad h_{kl}(x) := g_k \circ f_l(x), \quad k, l \in \mathbb{N}.$

Damit folgen

$h_k(x) \to h(x)$ für $k \to \infty$

sowie

$h_{kl}(x) \to h_k(x)$ für $l \to \infty$

auf jedem Kompaktum.

2. Es gibt ein $\varepsilon > 0$ , so dass

$|h(x) - z| > \varepsilon, \quad |h_k(x) - z| > \varepsilon$ für alle $x \in \partial \Omega$ und alle $k \ge k_0(\varepsilon)$

richtig ist. Wir wählen nun eine zulässige Testfunktion $\omega \in C^0_0((0, \varepsilon), \mathbb{R})$ mit der Eigenschaft $\int\limits_{\mathbb{R}^n} \omega(|u|)\, du = 1$ . Dann gilt für alle $k \ge k_0(\varepsilon)$ und $l \ge l_0(k)$ die Identität

$d(h_k, \Omega, z) = d(h_{kl}, \Omega, z) = \int\limits_\Omega \omega(|h_{kl}(x) - z|) J_{h_{kl}}(x)\, dx$

$= \int\limits_\Omega \omega(|g_k(f_l(x)) - z|) J_{g_k}(f_l(x)) J_{f_l}(x)\, dx.$

Setzen wir

$\varphi_k(y) := \omega(|g_k(y) - z|) J_{g_k}(y) \in C^0_0(\mathbb{R}^n \setminus E)$ für $k \ge k_0$ ,

dann gilt

$d(h_k, \Omega, z) = \int\limits_\Omega \varphi_k(f_l(x)) J_{f_l}(x)\, dx = \sum^{N_0}_{i = 1} d(f, \Omega, D_i) \int\limits_{D_i} \varphi_k(y)\, dy$

für $k \ge k_0$ . Hierbei sind nur endlich viele Terme der Summe ungleich 0. Beachten wir noch

$\int\limits_{D_i} \varphi_k(y)\, dy = \int\limits_{D_i} \omega(|g_k(y) - z|) J_{g_k}(y)\, dy = d(g_k, D_i, z), \quad k \ge k_0,$

so folgt

$d(h_k, \Omega, z) = \sum^{N_0}_{i = 1} d(f, \Omega, D_i) d(g_k, D_i, z)$

Nun gibt es ein $k_1 \ge k_0$ , so dass

d (h k,Ω, z) = d (h,Ω, z)

für alle $k \ge k_1$

gilt. Weiter gibt es ein $k_2 \ge k_1$ , so dass

d (g k, D i, z) = d (g, D i, z)

für alle $k \ge k_1$ und alle $i = 1, \ldots, N_0$

richtig ist. Insgesamt erhalten wir

$d(h, \Omega, z) = \sum^{N_0}_{i = 1} d(f, \Omega, D_i) d(g, D_i, z).$

q.e.d.

[Bearbeiten] §6 Die Sätze von Jordan-Brouwer

[Bearbeiten] Satz 1 (Jordan-Brouwer)

Gegeben seien zwei homöomorphe kompakte Mengen $F$ und $F *$ im $\mathbb{R}^n$ . Dann gilt $N (F) = N (F *)$ .

[Bearbeiten] Beweis

Da $F$ und $F *$ homöomorph sind, gibt es eine topologische Abbildung $\hat f: F \to F^*$ mit der Umkehrabbildung $\hat f^{-1}: F^* \to F$ . Mit dem Tietzeschen Ergänzungssatz konstruieren wir Abbildungen $f, g \in C^0(\mathbb{R}^n)$ mit $f(x) = \hat f(x)$ für alle $x \in F$ und $g(y) = \hat f^{-1}(y)$ für alle $y \in F^*$ . Wir nehmen nun

$N := N(F) \neq N(F^*) =: N^*$

an und können ohne Einschränkung von $N * < N$ ausgehen. Somit ist $N *$ endlich. Wir bezeichnen mit $\{D_i\}_{i = 1, \ldots, N}$ und $\{D_i^*\}_{i = 1, \ldots, N^*}$ die beschränkten Zusammenhangskomponenten von $\mathbb{R}^n \setminus F$ bzw. $\mathbb{R}^n \setminus F^*$ . Ist $z \in D_k$ und $k \in \{1, \ldots, N^* + 1\}$ , so liefert der Produktsatz

$\delta_{ik} = d(g \circ f, D_i, D_k) = d(g \circ f, D_i, z) = \sum^{N^*}_{j = 1} \underbrace{d(f, D_i, D_j^*)}_{:= a_{ij}} \underbrace{d(g, D_j^*, z)}_{:= b_{jk}}$

$= \sum^{N^*}_{j = 1} a_{ij} b_{jk}$ für $i, k = 1, \ldots, N^* + 1$ .

Nun gibt es ein $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_{N^* + 1}) \in \mathbb{R}^{N^* + 1} \setminus \{0\}$ mit

$\sum^{N^* + 1}_{k = 1} b_{jk} \xi_k = 0$ für $j = 1, \ldots, N^*$ .

Somit erhalten wir in

$\xi_i = \sum^{N^*}_{j = 1} \sum^{N^* + 1}_{k = 1} a_{ij} b_{jk} = \sum^{N^*}_{j = 1} a_{ij} \left( \sum^{N^* + 1}_{k = 1} b_{jk} \xi_k \right) = 0, \quad i = 1, \ldots, N^* + 1$

einen Widerspruch. Die Annahme war also falsch, es gilt die Gleichheit.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Jordan-Brouwer)

Sei $S^* \subset \mathbb{R}^n$ homöomorph zur Einheitssphäre $S = \{x \in \mathbb{R}^n: |x| = 1\}$ mit der topologischen Abbildung $\hat f: S \to S^*$ . Dann zerlegt die topologische Sphäre

S *

den $\mathbb{R}^n$ in ein beschränktes Gebiet $G 1$ , das wir Innengebiet nennen und ein unbeschränktes Gebiet $G 2$ , das wir Außengebiet nennen. Für $\hat f$ gilt

$v(\hat f, S, z) = \left\{ \begin{matrix} \pm 1, & f\ddot ur\ z \in G_1 \\ 0, & f\ddot ur\ z \in G_2 \end{matrix} \right.$

[Bearbeiten] Beweis

Wie im Beweis von Satz 1 setzen wir die Abbildungen $\hat f: S \to S^*$ und $\hat f^{-1}: S^* \to S$ zu stetigen Abbildungen $f$ bzw. $g$ auf den $\mathbb{R}^n$ fort. Da die Sphäre $S$ den $\mathbb{R}^n$ in ein Innengebiet und ein Außengebiet zerlegt, folgt

N (S *) = N (S) = 1

nach Satz 1. Für die Abbildung $g \circ f$ gilt $g \circ f(x) = x$ für alle $x \in S$ . Der Produktsatz liefert

$1 = d(g \circ f, B, 0) = d(f, B, G_1) d(g, G_1, 0), \quad B := B_1(0).$

Aus der Ganzzahligkeit des Abbildungsgrades folgt für $z \in G_1$

$v(\hat f, S, z) = d(f, B, G_1) = \pm 1.$

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Gebietsinvarianz)

Sei $G \subset \mathbb{R}^n$ ein Gebiet und $f: G \to \mathbb{R}^n$ eine stetige, injektive Abbildung. Dann ist $G * : = f (G)$ wieder ein Gebiet.

[Bearbeiten] Beweis

Da $G$ zusammenhängend und $f$ stetig ist, folgt zunächst, dass $G * = f (G)$ zusammenhängend ist. Wir zeigen die Offenheit von $G *$ : Sei $z \in G$ beliebig und $\varrho > 0$ so klein gewählt, dass $\overline{B_\varrho(z)} \subset G$ erfüllt ist. Für die stetige, injektive Abbildung

$g(x) := f(x) - f(z), \quad x \in \overline{B_\varrho(z)}$

gilt $i(g, z) = \pm 1$ . Somit folgt

$d(f, B_\varrho(z), f(z)) = d(g, B_\varrho(z), 0) = \pm 1.$

Mit einem hinreichend kleinen $\varepsilon > 0$ gilt $|f(x) - f(z)| > \varepsilon$ für alle $x \in \partial B_\varrho(z)$ . Wir erhalten nun aus dem Homotopiesatz

$d(f, B_\varrho(z), \zeta) = d(f, B_\varrho(z), f(z)) = \pm 1$ für $|\zeta - f(z)| < \frac{\varepsilon}{2}$ .

Für alle $\zeta \in \mathbb{R}^n$ mit $|\zeta - f(z)| < \frac{\varepsilon}{2}$ existiert also ein $x \in B_\varrho(z)$ mit $f (x) = ζ$ . Das bedeutet $B_\frac{\varepsilon}{2}(f(z)) \subset f(G)$ . Somit ist $f$ eine offene Abbildung und die Menge $G * = f (G)$ ist ein Gebiet.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Jordan-Brouwer)

Jede topologische Sphäre $S^* \subset \mathbb{R}^n$ zerlegt den $\mathbb{R}^n$ in ein Innengebiet $G 1$ und ein Außengebiet $G 2$ , d. h.

$\mathbb{R}^n = G_1 \dot \cup S^* \dot \cup G_2$

und es gilt $\partial G_1 = S^* = \partial G_2$ .

[Bearbeiten] Beweis

Wir haben nur $\partial G_i = S^*$ für $i = 1,2$ zu zeigen. Sei $f: S \to S^*$ die topologische Abbildung und sei $\tilde x \in S^*$ ein beliebiger Punkt. Wir setzen dann $\xi := f^{-1}(\tilde x) \in S$ und betrachten die Mengen

$E := \{x \in S: |x - \xi| \le \varepsilon\}, \quad F := \{x \in S: |x - \xi| \ge \varepsilon\}$

mit $S = E \cup F$ . Gehen wir zu den Bildmengen $E * : = f (E)$ und $F * : = f (F)$ über, so folgt $S^* = E^* \cup F^*$ . Da $\mathbb{R}^n \setminus F$ zusammenhängend ist, bleibt nach Satz 1 auch $\mathbb{R}^n \setminus F^*$ zusammenhängend. Somit gibt es zu festen Punkten $a_1 \in G_1$ und $a_2 \in G_2$ einen stetigen Weg $π$ , der $a 1$ und $a 2$ verbindet und $F *$ nicht trifft. Da jedoch $S *$ die Gebiete $G 1$ und $G 2$ trennt, folgt $\pi \cap S^* \neq \emptyset$ und somit $\pi \cap E^* \neq \emptyset$ . Ist nun $a_1' \in \pi$ der erste Punkt von $a 1$ , der $E *$ trifft und $a_2' \in \pi$ der erste Punkt von $a 2$ , der $E *$ trifft, so wählen wir Punkte $a_i'' \in G_i$ für $i = 1,2$ auf $π$ mit $|a_i'' - a_i'| \le \varepsilon$ . Lassen wir nun $\varepsilon \downarrow 0$ sächsischen erhalten wir Punktfolgen $\{a''_{i, j}\}_{j = 1, 2, \ldots} \subset G_i, i = 1, 2$ mit