Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] §1 Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

[Bearbeiten] Definition 1

Auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{C} sei die Funktion f = f(z): \Omega \to \mathbb{C} erklärt und z_0 \in \Omega sei ein beliebiger Punkt. Dann heißt f komplex differenzierbar im Punkt z0, wenn der Grenzwert
\lim_{z \to z_0 \atop z \neq z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} =: f'(z_0)
existiert. Wir nennen f'(z0) die komplexe Ableitung der Funktion f an der Stelle z0. Falls f'(z) für alle z \in \Omega existiert und die Funktion f': \Omega \to \mathbb{C} stetig ist, nennen wir f holomorph in Ω.

[Bearbeiten] §2 Holomorphe Funktionen im \mathbb{C}^n

[Bearbeiten] Satz 1 (Cauchy, Riemann)

Seien \Omega \subset \mathbb{C} ein einfach zusammenhängendes Gebiet und f \in C^1(\Omega, \mathbb{C}). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) f ist in Ω holomorph;
(b) Realteil und Imaginärteil von f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y) erfüllen das Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungssystem
(1) \frac{\partial u(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial v(x, y)}{\partial y}, \quad \frac{\partial u(x, y)}{\partial y} = - \frac{\partial v(x, y)}{\partial x} in Ω;
(c) Für jede geschlossene Kurve X \in \mathcal C(\Omega, P, P) mit P \in \Omega gilt
\int\limits_X f(z)\, dz = 0;
(d) es gibt eine holomorphe Funktion F: \Omega \to \mathbb{C} mit
F'(z) = f(z), \quad z \in \Omega,
also eine Stammfunktion F von f.

[Bearbeiten] Beweis

1. Die Äquivalenz (a) \Leftrightarrow (b) wurde bereits gezeigt.

2. Wir zeigen (b) \Leftrightarrow (c). Offenbar ist

\int\limits_X f(z)\, dz = 0 für alle X \in \mathcal C(\Omega)

genau dann erfüllt, wenn gilt

\int\limits_X \omega_1 = 0, \quad \int\limits_X \omega_2 = 0 für alle X \in \mathcal C(\Omega).

Dies ist wiederum äquivalent zu

d\omega_1 = 0, \quad d\omega_2 = 0 in Ω

bzw. zu (1).

3. Wir beweisen nun (c) \Rightarrow (d). Es ist dann (c) äquivalent zur Existenz von Funktionen U, V \in C^1(\Omega, \mathbb{R}) mit den Eigenschaften

dU(x, y) = \omega_1(x, y), \quad dV(x, y) = \omega_2(x, y) in Ω

bzw.

(2) \begin{matrix} U_x(x, y) = u(x, y), \quad U_y(x, y) = - v(x, y), \\ V_x(x, y) = v(x, y), \quad V_y(x, y) = u(x, y). \end{matrix}

Die Gleichungen (2) sind nun äquivalent zu

(3) \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \Bigl( U(x, y) + iV(x, y) \Bigr) = u(x, y) + iv(x, y) = f(x, y), \\ \frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial y} \Bigl( U(x, y) + iV(x, y) \Bigr) = u(x, y) + iv(x, y) = f(x, y). \end{matrix}

Wir erhalten also mit F = U + iV eine holomorphe Funktion in Ω mit

F'(z) = \frac{\partial}{\partial x} F(x, y) = f(z), \quad z \in \Omega.

4. Schließlich zeigen wir noch (d) \Rightarrow (c). Sei X \in \mathcal C(\Omega), dann gilt

\int\limits_X f(z)\, dz = \int\limits^b_a f \Bigl( X(t) \Bigr) X'(t)\, dt = \int\limits^b_a \frac{d}{dt} F\Bigl( X(t) \Bigr)\, dt
= F\Bigl( X(b) \Bigr) - F\Bigl( X(a) \Bigr) = 0

wegen X(a) = X(b).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Monodromiesatz)

Seien \Omega \subset \mathbb{C} ein Gebiet und P, Q \in \Omega zwei beliebige Punkte. Weiter seien X, Y \in \mathcal C(\Omega, P, Q) zwei zueinander homotope Kurven mit festem Anfangspunkt P \in \Omega und Endpunkt Q \in \Omega. Ist nun f: \Omega \to \mathbb{C} holomorph, dann gilt
\int\limits_X f(z)\, dz = \int\limits_Y f(z)\, dz.

[Bearbeiten] Satz 3 (Cauchy, Weierstraß)

Seien \Omega \subset \mathbb{C} ein Gebiet, z_0 \in \Omega sowie r > 0 so gegeben, dass die offene Kreisscheibe
K = K_r(z_0) := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: |z - z_0| < r \Bigr\}
die Inklusion K \subset \subset \Omega erfüllt. Weiter sei f \in C^1(\Omega, \mathbb{C}). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) f(z) ist in K holomorph;
(b) es gilt die Cauchysche Integralformel
f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial K} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta
für alle z \in K mit ζ = ξ + iη, wobei das Integral über die positiv orientierte Kreislinie zu verstehen ist;
(c) es gilt
f(z) = \sum^\infty_{k = 0} a_k (z - z_0)^k, \quad z \in K
mit den Koeffizienten
a_k := \frac{1}{k!} f^{(k)}(z_0), \quad k = 0, 1, 2, \ldots.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir zeigen die Richtung (a) \Rightarrow (b). Die Funktion

g(\zeta) := \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}, \quad \zeta \in K \setminus \{z\}

ist in ihrem Definitionsbereich holomorph. Weiter sind für alle hinreichend kleinen \varepsilon > 0 die Kurven

X(t) := z + \varepsilon e^{it}, \quad 0 \le t \le 2\pi

und

Y(t) := z_0 + r e^{i\varphi}, \quad 0 \le \varphi \le 2\pi

in \overline{K} \setminus \{z\} zueinander homotop. Somit folgt

\oint\limits_{\partial K} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta = \int\limits_Y g(\zeta)\, d\zeta = \int\limits_X g(\zeta)\, d\zeta = \int\limits_0^{2\pi} \frac{f(z + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon e^{it}} i \varepsilon e^{it}\, dt
= i \int\limits_0^{2\pi} f(z + \varepsilon e^{it})\, dt.

Für \varepsilon \to 0+ erhalten wir somit

\oint\limits_{\partial K} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta = 2\pi if(z)

und

f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial K} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta für alle z \in K.

2. Wir zeigen (b) \Rightarrow (c). Für alle z \in K, \zeta \in \partial K gilt

\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{(\zeta - z_0) - (z - z_0)} = \frac{1}{\zeta - z_0} \frac{1}{1 - \frac{z - z_0}{\zeta - z_0}}.

Nun ist

\left| \frac{z - z_0}{\zeta - z_0} \right| < 1,

so dass wir den Bruch in die gleichmäßig konvergente geometrische Reihe

\frac{1}{\zeta - z_0} \sum^\infty_{k = 0} \left( \frac{z - z_0}{\zeta - z_0} \right)^k = \frac{1}{(\zeta - z_0)^{k + 1}} (z - z_0)^k

entwickeln können. Daraus folgt

f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial K} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta = \frac{1}{2\pi i} \sum^\infty_{k = 0} \left( \oint\limits_{\partial K} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{k + 1}}\, d\zeta \right) (z - z_0)^k
= \sum^\infty_{k = 0} a_k (z - z_0)^k

mit den Koeffizienten

a_k := \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial K} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{k + 1}}\, d\zeta = \frac{1}{k!} f^{(k)}(z_0), \quad k = 0, 1, 2, \ldots .

3. Die Richtung (c) \Rightarrow (a) wurde bereits gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen)

Auf dem Gebiet \Omega \subset \mathbb{C} seien die beiden holomorphen Funktionen f, g: \Omega \to \mathbb{C} gegeben. Weiter sei \{z_k\}_{k = 1, 2, \ldots} eine konvergente Folge mit
\lim_{k \to \infty} z_k = z_0 \in \Omega.
Schließlich sei
f(z_k) = g(z_k), \quad k = 1, 2, \ldots
erfüllt. Dann folgt
f(z) \equiv g(z) in Ω.

[Bearbeiten] Beweis

Wir nehmen an, dass die holomorphe Funktion h(z): = f(z) − g(z) nicht identisch verschwindet. Im Punkt z_0 \in \Omega entwickeln wir h = h(z) in eine Potenzreihe

h(z) = \sum^\infty_{k = 0} a_k (z - z_0)^k, \quad z \in K_\varrho(z_0), \quad \varrho := \operatorname{dist}\, (z_0, \partial \Omega).

Wegen h(z0) = 0 gibt es ein n \in \mathbb{N} mit a_n \neq 0, so dass

h(z) = a_n (z - z_0)^n \Bigl\{ 1 + \alpha(z) \Bigr\} mit \lim_{z \to z_0} \alpha(z) = 0

gilt. Für hinreichend kleines \varrho > 0 erhalten wir

|h(z)| \ge |a_n||z - z_0|^n \left( 1 - \frac{1}{2} \right) = \frac{|a_n|}{2} |z - z_0|^n, \quad z \in K_\varrho(z_0).

Somit folgt

h(z) \neq 0 für alle z \in K_\varrho(z_0) \setminus \{z_0\}

im Widerspruch zu

h(z_k) = f(z_k) - g(z_k) = 0, \quad k = 1, 2, 3, \ldots .

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 1

Eine im Gebiet \Omega \subset \mathbb{C}^n, n \in \mathbb{N} erklärte Funktion
w = f(z) = f(z_1, \ldots, z_n): \Omega \to \mathbb{C}, \quad (z_1, \ldots, z_n) \in \Omega
nennen wir holomorph, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(a) es ist f \in C^0(\Omega, \mathbb{C});
(b) für jedes feste (z_1, \ldots, z_n) \in \Omega und k \in \{1, \ldots, n\} ist die Funktion
\Phi(t) := f(z_1, \ldots, z_{k - 1}, t, z_{k + 1}, \ldots, z_n), \quad t \in K_{\varepsilon_k}(z_k)
mit
K_{\varepsilon_k}(z_k) := \Bigl\{ t \in \mathbb{C}: |t - z_k| < \varepsilon_k \Bigr\}
bei hinreichend kleinem \varepsilon_k = \varepsilon_k(z) > 0 holomorph.

[Bearbeiten] Satz 5 (Cauchysche Integralformel im \mathbb{C}^n)

Im Gebiet \Omega \subset \mathbb{C}^n sei die Funktion f = f(z_1, \ldots, z_n): \Omega \to \mathbb{C} holomorph. Mit z^0 = (z_1^0, \ldots, z_n^0) \in \Omega und R_1, \ldots, R_n > 0 sei auch der Polyzylinder
P := \Bigl\{ z = (z_1, \ldots, z_n): |z_k - z_k^0| < R_k, k = 1, \ldots, n \Bigr\}
kompakt in Ω enthalten, d. h. es gilt \overline{P} \subset \Omega. Für alle z = (z_1, \ldots, z_n) \in P gilt dann die Integraldarstellung
f(z_1, \ldots, z_n) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint\limits_{|\zeta_1 - z_1^0| = R_1} \ldots \oint\limits_{|\zeta_n - z_n^0| = R_n} \frac{f(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)}{(\zeta_1 - z_1) \cdot \ldots \cdot (\zeta_n - z_n)}\, d\zeta_1 \ldots d\zeta_n
= \frac{1}{(2\pi i)^n} \int\limits_0^{2\pi} \ldots \int\limits_0^{2\pi} \frac{f(z_1^0 + R_1 e^{it_1}, \ldots, z_n^0 + R_n e^{it_n})}{(z_1^0 + R_1 e^{it_1} - z_1) \cdot \ldots \cdot (z_n^0 + R_n e^{it_n} - z_n)} \cdot (i R_1 e^{it_1}) \cdot \ldots \cdot (i R_n e^{it_n})\, dt_1 \ldots dt_n.

[Bearbeiten] Beweis

Die Funktion f = f(z) ist holomorph bezüglich der Veränderlichen z_1, \ldots, z_n. Wir berechnen also

f(z_1, \ldots, z_n) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta_1 - z_1^0| = R_1} \frac{f(\zeta_1, z_2, \ldots, z_n)}{\zeta_1 - z_1} d\zeta_1
= \frac{1}{(2\pi i)^2} \oint\limits_{|\zeta_1 - z_1^0| = R_1} \frac{d\zeta_1}{\zeta_1 - z_1} \oint\limits_{|\zeta_2 - z_2^0| = R_2} \frac{f(\zeta_1, \zeta_2, z_3, \ldots, z_n)}{\zeta_2 - z_2}\, d\zeta_2
\vdots
= \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint\limits_{|\zeta_1 - z_1^0| = R_1} \ldots \oint\limits_{|\zeta_n - z_n^0| = R_n} \frac{f(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)}{(\zeta_1 - z_1) \cdot \ldots \cdot (\zeta_n - z_n)}\, d\zeta_1 \ldots d\zeta_n

Führen wir Polarkoordinaten ein, so folgt auch die zweite Darstellung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 6 (Liouville)

Sei f(z_1, \ldots, z_n): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C} holomorph und es gebe eine Konstante M \in [0, + \infty), so dass
|f(z_1, \ldots, z_n)| \le M für alle (z_1, \ldots, z_n) \in \mathbb{C}^n
gilt. Dann gibt es ein c \in \mathbb{C}, so dass
f(z_1, \ldots, z_n) \equiv c auf dem \mathbb{C}^n
richtig ist. Also ist jede beschränkte ganze holomorphe Funktion konstant.

[Bearbeiten] Beweis

Man kann f = f(z) auf dem \mathbb{C}^n um z_1 = \ldots = z_n = 0 in die Potenzreihe

f(z_1, \ldots\ldots, z_n) = \sum^\infty_{k_1, \ldots, k_n = 0} a_{k_1 \ldots k_n} z_1^{k_1} \cdot \ldots \cdot z_n^{k_n}

entwickeln. Wählen wir den Polyzylinder

P := \Bigl\{ (z_1, \ldots, z_n) \in \mathbb{C}^n: |z_j| < R, j = 1, \ldots, n \Bigr\} \subset \mathbb{C}^n,

so liefern die Cauchyschen Abschätzungsformeln

|a_{k_1 \ldots k_n}| \le \frac{M}{R^{k_1 + \ldots + k_n}} \to 0 für R \to \infty

für alle (k_1, \ldots, k_n) \in \mathbb{N}^n mit k_1 + \ldots + k_n > 0. Somit folgt

f(z_1, \ldots, z_n) = a_{0 \ldots 0} =: c \in \mathbb{C} für alle (z_1, \ldots, z_n) \in \mathbb{C}^n.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 7 (Identitätssatz im \mathbb{C}^n)

Im Gebiet \Omega \subset \mathbb{C}^n seien die Funktionen f(z): \Omega \to \mathbb{C} und g(z): \Omega \to \mathbb{C} holomorph. Weiter sei z^0 = (z_1^0, \ldots, z_n^0) \in \Omega ein fester Punkt, an welchem
\left( \frac{\partial}{\partial \zeta_1} \right)^{k_1} \ldots \left( \frac{\partial}{\partial \zeta_n} \right)^{k_n} f(\zeta_1, \ldots, \zeta_n) \Bigl|_{\zeta = z^0} = \left( \frac{\partial}{\partial \zeta_1} \right)^{k_1} \ldots \left( \frac{\partial}{\partial \zeta_n} \right)^{k_n} g(\zeta_1, \ldots, \zeta_n) \Bigr|_{\zeta = z^0}
für k_1, \ldots, k_n = 0, 1, 2, \ldots erfüllt ist. Dann folgt
f(z) \equiv g(z) für alle z \in \Omega.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die Funktion

h(z) := f(z) - g(z), \quad z \in \Omega

und die nicht leere Menge

\Theta := \left\{ z \in \Omega: \left( \frac{\partial}{\partial \zeta_1} \right)^{k_1} \ldots \left( \frac{\partial}{\partial \zeta_n} \right)^{k_n} h(\zeta) \Bigl|_{\zeta = z} = 0, k_1, \ldots, k_n = 0, 1, 2, \ldots \right\}.

Diese Menge ist offenbar abgeschlossen und auch offen, denn in jedem Punkt z \in \Theta ist h = h(z) in eine verschwindende Potenzreihe entwickelbar. Verbinden wir nun einen beliebigen Punkt z^1 \in \Omega mit dem Punkt z^0 \in \Theta durch einen Weg \varphi: [0, 1] \to \Omega \in C^0([0,1], \Omega) mit \varphi(0) = z^0 und \varphi(1) = z^1, so liefert ein Fortsetzungsargument \varphi([0, 1]) \subset \Theta, denn die Menge Θ ist abgeschlossen und offen. Somit folgen z^1 = \varphi(1) \in \Theta und damit Θ = Ω. Dieses liefert h(z) \equiv 0 in Ω, also f(z) \equiv g(z) in Ω.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 8 (Holomorphe Parameterintegrale)

Voraussetzungen: Seien \Theta \subset \mathbb{R}^m und \Omega \subset \mathbb{C}^n Gebiete mit m, n \in \mathbb{N}. Ferner sei
f = f(t, z) = f(t_1, \ldots, t_m, z_1, \ldots, z_n): \Theta \times \Omega \to \mathbb{C} \in C^0(\Theta \times \Omega, \mathbb{C})
eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(a) Für jedes feste t \in \Theta ist
\Phi(z) := f(t, z), \quad z \in \Omega
holomorph.
(b) Es gibt eine stetige Funktion F(t): \Theta \to [0, + \infty) \in C^0(\Theta, \mathbb{R}) mit
\int\limits_\Theta F(t)\, dt < + \infty,
welche die Funktion f = f(t,z) gleichmäßig majorisiert, d. h. es gilt
|f(t, z)| \le F(t) für alle (t, z) \in \Theta \times \Omega.
Behauptung: Dann ist die Funktion
\varphi(z) := \int\limits_\Theta f(t, z)\, dt, \quad z \in \Omega
holomorph in Ω.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei Q ein abgeschlossener Quader mit Q \subset \Theta, so zeigen wir, dass die Funktion

\Psi(z) := \int\limits_Q f(t, z)\, dt, \quad z \in \Omega

holomorph ist. Hierzu zerlegen wir den Quader Q mittels

\mathcal{Z}_k: Q = \bigcup_{l = 1}^{N_k} Q_l

in Teilquader, deren Feinheitsmaß \delta(\mathcal{Z}_k) \to 0 für k \to \infty erfüllt. Ist nun K \subset \Omega eine beliebige kompakte Menge, so gibt es zu jedem \varepsilon > 0 ein k_0 = k_0(\varepsilon) \in \mathbb N, so dass für alle k \ge k_0 die Abschätzung

\left| \Psi(z) - \sum^{N_k}_{l = 1} f \Bigl( t^{(l)}, z \Bigr) |Q_l| \right| = \left| \int\limits_Q f(t, z)\, dt - \sum^{N_k}_{l = 1} f \Bigl( t^{(l)}, z \Bigr) |Q_l| \right| \le \varepsilon

für alle z \in K mit t^{(l)} \in Q_l gilt. Auf einem Kompaktum ist die stetige Funktion f = f(t,z) nämlich gleichmäßig stetig. Die Folge holomorpher Funktionen

\Psi_k(z) := \sum^{N_k}_{l = 1} f \Bigl( t^{(l)}, z \Bigr) |Q_l|, \quad z \in \Omega, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

konvergiert auf jedem Kompaktum K \subset \Omega gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

\Psi(z) := \int\limits_Q f(t, z)\, dt, \quad z \in \Omega.

2. Wir schöpfen nun die offene Menge Θ durch eine Folge R_1 \subset R_2 \subset \ldots \subset \Theta aus, wobei jede Menge Rk Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Quader in Θ ist. Nach dem ersten Punkt ist für jedes k \in \mathbb{N} die Funktion

\varphi_k(z) := \int\limits_{R_k} f(t, z)\, dt, \quad z \in \Omega

holomorph. Weiter gilt bei beliebig vorgegebenem \varepsilon > 0

\int\limits_{\Theta \setminus R_k} F(t)\, dt \le \varepsilon für alle k \ge k(\varepsilon).

Somit folgt für alle z \in \Omega die Ungleichung

|\varphi(z) - \varphi_k(z)| = \left| \int\limits_{\Theta \setminus R_k} f(t, z)\, dt \right| \le \int\limits_{\Theta \setminus R_k} F(t)\, dt \le \varepsilon

für k \ge k(\varepsilon). Die Folge holomorpher Funktionen \varphi_k = \varphi_k(z), k = 1, 2, 3, \ldots konvergiert also gleichmäßig gegen die holomorphe Funktion

\varphi(z) = \int\limits_\Theta f(t, z)\, dt, \quad z \in \Omega,

womit alles gezeigt ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] §3 Geometrisches Verhalten von holomorphen Funktionen in \mathbb{C}

[Bearbeiten] Satz 1 (Gebietstreue)

Seien G \subset \mathbb{C} ein Gebiet und w = f(z): G \to \mathbb{C}, z \in G eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann ist die Bildmenge
G^* := f(G) = \Bigl\{ w = f(z): z \in G \Bigr\}
wieder ein Gebiet in \mathbb{C}.

[Bearbeiten] Beweis

Man übertrage den Beweis aus Kapitel III, §6, Satz 3 und beachte, dass lokal die Funktion f = f(z) in einem beliebigen Punkt z_0 \in G die Entwicklung

f(z) = f(z0) + an(z − z0)n + o( | z − z0 | n) mit a_n \in \mathbb{C} \setminus \{0\}

besitzt. Somit erfüllt die Funktion

g(z) := f(z) - f(z_0), \quad |z - z_0| \le \varrho

die Bedingungen

i(g, z_0) = n \neq 0 und g(z) \neq 0

für alle z \in \mathbb{C} mit |z - z_0| = \varrho; dabei ist \varrho > 0 hinreichend klein gewählt. Die Argumente im o. a. Beweis liefern dann die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Maximumsprinzip)

In einem Gebiet G \subset \mathbb{C} sei die nicht konstante holomorphe Funktion f: G \to \mathbb{C} gegeben. Dann gilt für alle z \in G die Ungleichung
|f(z)| < \sup_{\zeta \in G} |f(\zeta)| =: M.

[Bearbeiten] Beweis

Falls M = + \infty gilt, so ist nichts zu zeigen. Es sei also M < + \infty erfüllt. Sei nun z \in G beliebig gewählt, dann existiert ein δ = δ(z) > 0, so dass für die Kreisscheibe

B_\delta(f(z)) := \Bigl\{ w \in \mathbb{C}: |w - f(z)| < \delta \Bigr\}

die Inklusion

B_\delta(f(z)) \subset G^*

gemäß Satz 1 richtig ist. Somit folgt mit

M := \sup_{\zeta \in G} |f(\zeta)| \ge \sup_{w \in B_\delta(f(z))} |w| = |f(z)| + \delta > |f(z)|

die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 1

Auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{C} heißt die Funktion f: \Omega \to \mathbb{C} antiholomorph, falls die Funktion
g(z) := \overline{f(z)}, \quad z \in \Omega
holomorph in Ω ist.

[Bearbeiten] Satz 3 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip)

In der oberen Halbebene sei die offene Menge \Omega^+ \subset \mathbb{H}^+ so gegeben, dass
\Gamma := \partial \Omega^+ \cap \mathbb{R} \subset \mathbb{R}
eine nicht leere offene Menge darstellt. Weiter erklären wir die offene Menge
\Omega^- := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: \overline{z} \in \Omega^+ \Bigr\} \subset \mathbb{H}^-
und setzen
\Omega := \Omega^+ \dot \cup \Gamma \dot \cup \Omega^-.
Schließlich sei die Funktion f: \Omega^+ \cup \Gamma \to \mathbb{C} \in C^1(\Omega^+) \cap C^0(\Omega^+ \cup \Gamma) holomorph in Ω + und erfülle f(\Gamma) \subset \mathbb{R}. Dann ist die Funktion
F(z) := \begin{cases} f(z), & z \in \Omega^+ \cup \Gamma \\ \overline{f(\overline{z})}, & z \in \Omega^- \end{cases}
holomorph in Menge Ω.

[Bearbeiten] Beweis

1. Offenbar gilt F \in C^1(\Omega^+ \cup \Omega^-). Für alle z \in \Omega^- berechnen wir

F_{\overline{z}}(z) = \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \{\tau \circ f \circ \tau\}(z) = (\tau \circ f)_w \Bigl|_{\tau(z)} \tau_{\overline{z}} + (\tau \circ f)_{\overline{w}} \Bigl|_{\tau(z)} \overline{\tau}_{\overline{z}}
= (\tau \circ f)_w \Big|_{\tau(z)} = \tau_\zeta \Bigl|_{f \circ \tau(z)} f_w \Bigr|_{\tau(z)} + \tau_{\overline{\zeta}} \Bigl|_{f \circ \tau(z)} \overline{f}_w \Bigr|_{\tau(z)} = 0.

Also ist F = F(z) holomorph in \Omega^+ \cup \Omega^-.

2. Weiter ist F = F(z) stetig in Ω + , also insbesondere auf Γ. Seien nun z_0 \in \Gamma beliebig gewählt und \{z_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \Omega^- eine Punktfolge mit der Eigenschaft

\lim_{k \to \infty} z_k = z_0.

Dann folgt

\lim_{k \to \infty} F(z_k) = \lim_{k \to \infty} \overline{f(\overline{z}_k)} = \overline{f(\overline{z}_0)} = \overline{f(z_0)} = f(z_0) = F(z_0),

wobei wir beachten, dass f = f(z) in \Omega^+ \cup \Gamma stetig ist.

3. Wir haben noch die Holomorphie von F = F(z) auf Ω zu zeigen. Sei dazu z_0 \in \Gamma ein beliebiger Punkt, so betrachten wir die Halbkreise

H^\pm_\varepsilon := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: |z - z_0| < \varrho, \pm \operatorname{Im}\, z > \varepsilon \Bigr\} \subset \Omega^\pm

mit hinreichend kleinem, festem \varrho > 0 und \varepsilon \to 0+. Mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel stellen wir folgendes fest: Für jedes z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} mit |z - z_0| < \varrho gibt es ein hinreichend kleines \varepsilon = \varepsilon(z) > 0 mit der Eigenschaft

F(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial H^+_\varepsilon} \frac{F(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta + \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{\partial H^-_\varepsilon} \frac{F(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta.

Im Grenzübergang \varepsilon \to 0+ heben sich die Integrale auf der reellen Achse gegenseitig weg und wir erhalten

F(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta - z_0| = \varrho} \frac{F(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta, \quad |z - z_0| < \varrho.

Aus dieser Darstellung erhalten wir schließlich die Holomorphie von F = F(z) um den Punkt z_0 \in \Gamma.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

Eine Menge O \subset \overline{\mathbb{C}} := \mathbb{C} \cup \{\infty\} nennen wir offen, falls für jeden Punkt z_0 \in O eine Kugel K_\varepsilon(z_0) mit hinreichend kleinem Radius \varepsilon > 0 existiert, so dass
K_\varepsilon(z_0) \subset O
erfüllt ist. Wie üblich ist dabei
K_\varepsilon(z_0) := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: |z - z_0| < \varepsilon \Bigr\}
für alle z \in \overline{\mathbb{C}} und \varepsilon > 0 gemeint.

[Bearbeiten] Definition 3

Seien \Omega \subset \overline{\mathbb{C}} eine offene Menge und f: \Omega \to \overline{\mathbb{C}} eine Funktion. Dann heißt f = f(z) stetig im Punkt z_0 \in \Omega, falls es zu jedem \varepsilon > 0 ein \delta = \delta(\varepsilon, z_0) > 0 gibt, so dass
f \Bigl( K_\delta(z_0) \Bigr) \subset K_\varepsilon \Bigl( f(z_0) \Bigr)
erfüllt ist. Falls f = f(z) in jedem Punkt z_0 \in \Omega stetig ist, nennen wir die Funktion stetig in Ω.

[Bearbeiten] §4 Isolierte Singularitäten und der allgemeine Residuensatz

[Bearbeiten] Satz 1 (Allgemeiner Residuensatz)

Voraussetzungen:
I. Sei G \subset \mathbb{C} ein beschränktes Gebiet, dessen Randpunkte \dot G aus dem Äußeren erreichbar sind, d. h. für alle z_0 \in \dot G gibt es eine Folge \{z_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \mathbb{C} \setminus \overline{G} mit
\lim_{k \to \infty} z_k = z_0.
Weiter gebe es J \in \mathbb{N} reguläre C1-Kurven
X^{(j)}(t): [a_j, b_j] \to \mathbb{C} \in C^1([a_j, b_j], \mathbb{C}), \quad j = 1, \ldots, J
mit den Eigenschaften
X^{(j)} \Bigl( (a_j, b_j) \Bigr) \cap X^{(k)} \Bigl( (a_k, b_k) \Bigr) = \emptyset, \quad j, k \in \{1, \ldots, J\}, \quad j \neq k
sowie
\dot G = \bigcup^J_{j = 1} X^{(j)} \Bigl( [a_j, b_j] \Bigr).
Schließlich liege das Gebiet G zur Linken der Kurven, d. h.
-i \left| \frac{d}{dt} X^{(j)}(t) \right|^{- 1} \frac{d}{dt} X^{(j)}(t), \quad t \in (a_j, b_j), \quad j = 1, \ldots, J
stellt den äußeren Normalenvektor an das Gebiet G dar. Das Gesamtintegral über diese Kurven bezeichnen wir mit \int\limits_{\partial G} \ldots .
II. Seien ferner N singuläre Punkte (bzw. N = 0, also keine singulären Punkte) \zeta_j \in G, j = 1, \ldots, N mit N \in \mathbb{N}_0 gegeben, so erklären wir die Mengen
G' := G \setminus \{\zeta_1, \ldots, \zeta_N\} sowie \overline{G}' := \overline{G} \setminus \{\zeta_1, \ldots, \zeta_N\}.
III. Sei f = f(z): \overline{G}' \to \mathbb{C} \in C^1(G', \mathbb{C}) \cap C^0(\overline{G}', \mathbb{C}) eine Funktion, welche der inhomogenen Cauchy-Riemann-Gleichung
(1) \frac{\partial}{\partial \overline{z}} f(z) = g(z) für alle z \in G'
genügt.
IV. Schließlich sei
\iint\limits_{G'} |g(z)|\, dxdy < + \infty
für die rechte Seite der Differentialgleichung (1) erfüllt.
Behauptung: Dann existieren die Limites
(2) \operatorname{Res}\, (f, \zeta_k) := \lim_{\varepsilon \to 0+} \left\{ \frac{\varepsilon}{2\pi} \int\limits^{2\pi}_0 f(\zeta_k + \varepsilon e^{i \varphi}) e^{i \varphi} \, d\varphi \right\}
für k = 1, \ldots, N und es gilt
(3) \int\limits_{\partial G} f(z)\, dz - 2i \iint\limits_{G'} g(z)\, dxdy = 2\pi i \sum^N_{k = 1} \operatorname{Res}\, (f, \zeta_k).

[Bearbeiten] Beweis

Wir wenden den Gaußschen Integralsatz an auf das Gebiet

G_\varepsilon := \Bigl\{ z \in G: |z - \zeta_k| > \varepsilon_k, k = 1, \ldots, N \Bigr\}

mit \varepsilon = (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_N) und \varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_N > 0. Mit f(z) = u(x,y) + iv(x,y) sowie

\partial G_\varepsilon: z(t) = x(t) + iy(t), \quad t \in [a_k, b_k], \quad k = 1, \ldots, K = J + N

erhalten wir

\int\limits_{\partial G_\varepsilon} f(z)\, dz = \int\limits_{\partial G_\varepsilon} (u + iv)\, (dx + idy) = \int\limits_{\partial G_\varepsilon} (u\, dx - v\, dy) + i \int\limits_{\partial G_\varepsilon} (v\, dx + u\, dy)
= \sum^K_{k = 1} \int\limits^{b_k}_{a_k} (ux' - vy')\, dt + i \sum^K_{k = 1} \int\limits^{b_k}_{a_k} (vx' - uy')\, dt.

Für die äußere Normale an das Gebiet G_\varepsilon gilt nun

\xi(z(t)) = - i \Bigl\{ x'(t)^2 + y'(t)^2 \Bigr\}^{- \frac{1}{2}} \Bigl\{ x'(t) + iy'(t) \Bigr\}
= \Bigl\{ x'(t)^2 + y'(t)^2 \Bigr\}^{- \frac{1}{2}} \Bigl( y'(t) - x'(t) \Bigr)

mit t \in (a_k, b_k) für k = 1, \ldots, K. Somit folgt mit dem Gaußschen Integralsatz

\int\limits_{\partial G_\varepsilon} f(z)\, dz = \sum^K_{k = 1} \int\limits^{b_k}_{a_k} \Bigl\{ (-v, -u) \cdot \xi \Bigr\} \Bigl|_{z(t)}\, d\sigma(t) + i \sum^K_{k = 1} \int\limits^{b_k}_{a_k} \Bigl\{ (u, -v) \cdot \xi \Bigr\} \Bigl|_{z(t)}\, d\sigma(t)
\iint\limits_{\partial G_\varepsilon} (-v_x - u_y + iu_x - iv_y)\, dxdy

mit dem Linienelement

d\sigma(t) = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\, dt.

Beachten wir nun

2if_{\overline z} = i(f_x + if_y) = - f_y + if_x = - u_y - iv_y + iu_x - v_x,

so folgt

(4) \int\limits_{\partial G} f(z)\, dz - 2i \iint\limits_{G_\varepsilon} f_{\overline z}(z)\, dxdy = \sum^N_{k = 1} \oint\limits_{|z - \zeta_k| = \varepsilon_k} f(z)\, dz.

Hierbei wird auf der rechten Seite über die positive orientierten Kreislinien integriert. Da wir nun auf der linken Seite in (4) für jedes k \in \{1, \ldots, N\} den Grenzübergang \varepsilon_k \to 0+ durchführen können, so existiert der Grenzwert auf der rechten Seite, d. h. es gilt

\lim_{\varepsilon_k \to 0+} \oint\limits_{|z - \zeta_k| = \varepsilon_k} f(z)\, dz \in \mathbb C.

Insbesondere berechnen wir

\lim_{\varepsilon_k \to 0+} \oint\limits_{|z - \zeta_k| = \varepsilon_k} f(z)\, dz = \lim_{\varepsilon_k \to 0+} \left\{ \varepsilon_k \int\limits^{2\pi}_0 f(\zeta_k + \varepsilon e^{i \varphi}) e^{i \varphi} \, d\varphi \right\}
= 2\pi i \lim_{\varepsilon_k \to 0+} \left\{ \frac{\varepsilon_k}{2\pi} \int\limits^{2\pi}_0 f(\zeta_k + \varepsilon_k e^{i \varphi}) e^{i \varphi} \, d\varphi \right\} = 2\pi i \operatorname{Res}\, (f, \zeta_k)

für k = 1, \ldots, N. Beim Grenzübergang \varepsilon \to 0 in (4) erhalten wir

\int\limits_G f(z)\, dz - 2i \iint\limits_{G'} g(z)\, dxdy = 2\pi i \sum^N_{k = 1} \operatorname{Res}\, (f, \zeta_k)

und damit die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 1

Wir nennen \operatorname{Res}\, (f, \zeta_k) aus (2) das Residuum von f an der Stelle ζk.

[Bearbeiten] Definition 2

Wir bezeichnen Gebiete G \subset \mathbb C, die der Voraussetzung I. von Satz 1 genügen, als Normalgebiete.

[Bearbeiten] Satz 2 (Integraldarstellung)

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Zusätzlich genüge die Funktion f = f(z) der Bedingung
(5) \sup_{z \in G'} |f(z)| < + \infty.
Dann gilt die Integraldarstellung
(6) f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta - \frac{1}{\pi} \int\limits_{G''} \frac{g(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in G',
wobei wir G'' := G' \setminus \{z\} und ζ = ξ + iη benutzen.

[Bearbeiten] Beweis

Für ein festes z \in G' wenden wir Satz 1 auf die Funktion

h(\zeta) := \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}, \quad \zeta \in G''

an. Dann berechnen wir

\int\limits_{\partial G} h(\zeta)\, d\zeta - 2i \iint\limits_{G''} h_{\overline \zeta}(\zeta)\, d\xi d\eta = 2\pi i \sum^N_{k = 1} \operatorname{Res}\, (h, \zeta_k) + 2\pi i \operatorname{Res}\, (h, z) = 2\pi i f(z).

Also folgt

f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta - \frac{1}{\pi} \int\limits_{G''} \frac{g(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in G',

was der Behauptung entspricht.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Riemannscher Hebbarkeitssatz)

In der punktierten Kreisscheibe
\Omega := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: 0 < |z - z_0| \le r \Bigr\}
mit z_0 \in \mathbb{C} und r \in (0, + \infty) sei die Funktion f: \Omega \to \mathbb{C} holomorph und beschränkt, d. h. es gilt
\sup_{z \in \Omega} |f(z)| < + \infty.
Dann ist f = f(z) holomorph auf die Kreisscheibe
\hat \Omega := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: |z - z_0| \le r \Bigr\}
fortsetzbar.

[Bearbeiten] Beweis

Wir wenden Satz 2 auf die Menge Ω und die Funktion f = f(z) an und entnehmen der Integraldarstellung

(7) f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta - z_0| = r} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta, \quad z \in \Omega

bereits die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Laurent)

In der punktierten Kreisscheibe
\Omega := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: 0 < |z - z_0| \le r \Bigr\} mit z_0 \in \mathbb{C} und r \in (0, + \infty)
sei die Funktion f = f(z) holomorph. Dann gilt die Darstellung
(8) f(z) = \sum^{+ \infty}_{n = -\infty} a_n (z - z_0)^n für alle z \in \Omega
mit den Koeffizienten
a_n := \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta - z_0| = \varrho} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n + 1}}\, d\zeta für n \in \mathbb{Z},
wobei \varrho \in (0, r) beliebig gewählt ist. Die Konvergenz dieser Laurentreihe mit dem Hauptteil
g(z) = \sum^{- \infty}_{n = - 1} a_n (z - z_0)^n, \quad z \in \Omega
und dem Nebenteil
g(z) = \sum^{+ \infty}_{n = 0} a_n (z - z_0)^n, \quad z \in \Omega
ist gleichmäßig in jedem Kompaktum in Ω. Schließlich gilt
(9) \operatorname{Res}\, (f, z_0) = a_{- 1}.

[Bearbeiten] Beweis

Ohne Einschränkung können wir z0 = 0 wählen. Ist nun z \in \Omega, so wählen wir 0 < \varepsilon < |z| < \delta < r und wenden den Satz 2 auf das Gebiet

G := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: \varepsilon < |z| < \delta \Bigr\}

an. Dann folgt

f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta| = \delta} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta - \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta| = \varepsilon} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta für alle z \in G.

Wie üblich erhalten wir durch Entwicklung die Potenzreihe

\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta| = \delta} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta = \sum^\infty_{n = 0} a_nz^n für | z | < δ,

also den Nebenteil der Laurentreihe. Wir entwickeln nun für alle |\zeta| = \varepsilon und |z| > \varepsilon den Ausdruck

- \frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{z} \frac{1}{1 - \frac{\zeta}{z}} = \frac{1}{z} \sum^\infty_{n = 0} \frac{\zeta^n}{z^n} = \sum^\infty_{n = 0} \zeta^n z^{-n - 1},

wobei die Konvergenz der Reihe in jedem Kompaktum gleichmäßig ist. Für alle |z| > \varepsilon ist demnach

- \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta| = \varepsilon} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta = \sum^\infty_{n = 0} \left( - \frac{1}{2\pi i} \oint\limits_{|\zeta| = \varepsilon} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{- n}}\, d\zeta \right) z^{-n - 1} = \sum^\infty_{n = 0} a_{-n - 1}z^{-n - 1}
= \sum^{- \infty}_{n = - 1} a_nz^n

erfüllt, falls |z| > \varepsilon gilt. Dieses liefert den Hauptteil der Laurentreihe. Insgesamt ist die gleichmäßige Konvergenz von

f(z) = \sum^{+ \infty}_{n = -\infty} a_n z^n für \varepsilon < |z| < \delta

gezeigt, wobei 0 < \varepsilon < \delta < r beliebig gewählt werden kann.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Die holomorphe Funktion f = f(z) sei gemäß Satz 4 in der Umgebung von z_0 \in \mathbb{C} durch ihre Laurentreihe (8) dargestellt.
  1. Falls es für jede Zahl N \in \mathbb{Z} einen Koeffizienten a_n \neq 0 mit n \le N gibt, so sagen wir, im Punkt z0 besitzt die Funktion f eine wesentliche Singularität.
  2. Gibt es nun eine Zahl N \in \mathbb{Z} mit N < 0, so dass an = 0 für alle n < N sowie a_N \neq 0 erfüllt sind, so sagen wir, f hat im Punkt z0 einen Pol der Ordnung (-N) \in \mathbb{N}.
  3. Ist schließlich an = 0 für alle n \in \mathbb{Z} mit n < 0 richtig, sagen wir, f besitzt im Punkt z0 eine hebbare Singularität.

[Bearbeiten] Satz 5 (Casorati, Weierstraß)

Seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen von Satz 4 gültig und zusätzlich sei die Funktion f: \overline{\Omega} \to \overline{\mathbb{C}} stetig. Dann besitzt f = f(z) im Punkt z0 keine wesentliche Singularität. Sie hat in diesem Punkt einen Pol genau dann, wenn f(z_0) = \infty richtig ist und sie besitzt in z0 eine hebbare Singularität genau dann, falls f(z_0) \in \mathbb{C} gilt.

[Bearbeiten] Beweis

Da die Funktion f: \Omega \to \mathbb{C} stetig in den Punkt z0 fortsetzbar ist, gibt es eine Konstante c \in \mathbb{C} und ein \varepsilon > 0, so dass

f(z) \neq c für alle z \in K_\varepsilon(z_0)

gilt. Wir gehen nun über zur holomorphen Funktion

g(z) := \frac{1}{f(z) - c}, \quad z \in K_\varepsilon(z_0) \setminus \{z_0\}.

Wegen

\sup_{0 < |z - z_0| < \varepsilon} |g(z)| < + \infty

kann g = g(z) holomorph in den Punkt z0 nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz fortgesetzt werden. Somit gibt es eine holomorphe Funktion h = h(z), z \in K_\varepsilon(z_0) mit h(z_0) \neq 0 sowie ein n \in \mathbb N_0, so dass

\frac{1}{f(z) - c} = g(z) = (z - z_0)^n h(z), \quad z \in K_\varepsilon(z_0) \setminus \{z_0\}

richtig ist. Dann erhalten wir

f(z) = c + (z - z_0)^{-n} h(z)^{-1} = \sum^{+ \infty}_{k = -n} b_k (z - z_0)^k = (z - z_0)^N \psi(z)

für alle z \in K_\varepsilon(z_0) \setminus \{z_0\}. Hierbei ist N \in \mathbb{Z} und \psi = \psi(z), z \in K_\varepsilon(z_0) ist eine holomorphe Funktion mit \psi(z_0) \neq 0. Nun besitzt f = f(z) in z0 einen Pol genau dann, wenn

\lim_{z \to z_0 \atop z \neq z_0} |f(z)| = \lim_{z \to z_0 \atop z \neq z_0} \Bigl\{ |z - z_0|^N |\psi(z)| \Bigr\} = |\psi(z_0)| \lim_{z \to z_0 \atop z \neq z_0} |z - z_0|^N = + \infty

gilt, also

f(z_0) = \infty.

Ebenso hat die Funktion im Punkt z0 eine hebbare Singularität genau dann, wenn

\lim_{z \to z_0 \atop z \neq z_0} |f(z)| = \lim_{z \to z_0 \atop z \neq z_0} \Bigl\{ |z - z_0|^N |\psi(z)| \Bigr\} = |\psi(z_0)| \lim_{z \to z_0 \atop z \neq z_0} |z - z_0|^N < + \infty

bzw.

f(z_0) \in \mathbb{C}

richtig ist. Daraus folgt die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 4

Wir nennen die ganze Zahl n \in \mathbb{Z} aus der Darstellung
f(z) = (z - z_0) \varphi(z), \quad z \in \Omega := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: 0 < |z - z_0| < r \Bigr\}
mit der holomorphen Funktion \varphi: \Omega \cup \{z_0\} \to \mathbb{C} die Ordnung der Nullstelle z0.

[Bearbeiten] Satz 6 (Prinzip vom Argument)

Seien die Voraussetzungen I. und II. aus Satz 1 erfüllt. Die Funktion f = f(z): \overline{G}' \to \mathbb{C} \setminus \{0\} sei holomorph in \overline{G}' und fortsetzbar in die singulären Punkte als stetige Funktion f: \overline{G} \to \overline{\mathbb{C}}. Mit n_k = n_k(\zeta_k) \in \mathbb{Z}, k = 1, \ldots, N bezeichnen wir die Ordnung der Nullstellen von den singulären Punkten \zeta_k, k = 1, \ldots, N. Dann gilt die Indexsummenformel
(10) \sum^N_{k = 1} n_k = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{1}{f(\zeta)} \Bigl\{ f_\xi(\zeta)\, d\xi + f_\eta(\zeta)\, d\eta \Bigr\}.

[Bearbeiten] Beweis

Wir wenden den Residuensatz an auf die holomorphe Funktion

F(z) := \frac{f'(z)}{f(z)}, \quad z \in \overline{G}'.

Wir haben die Entwicklungen

(11) f(z) = (z - \zeta_k)^{n_k} \varphi_k(z), \quad z \in G \setminus \{\zeta_k\}, \quad z \to \zeta_k

mit den holomorphen Funktionen \varphi_k = \varphi_k(z), die \varphi_k(\zeta_k) \neq 0 erfüllen. Es folgt

F(z) = \frac{n_k (z - \zeta_k)^{n_k - 1} \varphi_k(z) + (z - \zeta_k)^{n_k} \varphi_k'(z)}{(z - \zeta_k)^{n_k} \varphi_k(z)} = \frac{n_k}{z - \zeta_k} + \frac{\varphi_k'(z)}{\varphi_k(z)}

für z \in G \setminus \{\zeta_k\}, z \to \zeta_k und somit

(12) \operatorname{Res}\, (F, \zeta_k) = n_k, \quad k = 1, \ldots, N.

Der Residuensatz liefert nun

\sum^N_{k = 1} n_k = \sum^N_{k = 1} \operatorname{Res}\, (F, \zeta_k) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} F(\zeta)\, d\zeta
= \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}\, d\zeta = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{f_\xi\, d\xi + i f_\xi\, d\eta}{f} = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{f_\xi\, d\xi + f_\eta\, d\eta}{f},

woraus die Behauptung folgt.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 5

Sei \Omega \subset \mathbb{C} eine beschränkte, offene Menge und die beschränkte, stetige Funktion
g \in L^\infty(\Omega, \mathbb{C}) \cap C^0(\Omega, \mathbb{C})
sei vorgelegt. Dann nennen wir
(13) T_\Omega[g](z) := - \frac{1}{\pi} \iint\limits_\Omega \frac{g(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in \Omega
den Cauchyschen Integraloperator; dabei ist wie üblich ζ = ξ + iη gesetzt.

[Bearbeiten] Satz 7 (Hadamardsche Abschätzung)

Seien \Omega \subset \mathbb{C} eine beschränkte, offene Menge und g \in C^0(\Omega, \mathbb{C}) eine Funktion mit der Eigenschaft
\|g\|_\infty := \sup_{\zeta \in \Omega} |g(\zeta)| < + \infty.
Dann gibt es eine Konstante \gamma \in (0, + \infty), so dass die Funktion
\psi(z) := T_\Omega[g](z), \quad z \in \mathbb{C}
die Ungleichung
(14) |\psi(z_1) - \psi(zi_2)| \le 2\gamma \|g\|_\infty |z_1 - z_2| \log \frac{\vartheta(z_1)}{|z_1 - z_2|}
für alle z_1, z_2 \in \mathbb{C} mit |z_1 - z_2| \le \frac{1}{2} \vartheta(z_1) erfüllt. Hierbei haben wir
\vartheta(z_1) := \sup_{z \in \Omega} |z - z_1|
gesetzt.

[Bearbeiten] Beweis

Seien z_1, z_2 \in \mathbb{C} mit z_1 \neq z_2, so folgt

(15) \psi(z_1) - \psi(z_2) = \frac{1}{\pi} \iint\limits_\Omega \left( \frac{g(\zeta)}{\zeta - z_2} - \frac{g(\zeta)}{\zeta - z_1} \right)\, d\xi d\eta = \frac{1}{\pi} \iint\limits_\Omega \frac{z_2 - z_1}{(\zeta - z_1) (\zeta - z_2)} g(\zeta)\, d\xi d\eta.

Mit Hilfe der Transformation

\zeta = z_1 + z(z_2 - z_1), \quad z \in \mathbb{C}

mit 0 \mapsto z_1 bzw. 1 \mapsto z_2, welche die Funktionaldeterminante | z2 − z1 | 2 besitzt, schätzen wir nun wie folgt ab:

|\psi(z_1) - \psi(zi_2)| \le \frac{1}{\pi} |z_2 - z_1| \|g\|_\infty \iint\limits_\Omega \frac{1}{|\zeta - z_1| |\zeta - z_2|}\, d\xi d\eta
\le \frac{1}{\pi} |z_2 - z_1| \|g\|_\infty \iint\limits_{\zeta: |\zeta - z_1| \le \vartheta(z_1)} \frac{1}{|\zeta - z_1| |\zeta - z_2|}\, d\xi d\eta
= \frac{1}{\pi} |z_2 - z_1| \|g\|_\infty \iint\limits_{z: |z| \le \frac{\vartheta(z_1)}{|z_2 - z_1|}} \frac{1}{|z (z_2- z_1)| |(z - 1) (z_2- z_1)|} |z_2 - z_1|^2\, dx dy
= \frac{1}{\pi} |z_2 - z_1| \|g\|_\infty \iint\limits_{z: |z| \le \frac{\vartheta(z_1)}{|z_2 - z_1|}} \frac{1}{|z| |z - 1|}\, dxdy.

Es existiert nun eine Konstante \gamma \in (0, +\infty), so dass

(17) \iint\limits_{|z| \le R} \frac{1}{|z| |z - 1|}\, dxdy \le \gamma \iint\limits_{1 \le |z| \le R} \frac{1}{|z|^2}\, dxdy für alle R \in [2, +\infty)

richtig ist. Für die Punkte z_1, z_2 \in \mathbb{C} mit 0 < |z_1 - z_2| \le \frac{1}{2} \vartheta(z_1) folgt

2 \le \frac{\vartheta(z_1)}{|z_1 - z_2|}

und somit erhalten wir mit

|\psi(z_1) - \psi(zi_2)| \le \frac{\gamma}{\pi} |z_2 - z_1| \|g\|_\infty \iint\limits_{1 \le |z| \le \frac{\vartheta(z_1)}{|z_2 - z_1|}} \frac{1}{|z|^2}\, dxdy
\frac{\gamma}{\pi} \|g\|_\infty |z_2 - z_1| 2\pi \iint\limits^{\frac{\vartheta(z_1)}{|z_2 - z_1|}}_1 \frac{1}{r^2} r\, dr = 2\gamma \|g\|_\infty |z_1 - z_2| \log \frac{\vartheta(z_1)}{|z_1 - z_2|}

die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 6

Auf einer Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n betrachten wir eine Funktion f: \Omega \to \mathbb{R}^m mit m, n \in \mathbb{N}. Weiter sei \omega: [0, + \infty) \to [0, + \infty) eine stetige Funktion mit ω(0) = 0, welche das Stetigkeitsmodul angibt. Dann heißt f Dini-stetig, falls
(18) |f(x) - f(y)| \le \omega(|x - y|) für alle x, y \in \Omega
gilt. Im Spezialfall
\omega(t) = Lt, \quad t \in [0, + \infty)
heißt Lipschitz-stetig mit der Lipschitzkonstanten L \in [0, + \infty). Haben wir
\omega(t) = Ht^\alpha, \quad t \in [0, + \infty),
so nennen wir f Hölder-stetig mit der Hölderkonstanten H \in [0, + \infty) und dem Hölderexponenten \alpha \in (0, 1).

[Bearbeiten] Satz 8 (Allgemeiner Hebbarkeitssatz)

Seien die Voraussetzungen I. bis IV. von Satz 1 erfüllt. Weiter genüge die Funktion f = f(z) der Bedingung
\sup_{z \in G'} |f(z)| < + \infty
und die rechte Seite g = g(z) der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (1) erfülle
\sup_{z \in G'} |g(z)| < + \infty
Dann ist die Funktion f = f(z) Hölder-stetig in die singulären Punkte \zeta_1, \ldots, \zeta_N \in G fortsetzbar zu beliebigem Hölderexponenten \alpha \in (0, 1).

[Bearbeiten] Beweis

Man verwende Satz 2 und Satz 7.

q.e.d.

[Bearbeiten] §5 Die inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung

[Bearbeiten] Definition 1

In der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{C} sei die stetige Funktion \Phi: \Omega \to \mathbb{C} gegeben. Zu einem festen Punkt z_0 \in \Omega betrachten wir Normalgebiete G_k, k = 1, 2, \ldots vom topologischen Typ der Kreisscheibe mit dem Flächeninhalt | Gk | und der Länge ihrer Randkurven |\partial G_k|, welche die Inklusion
(1) z_0 \in G \subset \Omega, \quad k \in \mathbb{N}
und die Bedingung
(2) \lim_{k \to \infty} |\partial G_k| = 0
erfüllen. Wenn für alle diese Folgen von Gebieten \{G_k\}_{k = 1, 2, \ldots} der Grenzwert
(3) \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2i |G_k|} \int\limits_{\partial G_k} \Phi(z)\, dz =: \frac{d}{d\overline{z}} \Phi(z_0)
existiert, so nennen wir Φ = Φ(z) an der Stelle z0 (schwach) im Sinne von Pompeiu differenzierbar.

[Bearbeiten] Definition 2

Für die offene Menge \Omega \subset \mathbb{C} erklären wir die Vakuasche Funktionenklasse
C_{\overline{z}}(\Omega) := \left\{ \Phi \in C^0(\Omega, \mathbb{C}): \forall z \in \Omega \exists \frac{d}{d\overline{z}} \Phi(z) =: g(z)\ mit\ g \in C^0(\Omega, \mathbb{C}) \right\}.

[Bearbeiten] Satz 1 (Pompeiu, Vekua)

Seien \Omega \subset \mathbb{C} eine offene Menge und g \in C^0(\Omega, \mathbb{C}) eine stetige Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) f = f(z) gehört der Vekuaschen Funktionenklasse C_{\overline{z}}(\Omega) an und genügt der Differentialgleichung
(4) \frac{d}{d\overline{z}} f(z) = g(z), \quad z \in \Omega
im Pompeiuschen Sinne;
(b) f = f(z) gehört zur Klasse C^0(\Omega, \mathbb{C}) und für jedes Normalgebiet G \subset \subset \mathbb{C} gilt die Integraldarstellung
(5) f(z) = \frac{1}{2\pi i} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta - \frac{1}{\pi} \frac{g(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in G.

[Bearbeiten] Beweis

Wir zeigen die Richtung (a) \Rightarrow (b). Sei f \in C_{\overline{z}}(\Omega) mit

\frac{d}{d\overline{z}} f(z) = g(z), \quad z \in \Omega.

Dann gibt es eine Folge von Funktionen f_k(z) \in C^1(\Omega, \mathbb{C}), k = 1, 2, \ldots mit

\begin{cases} f_k(z) \to f(z), & z \in \Theta \\ f_{k_{\overline{z}}} \to \frac{d}{d\overline{z}} f(z), & z \in \Theta \end{cases} gleichmäßig für k \to \infty

in jeder kompakten Menge \Theta \subset \Omega. Für jedes Normalgebiet G \subset \subset \Omega gilt wegen Satz 2 aus §4 die Identität

f_k(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{f_k(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta - \frac{1}{\pi} \int\limits_G \frac{\frac{\partial}{\partial \zeta} f_k(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in G, \quad k \in \mathbb{N}.

Für k \to \infty erhalten wir also die Integraldarstellung (5).

Wir zeigen die Richtung (b) \Rightarrow (a). Das Kurvenintegral in (5) stellt eine analytische Funktion in G dar, während TG[g] in G stetig und im Pompeiuschen Sinne schwach nach \overline{z} differenzierbar ist. Somit folgt

\frac{d}{d\overline{z}} f(z) = g(z), \quad z \in \Omega.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 3

Eine Funktion g: \Omega \to \mathbb{C} nennen wir auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{C} Hölder-stetig, falls es zu jeder kompakten Menge \Theta \subset \Omega eine Konstante H = H(\Theta) \in [0, + \infty) und einen Exponenten \alpha = \alpha(\Theta) \in (0, 1] so gibt, dass
(6) |g(z_1) - g(z_2)| \le H(\Theta) |z_1 - z_2|^{\alpha(\Theta)} für alle z_1, z_2 \in \Theta
erfüllt ist.

[Bearbeiten] Definition 4

Seien G \subset \mathbb{C} ein Normalgebiet, z \in G ein fester Punkt und f: \overline G \setminus \{z\} \to \mathbb{C} \in C^0(\overline G \setminus \{z\}) eine stetige Funktion. Für alle 0 \le \varepsilon < \operatorname{dist}\, \{z, \mathbb{C} \setminus G\} betrachten wir die Gebiete
G_\varepsilon(z) := \Bigl\{ \zeta \in G: |\zeta - z| > \varepsilon \Bigr\}.
Wir nennen
(7) \iint\limits_{G_0(z)} f(\zeta)\, d\xi d\eta := \lim_{\varepsilon \to 0+} \iint\limits_{G_\varepsilon(z)} f(\zeta)\, d\xi d\eta
den Cauchyschen Hauptwert des Integrals
\iint\limits_{G_0(z)} f(\zeta)\, d\xi d\eta,
falls der Grenzwert in (7) existiert.

[Bearbeiten] Definition 5

Wir nennen ΠG den Vekuaschen Integraloperator.

[Bearbeiten] Satz 2 (Regularitätssatz)

Seien \Omega \subset \mathbb{C} eine offene Menge, in der eine Funktion g \in C^k(\Omega, \mathbb{C}) mit k \in \mathbb{N}_0 gegeben ist. Weiter gehörten die Funktion f = f(z) zur Vekuaschen Funktionenklasse C_{\overline{z}}(\Omega) und genüge der inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung
(8) \frac{d}{d\overline{z}} f(z) = g(z), \quad z \in \Omega
im Pompeiuschen Sinne. Dann gehört f zur Regularitätsklasse C^k(\Omega, \mathbb{C}) und ihre Ableitungen der Ordnung k sind Dini-stetig mit dem in §4, Satz 7 angegebenen Stetigkeitsmodul. Falls zusätzlich alle k-ten Ableitungen der rechten Seite g = g(z) Hölder-stetige Funktionen in Ω sind, folgt f \in C^{k + 1}(\Omega, \mathbb{C}).

[Bearbeiten] Beweis

1. Nach Satz 1 ist die Differentialgleichung (8) äquivalent zur Integralgleichung

f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta + T_G[g](z), \quad z \in G

in beliebigen Normalgebieten G \subset \subset \Omega. Der erste Summand auf der rechten Seite stellt eine holomorphe Funktion in G dar und folglich wird die Regularität von f = f(z) durch die Regularität der Funktion

\Psi(z) := T_G[g](z), \quad z \in G

bestimmt. Für k = 0 entnehmen wir Satz 7 aus §4, dass die Funktion Ψ = Ψ(z) und somit f = f(z) in G Dini-stetig mit dem dort angegebenen Stetigkeitsmodul sind. Falls zusätzlich die rechte Seite g = g(z) Hölder-stetig in Ω ist, gilt

(9) \Psi \in C^1(G); \quad \Psi_{\overline{z}}(z) = g(z), \quad \Psi_z(z) = \Pi_G[g](z), \quad z \in G.

2. Für k = 1 folgt g \in C^1(\Omega) und wir erhalten aus (9), dass \Psi_{\overline{z}} \in C^1(\Omega) richtig ist. Weiter gilt

(10) \Psi_z(z) = \Pi_G[g](z) = T_G \left[ \frac{\partial}{\partial \zeta} g \right](z) - \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{g(\zeta)}{\zeta - z}\, d\overline{\zeta}, \quad z \in G \subset \subset \Omega.

Hier ist der zweite Summand auf der rechten Seite wieder holomorph in G, während

\Phi(z) := T_G \left[ \frac{\partial}{\partial \zeta} g \right](z), \quad z \in G

Dini-stetig ist. Falls nun zusätzlich gz und g_{\overline{z}} bzw. gx und gy Hölder-stetig in Ω sind, so erhalten wir aus (10), dass \Psi_z \in C^1(\Omega) sowie

(11) \Psi_{zz} = \frac{\partial}{\partial z} \left\{ T_G \left[ \frac{\partial}{\partial \zeta} g \right](z) - \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{g(\zeta)}{\zeta - z}\, d\overline{\zeta} \right\} = \Pi_G \left[ \frac{\partial}{\partial \zeta} g \right](z) - \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{g(\zeta)}{(\zeta - z)^2}\, d\overline{\zeta}

für alle z \in G richtig sind. Weiter gelten

(12) \Psi_{z\overline{z}}(z) = g_z(z) = \Psi_{\overline{z}z}(z) in G,

als auch

(13) \Psi_{\overline{zz}}(z) = g_{\overline{z}}(z) in G.

Somit folgt \Psi \in C^2(\Omega) und die Ableitungen berechnen sich nach den oben angegebenen Formeln.

3. Für k = 2, 3, \ldots setzt man den Prozess entsprechend fort. Hierbei verwendet man wesentlich die Formel

\Pi_G\left[ \frac{\partial^{k - 1}}{\partial \zeta^{k - 1}} g \right](z) = T_G \left[ \frac{\partial^k}{\partial \zeta^k} g \right](z) - \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{\frac{d^{k - 1}}{d\zeta^{k - 1}}g(\zeta)}{\zeta - z}\, d\overline{\zeta}

für alle z \in G.

q.e.d.

[Bearbeiten] §6 Pseudoholomorphe Funktionen

[Bearbeiten] Definition 1

Eine Funktion f = f(z) = u(x, y) + iv(x, y), (x, y) \in \Omega der Klasse C^0(\Omega, \mathbb C) \cap C_{\overline{z}}(\Omega) heißt pseudoholomorph in Ω, falls es ein komplexes Potenzial a \in \mathcal{B}(\Omega) so gibt, dass die Differentialgleichung
(1) \frac{d}{d\overline{z}} f(z) = a(z) f(z), \quad z \in \Omega
im Pompeiuschen Sinne erfüllt ist.

[Bearbeiten] Satz 1 (Ähnlichkeitsprinzip von Bers und Vekua)

Auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{C} sei eine pseudoholomorphe Funktion f = f(z) mit zugehörigem Potenzial a \in \mathcal{B}(\Omega) und zugehöriger offener Menge \Theta \subset \Omega gegeben. Weiter sei
(2) \Psi(z) := - \frac{1}{\pi} \iint\limits_\Theta \frac{a(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in \Omega
die gemäß Satz 7 aus §4 Dini-stetige Funktion. Dann ist die Funktion
\Phi(z) := f(z) e^{- \Psi(z)}, \quad z \in \Omega
in Ω holomorph und es gilt die Vekuasche Darstellungsformel
(3) f(z) = e^{\Psi(z)} \Phi(z), \quad z \in \Omega.

[Bearbeiten] Beweis

Sei \chi_n \in C^\infty_0(\Theta, [0, 1]), n = 1, 2, \ldots eine Funktionenfolge mit

\lim_{n \to \infty} \chi_n(z) = \chi(z) := \begin{cases} 1, & z \in \Theta \\ 0, & z \in \mathbb{C} \setminus \Theta \end{cases}.

Wir betrachten dann die Funktionen

(4) \Psi_n(z) := T_{\mathbb{C}} [a \chi_n] = - \frac{1}{\pi} \iint\limits_{\mathbb{C}} \frac{a(\zeta) \chi_n(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in \mathbb{C}

für n = 1, 2, \ldots der Klasse C_{\overline{z}}(\mathbb{C}), welche

(5) \frac{d}{d\overline{z}} \Psi_n(z) = a(z) \chi_n(z), \quad z \in \mathbb{C}, \quad n \in \mathbb{N}

erfüllen. Wir studieren nun die Folge

(6) \Phi_n(z) := f(z) e^{- \Psi_n(z)}, \quad z \in \Omega, \quad n = 1, 2, \ldots

der Klasse C_{\overline{z}}(\Omega) und berechnen unter Beachtung von (1)

\frac{d}{d\overline{z}} \Phi_n(z) = e^{- \Psi_n(z)} \left\{ \frac{d}{d\overline{z}} f(z) - f(z) \frac{d}{d\overline{z}} \Psi_n(z) \right\}
= e^{- \Psi_n(z)} \Bigl\{ a(z) f(z) - f(z) a(z) \chi_n(z) \Bigr\} = e^{- \Psi_n(z)} a(z) f(z) \Bigl\{ 1 - \chi_n(z) \Bigr\}

für z \in \Omega und n = 1, 2, \ldots. Mit Hilfe von Satz 1 aus §5 erhalten wir für jedes Normalgebiet G \subset \subset \Omega die Identität

(7) \Phi_n(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{\Phi_n(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta - \frac{1}{\pi} \int\limits_G \frac{e^{- \Psi_n(z)} a(z) f(z) \{1 - \chi_n(z)\}}{\zeta - z}\, d\xi d\eta

für alle z \in G und n = 1, 2, \ldots. Mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz stellt man leicht

\lim_{n \to \infty} \Phi_n(z) = \lim_{n \to \infty} \left\{ f(z) \exp \left( \frac{1}{\pi} \iint\limits_{\mathbb{C}} \frac{a(\zeta) \chi_n(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta \right) \right\}
= f(z) \exp \left\{ \frac{1}{\pi} \iint\limits_\Theta \frac{a(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta \right\} = f(z) \exp \Bigl\{ - \Psi(z) \Bigr\} = \Phi(z)

für alle z \in \Omega fest. Durch Grenzübergang in (7) erhalten wir

(8) \Phi(z) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial G} \frac{\Phi(\zeta)}{\zeta - z}\, d\zeta, \quad z \in G

für jedes Normalgebiet G \subset \subset \Omega. Somit ist Φ = Φ(z) in Ω holomorph.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Carleman)

Auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{C} sei die pseudoholomorphe Funktion f: \Omega \to \mathbb{C} gegeben. Weiter seien z_0 \in \Omega und \{z_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \Omega \setminus \{z_0\} eine Punktfolge mit
\lim_{k \to \infty} z_k = z_0, \quad f(z_k) = 0 für alle z \in \Omega
Dann folgt
f(z) \equiv 0 in Ω.

[Bearbeiten] Beweis

Man verknüpfe den Identitätssatz für holomorphee Funktionen mit dem obigen Satz 1.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Eindeutigkeitssatz von Vekua)

Sei pseudoholomorphe Funktion f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} eine pseudoholomorphe Funktion mit der Eigenschaft
(9) \lim_{\varepsilon \to 0+} \sup_{|z| \ge \frac{1}{\varepsilon}} |f(z)| = 0.
Dann folgt
f(z) \equiv 0 in \mathbb{C}.

[Bearbeiten] Beweis

Seien a \in \mathcal{B}(\mathbb{C}) das zu f = f(z) gehörige komplexe Potenzial und \Theta \subset \mathbb{C} die zugehörige beschränkte, offene Menge. Nach Satz 1 gilt

f(z) = e^{\Psi(z)} \Phi(z), \quad z \in \mathbb{C}

mit einer holomorphen Funktion \Phi = \Phi(z), z \in \mathbb{C}. Weiter ist

\Psi(z) := - \frac{1}{\pi} \iint\limits_\Theta \frac{a(\zeta)}{\zeta - z}\, d\xi d\eta, \quad z \in \mathbb{C}

beschränkt, denn es gibt ein festes C \in (0, + \infty), so dass die Abschätzung

|\Psi(z)| \le \frac{1}{\pi} \|a\|_\infty \iint\limits_\Theta \frac{1}{|\zeta - z|}\, d\xi d\eta \le \frac{1}{\pi} \|a\|_\infty C, \quad z \in \mathbb{C}

richtig ist. Somit ist die holomorphe Funktion

\Phi(z) := f(z) e^{- \Psi(z)}, \quad z \in \Omega

beschränkt und nach dem Satz von Liouville konstant. Wegen (9) folgt

\lim_{\varepsilon \to 0+} \sup_{|z| \ge \frac{1}{\varepsilon}} |f(z)| = 0

und somit erhalten wir

f(z) e^{- \Psi(z)} = \Phi(z) \equiv 0 in \mathbb{C}.

Schließlich gilt also

f(z) \equiv 0 in \mathbb{C},

womit die Behauptung gezeigt ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] §7 Konforme Abbildungen

[Bearbeiten] Definition 1

Seien \Omega_j \subset \mathbb{C}, j = 1, 2 zwei Gebiete, so nennen wir die Abbildung w = f(z): \Omega_1 \to \Omega_2 konform, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
(a) f: \Omega_1 \to \Omega_2 ist bijektiv,
(b) f: \Omega_1 \to \Omega_2 ist holomorph,
(c) es gilt Jf(z) = | f'(z) | 2 > 0 für alle z \in \Omega_1.

[Bearbeiten] Definition 2

Zwei Gebiete \Omega_1, \Omega_2 \subset \mathbb{C} heißen konform äquivalent, falls es eine konforme Abbildung f: \Omega_1 \to \Omega_2 gibt.

[Bearbeiten] Definition 3

Sei \Omega \subset \mathbb{C} ein Gebiet, so nennen wir
\operatorname{Aut}\, (\Omega) := \Bigl\{ f: \Omega \to \Omega: f\ ist\ konform \Bigr\}
die Automorphismengruppe des Gebietes Ω.

[Bearbeiten] Definition 4

Seien a, b, c, d \in \mathbb{C} mit
\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \neq 0
und
\mathbb{C}^* := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: cz + d \neq 0 \Bigr\}
gegeben. Dann nennen wir
w = f(z) := \frac{az + b}{cz + d}, \quad z \in \mathbb{C}^*
eine Möbiustransformation bzw. eine gebrochen lineare Transformation.

[Bearbeiten] Definition 5

Sei f: \Omega \to \Omega eine stetige Abbildung vom Gebiet \Omega \subset \overline{\mathbb{C}} in sich. Wir nennen z_0 \in \Omega einen Fixpunkt der Abbildung f = f(z), falls
f(z0) = z0
richtig ist. Falls 0 \in \Omega gilt und 0 ein Fixpunkt der Abbildung ist, so nennen wir diese nullpunkttreu.

[Bearbeiten] Satz 1 (Schwarzsches Lemma)

Sei w = f(z): B \to B eine holomorphe, nullpunkttreue Funktion. Dann folgt
|f(z)| \le |z| für alle z \in B.
Existiert ein z_0 \in B \setminus \{0\} mit | f(z0) | = z0, so besitzt f = f(z) die Darstellung
f(z) = e^{i\vartheta} z, \quad z \in B
mit einem gewissen \vartheta \in [0, 2\pi).

[Bearbeiten] Beweis

Die Funktion

g(z) := \frac{f(z)}{z}, \quad z \in B \setminus \{0\}

ist holomorph nach B fortsetzbar und es gilt

\limsup_{z \to \partial B} |g(z)| \le 1.

Nach §3, Satz 2 folgt nun

\sup_{z \in B} |g(z)| \le \limsup_{z \to \partial B} |g(z)| \le 1

und somit haben wir

|f(z)| \le |z| für alle z \in B.

Existiert ein z_0 \in B \setminus \{0\} mit | f(z0) | = z0, so folgt | g(z0) | = 1. Somit ist nach dem oben angegebenen Satz die Abbildung g = g(z) konstant, also gelten

g(z) = e^{i\vartheta}, \quad z \in B

bzw.

f(z) = e^{i\vartheta} z, \quad z \in B

mit einem \vartheta \in [0, 2\pi).

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Automorphismen des Einheitskreises)

Ein Automorphismus w = f(z): B \to B des Einheitskreises hat notwendig die Gestalt
(1) w = f(z) = e^{i\vartheta} \frac{z - z_0}{\overline{z}_0z - 1}, \quad z \in B
mit z_0 := f^{-1}(0) \in B und \vartheta \in [0, 2\pi). Umgekehrt ist jede Abbildung der Gestalt (1) mit z_0 \in B und \vartheta \in [0, 2\pi) ein Automorphismus von B. Insbesondere haben die nullpunkttreuen Automorphismen von B die Gestalt
(2) f(z) = e^{i\vartheta} z, \quad z \in B
mit einem \vartheta \in [0, 2\pi).

[Bearbeiten] Beweis

1. Es sind alle Möbiustransformationen der Form (1) Automorphismen des Einheitskreises.

2. Ist w = f(z), z \in B ein nullpunkttreuer Automorphismus von B, so folgt aus Satz 2 die Abschätzung

|w| = |f(z)| \le |z| für alle z \in B.

Nun ist aber auch die Umkehrabbildung z = g(w), w \in B ein nullpunkttreuer Automorphismus von B und es folgt

|z| = |g(w)| \le |w| für alle w \in B.

Insgesamt erhalten wir

|z| \le |w| = |f(z)| \le |z|, \quad z \in B

bzw.

|f(z)| = |z|, \quad z \in B.

Somit gibt es nach Satz 2 ein \vartheta \in [0, 2\pi) mit

f(z) = e^{i\vartheta} z, \quad z \in B

3. Ist nun w = f(z): B \to B ein beliebiger Automorphismus von B, so setzen wir z0: = f − 1(0). Wir betrachten dann die Möbiustransformation

w = g(z) := \frac{z - z_0}{\overline{z}_0z - 1}, \quad z \in B

und erhalten den folgenden nullpunkttreuen Automorphismus von B:

h(w) := f \circ g^{-1}(w), \quad w \in B.

Aus dem zweiten Punkt folgt

f \circ g^{-1}(w) = e^{i\vartheta} w, \quad w \in B

mit einem \vartheta \in [0, 2\pi) bzw. für w = g(z) erhalten wir

f(z) = e^{i\vartheta} g(z) = e^{i\vartheta} \frac{z - z_0}{\overline{z}_0z - 1}, \quad z \in B,

womit die Aussage gezeigt ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Riemannscher Abbildungssatz)

Sei \Omega \subset \mathbb{C} mit \Omega \neq \mathbb{C} ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Dann gibt es eine konforme Abbildung f: \Omega \to B.

[Bearbeiten] Beweis

1. Sei \Omega \subset \mathbb{C} mit \Omega \neq \mathbb{C} ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so existiert zunächst ein z_0 \in \mathbb{C} \setminus \Omega. Durch die konforme Abbildung

f(z) := z - z_0, \quad z \in \Omega

können wir zum konform äquivalenten Gebiet

(3) \Omega \subset \mathbb{C} \setminus \{0\}

übergehen. Mit der konformen Abbildung

f(z) = \sqrt{z}, \quad z \in \Omega

gelangen wir zu einem konform äquivalenten Gebiet mit

(4) \Omega \cap (- \Omega) = \emptyset.

2. Wir gehen jetzt von einem einfach zusammenhängenden Gebiet mit den Eigenschaften (3), (4) aus und wählen einen festen Punkt z_0 \in \Omega. Wir betrachten die Funktionenmenge

\mathcal{F} := \Bigl\{ f: \Omega \to B: f \text{ ist holomorph und injektiv in } \Omega, f(z_0) = 0 \Bigr\}.

Mit dem Extremalprinzip von Paul Koebe suchen wir nun diejenige Abbildung f \in \mathcal{F}, welche der Bedingung

(5) |f'(z_0)| = \sup_{\Phi \in \mathcal{F}} |\Phi'(z_0)|

genügt. Zunächst ist die Klasse \mathcal{F} nicht leer. Wegen (4) gibt es nämlich ein z_1 \in \mathbb{C} und ein \varrho > 0, so dass für alle z \in \mathbb{C} mit |z - z_1| \le \varrho die Aussage z \notin \Omega erfüllt ist. Die Funktion

f_1(z) := \frac{1}{z - z_1}, \quad z \in \Omega

ist wegen

|f_1(z)| \le \frac{1}{\varrho}, \quad z \in \Omega

beschränkt. Durch Anwendung der konformen Abbildung

f_2(w) := r \{w - f_1(z_0)\}, \quad w \in \mathbb{C}

mit hinreichend kleinem r > 0 erhalten wir schließlich eine zulässige Abbildung

f := f_2 \circ f_1 \in \mathcal{F}.

3. Sei f \in \mathcal{F} eine beliebige Funktion, so gilt für deren Dirichletintegral

D(f) := \iint\limits_\Omega \Bigl\{ |f_x|^2 + |f_y|^2 \Bigr\}\, dxdy = 2 \iint\limits_\Omega |f_x \wedge f_y|\, dxdy \le 2\pi.

Ist nun z_1 \in \Omega ein beliebiger Punkt und δ > 0 so klein gewählt, dass die Kreisscheibe

B_\delta(z_1) := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: |z - z_1| < \delta \Bigr\}

die Inklusion B_\delta(z_1) \subset \subset \Omega erfüllt, so gibt es nach dem Oszillationslemma von Courant und Lebesgue ein \delta^* \in [\delta, \sqrt{\delta}] mit der Eigenschaft

(6) \int\limits_{z: |z - z_1| = \delta^*} |df(z)| \le 2\pi \sqrt{\frac{2}{- \log \delta}}.

Beachten wir noch die Injektivität der Abbildung f = f(z), so erhalten wir für die Durchmesser der entsprechenden Gebiete

(7) \operatorname{diam}\, f \Bigl( B_\delta(z_1) \Bigr) \le \operatorname{diam}\, f \Bigl( B_{\delta^*}(z_1) \Bigr) \le \pi \sqrt{\frac{2}{- \log \delta}}.

Für jede kompakte Menge K \subset \Omega ist somit die Funktionenklasse

\mathcal{F}_K := \Bigl\{ f: K \to \mathbb{C}: f \in \mathcal{F} \Bigr\}

gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt. Wir können also aus jeder Folge \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \mathcal{F} eine in jedem Kompaktum K \subset \Omega gleichmäßig konvergente Teilfolge auswählen.

4. Wir erhalten folgendermaßen die Kompaktheit der Funktionenklasse \mathcal{F}: Aus jeder Folge \{f_k\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset \mathcal{F} mit

0 < |f_k'(z_0)| \le |f_{k + 1}'(z_0)|, \quad k \in \mathbb{N}

kann man eine Teilfolge \{f_{k_l}\}{l = 1, 2, \ldots} auswählen, die in jedem Kompaktum K \subset \Omega gleichmäßig gegen eine Funktion f \in \mathcal{F} mit der Extremaleigenschaft (5).

Schließlich haben wir noch

f(Ω) = B

zu zeigen.

5. Wäre G := f(\Omega) \subset B mit G \neq B erfüllt, so existiert ein z_1 \in B \setminus G. Die Abbildung

w = \psi_1(z) := \frac{z - z_1}{\overline{z}_1 z - 1}, \quad z \in B

gehört zu \operatorname{Aut}\, (B) und erfüllt die Eigenschaften

\psi_1(z_1) = 0, \quad \psi_1(0) = z_1.

Auf dem einfach zusammenhängenden Gebiet

G_1 := \psi_1(G) \subset B \setminus \{0\}

betrachten wir die konforme Wurzelfunktion

w = \psi_2(z) := \sqrt{z}, \quad z \in G_1

mit z_2 := \sqrt{z_1}. Wir erhalten das einfach zusammenhängende Gebiet

G_2 := \psi_2(G_1) \subset B \setminus \{0\}

mit z_2 \in G_2. Schließlich verwenden wir den Automorphismus

w = \psi_3(z) := \frac{z - z_2}{\overline{z}_2 z - 1}, \quad z \in B

mit der Eigenschaft

ψ3(z2) = 0

und erklären

G_3 := \psi_3(G_2) \subset B.

Die Komposition

\psi := \psi_3 \circ \psi_2 \circ \psi_1: G \to G_3

ist konform und es gilt

\psi(0) = \psi_3 \circ \psi_2 \circ \psi_1(0) = \psi_3 \circ \psi_2(z_1) = \psi_3(z_2) = 0.

Wir beachten \psi \circ f \in \mathcal{F}, denn es ist

\psi \circ f(z_0) = \psi(0) = 0.

Nun berechnen wir

(\psi \circ f)'(z_0) = \psi'(0) f'(z_0) = \psi'_3(z_2) \psi_2'(z_1) \psi_1'(0) f'(z_0)
= \frac{1}{\overline{z}_2 z_2 - 1} \frac{1}{2 \sqrt{z_1}} (\overline{z}_1 z_1 - 1) f'(z_0) = \frac{1}{\overline{z}_2 z_2 - 1} \frac{1}{2z_2} \Bigl\{ (\overline{z}_2 z_2)^2 - 1 \Bigr\} f'(z_0) = \frac{|z_2|^2 + 1}{2z_2} f'(z_0),

wobei wir z_2 = \sqrt{z_1} beachten. Aus 0 < | z2 | < 1 folgen

(1 − | z2 | )2 > 0, also | z2 | 2 − 2 | z2 | + 1 > 0

bzw.

\frac{|z_2|^2 + 1}{2|z_2|} > 1.

Dieses ergibt aber mit

|(\psi \circ f)'(z_0)| = \frac{|z_2|^2 + 1}{2|z_2|} |f'(z_0)| > |f'(z_0)| = \sup_{\Phi \in \mathcal{F}} |\Phi'(z_0)|

einen Widerspruch. Damit ist alles gezeigt.

q.e.d.

[Bearbeiten] §8 Randverhalten konformer Abbildungen

[Bearbeiten] Definition 1

Ein beschränktes Gebiet \Omega \subset \mathbb{C} nennen wir Jordangebiet, falls dessen Rand \partial \Omega = \Gamma eine Jordankurve bildet mit der topologischen, positiv orientierten Darstellung \gamma: \partial B \to \Gamma und der Parametrisierung
\beta(t) := \gamma(e^{it}), \quad t \in \mathbb{R}.
Für k \in \mathbb{N} nennen wir Γ im Punkt z_1 = \beta(t_1) \in \Gamma mit t_1 \in [0, 2\pi)k-mal stetig differenzierbar und regulär, falls es ein \varepsilon = \varepsilon(t_1) > 0 derart gibt, so dass
\beta \in C^k((t_1 - \varepsilon, t_1 + \varepsilon), \mathbb{C})
sowie
\beta'(t) \neq 0 für alle t \in (t_1 - \varepsilon, t_1 + \varepsilon)
richtig sind. Falls zusätzlich die Potenzreihenentwicklung
(1) \beta(t) = \sum^\infty_{k = 0} \frac{1}{k!} \beta^{(k)}(t_1) (t - t_1)^k für t_1 - \varepsilon < t < t_1 + \varepsilon
gültig ist, nennen wir z1 = β(t1) einen regulären, analytischen Randpunkt. Wir sprechen von einer Ck-Jordankurve (bzw. einer analytischen Jordankurve) Γ, falls jeder Randpunkt z_1 \in \Gamma regulär und k-mal stetig differenzierbar (bzw. analytisch) ist.

[Bearbeiten] Satz 1 (Carathéodory, Courant)

Sei \Omega \subset \mathbb{C} ein Jordangebiet. Dann ist die konforme Abbildung f: \Omega \to B stetig auf den Abschluss \overline{\Omega} als topologische Abbildung f: \overline{\Omega} \to \overline{B} fortsetzbar.

[Bearbeiten] Beweis

1. Zu festem z_1 = \beta(t_1) \in \Gamma betrachten wir für 0 < δ < δ0 diejenige Zusammenhangskomponente Gδ(z1) der offenen Menge \{z \in \Omega: |z - z_1| < \delta\} mit z_1 \in \partial G_\delta(z_1). Zu t2 < t3 bezeichne

\beta[t_2, t_3] := \Bigl\{ \beta(t): t_2 \le t \le t_3 \Bigr\}

den Jordanbogen auf Gamma vom Punkt z2 = β(t2) zum Punkt z3 = β(t3). Der Rand von Gδ(z1) besteht aus einem Kreissegment S_\delta(z_1) \subset \Omega und einem Jordanbogen

Γδ(z1): = β[t2,t3] mit t2 < t1 < t3.

Danach gilt

\partial G_\delta(z_1) = \Gamma_\delta(z_1) \dot \cup S_\delta(z_1).

Nach dem Courant-Lebesgueschen Lemma gibt es zu vorgegebenem δ > 0 ein \delta^* \in [\delta, \sqrt{\delta}] mit der Eigenschaft

(2) \int\limits_{z \in S_{\delta^*}(z_1)} |df(z)| \le 2\pi \sqrt{\frac{2}{- \log \delta}}.

Nun ist f(S_{\delta^*}(z_1)) \subset B ein Jordanscher Kurvenbogen endlicher Länge, welcher seine Endpunkte – stetig fortgesetzt – auf \partial B hat. Da die Abbildung f: \Omega \to B injektiv ist, folgt

(3) \operatorname{diam}\, f(G_\delta(z_1)) \le \operatorname{diam}\, f(G_{\delta^*}(z_1)) \le 2\pi \sqrt{\frac{2}{- \log \delta}}.

Somit ist f = f(z) gleichmäßig stetig auf Ω und folglich auf \overline{\Omega} stetig fortsetzbar.

2. Ebenso beweist man die stetige Fortsetzbarkeit der Umkehrfunktion

g(w) := f^{- 1}(w), \quad w \in B

auf den Abschluss \overline{B}. Hierzu benötigt man den Stetigkeitsmodul der Jordankurve Γ im folgenden Sinne: Zu jedem \varepsilon > 0 gibt es ein \delta = \delta(\varepsilon) > 0, so dass für je zwei aufeinanderfolgende Punkte z_j = \beta(t_j) \in \Gamma, j = 1, 2 mit t1 < t2 und |z_1 - z_2| \le \delta(\varepsilon) die Abschätzung

(4) \operatorname{diam}\, \beta[t_1, t_2] := \sup_{t_1 \le \tau_1 < \tau_2 \le t_2} |\beta(\tau_1) - \beta(\tau_2)| \le \varepsilon

gültig ist.

3. Da nun f = f(z) auf \overline{\Omega} und g = g(w) auf ganz \overline{B} stetig fortsetzbar sind, ist die Abbildung f: \overline{\Omega} \to \overline{B} topologisch.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Analytisches Randverhalten)

Sei z = g(w): B \to \Omega eine konforme Abbildung auf das Jordangebiet \Omega \subset \mathbb C, welche topologisch gemäß g: \overline{B} \to \overline{\Omega} erweitert werden kann. Im Punkt z_1 = g(w_1) \in \Gamma = \partial \Omega mit w_1 \in \partial B sei der Rand Γ regulär und analytisch. Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
\sum^\infty_{k = 0} a_k (w - w_1)^k für alle w \in \mathbb{C} mit |w - w_1| < \varepsilon
mit den Koeffizienten a_k \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{N}_0 und a_1 \neq 0 bei hinreichend kleinem \varepsilon > 0, so dass die Darstellung
(5) g(w) = \sum^\infty_{k = 0} a_k (w - w_1)^k für alle w \in B mit |w - w_1| < \varepsilon
erfüllt ist. Also kann g = g(w) im Punkt w_1 \in \partial B analytisch über den Rand \partial B erweitert werden.

[Bearbeiten] Beweis

1. Da z_1 = g(w_1) = \beta(t_1) \in \Gamma ein regulärer und analytischer Randpunkt von Γ ist, gilt

(6) \beta(t) = \sum^\infty_{k = 0} \frac{1}{k!} \beta^{(k)}(t_1) (t - t_1)^k, \quad t_1 - \varepsilon < t < t_1 + \varepsilon

mit \beta'(t_1) \neq 0. Nun können wir die konvergente Potenzreihe mit r = (t + is) \in \mathbb{C} ins Komplexe erweitern und erhalten die Funktion

(7) h(r) := \sum^\infty_{k = 0} \frac{1}{k!} \beta^{(k)}(t_1) (r - t_1)^k für alle r \in \mathbb{C} mit |r - t_1| < \varepsilon.

Wegen \beta'(t_1) \neq 0 existiert in einer Umgebung von z1 = h(t1) die holomorphe Umkehrabbildung h − 1.

2. Wir verwenden nun die Möbiustransformation

l: H^+ \to B konform mit l(0) = w1.

Auf die holomorphe Abbildung

(8) \Psi(\zeta) := h^{-1} \circ g \circ l(\zeta), \quad \zeta \in H^+ mit |\zeta| < \varepsilon

können wir das Schwarzsche Spiegelungsprinzip anwenden und erhalten die holomorphe Funktion

(9) \Psi(\zeta), \quad |\zeta| < \varepsilon

auf der vollen Kreisscheibe um den Nullpunkt. Nun ist auch die Funktion

(10) h \circ \Psi \circ l^{-1}(w) = \sum^\infty_{k = 0} a_k (w - w_1)^k für alle |w - w_1| < \varepsilon

holomorph und wir haben sie in eine konvergente Potenzreihe um den Punkt w_1 \in \partial B entwickelt. Aus (8) und (10) erhalten wir schließlich

(11) g(w) = \sum^\infty_{k = 0} a_k (w - w_1)^k für alle w \in B mit |w - w_1| < \varepsilon.

Da g: \overline B \to \overline \Omega topologisch ist, muss in der Entwicklung (11) der Koeffizient a_1 \neq 0 erfüllen.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Randpunktlemma)

Auf der Kreisscheibe
B_\varrho(z_1) := \Bigl\{ z \in \mathbb{C}: |z - z_1| < \varrho \Bigr\}, \quad z_1 \in \mathbb{C}, \quad \varrho > 0
sei die holomorphe Funktion
(12) w = f(z): B_\varrho(z_1) \to B \in C^1(\overline{B_\varrho(z_1)}, \overline{B})
derart gegeben, dass
|f(z_1)| \le 1 - \varepsilon mit einem \varepsilon > 0
erfüllt ist. Weiter sei z_2 \in \partial B_\varrho(z_1) ein Randpunkt mit | f(z2) | = 1. Dann gilt
(13) |f'(z_2)| \ge \frac{\varepsilon^2}{\varrho}.

[Bearbeiten] Beweis

Betrachte die Funktion

l(w) := z_1 + (z_2 - z_1) w, \quad w \in \overline{B}

mit

(14) l(0) = z_1, \quad l(1) = z_2, \quad |l'(w)| = |z_2 - z_1| = \varrho für alle w \in \overline{B}.

Setzen wir nun w_1 = f(z_1) \in B und w_2 = f(z_2) \in \partial B, so verwenden wir die Möbiustransformation

h(w) := e^{i\vartheta} \frac{w - w_1}{\overline{w}_1 w - 1}, \quad w \in \overline{B}

mit geeignetem \vartheta \in [0, 2\pi). Wir erhalten dann

(15) h(w_1) = 0, \quad h(w_2) = 1

und berechnen

|h'(w_2)| = \frac{|(\overline{w}_1 w_2 - 1) - \overline{w}_1 (w_2 - w_1)|}{|\overline{w}_1 w_2 - 1|^2} = \frac{|1 - |w_1|^2|}{|1 - \overline{w}_1 w_2|^2}
\le \frac{1}{(1 - |\overline{w}_1 w_2|)^2} = \frac{1}{(1 - |w_1|)^2} \le \frac{1}{(1 - (1 - \varepsilon))^2} = \frac{1}{\varepsilon^2}.

Wir betrachten nun die nullpunkttreue, holomorphe Abbildung

\Phi(w) := h \circ f \circ l(w), \quad w \in \overline{B}

der Klasse C^1(\overline{B}, \overline{B}). Das Schwarzsche Lemma liefert

(16) |\Phi(w)| \le |w|, \quad w \in \overline{B}.

Also folgt für alle r \in (0, 1) die Ungleichung

\left| \frac{\Phi(r) - \Phi(1)}{r - 1} \right| \ge \frac{|\Phi(1)| - |\Phi(r)|}{1 - r} \ge \frac{1 - r}{1 - r} = 1

und somit haben wir

(17) |\Phi'(1)| \ge 1.

Die Kombination von (14) und (17) liefert

1 \le |\Phi'(1)| = |h'(w_2) f'(z_2) l'(1)| \le \frac{1}{\varepsilon^2} |f'(z_2)| \varrho

bzw.

|f'(z_2)| \ge \frac{\varepsilon^2}{\varrho},

womit die Aussage gezeigt ist.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Lipschitz-Abschätzung)

Das C2-Jordangebiet \Omega \subset \mathbb{C} werde konform durch f: \Omega \to B abgebildet mit der Umkehrabbildung z = g(w): B \to \Omega. Dann folgt
(18) \sup_{w \in B} |g'(w)| < + \infty
und somit ist g = g(w) Lipschitz-stetig auf \overline{B}.

[Bearbeiten] Beweis

Nach dem Weierstraßschen Approximationssatz können wir das Gebiet Ω durch Jordangebiete \Omega_n, n \in \mathbb N, so approximieren, dass deren berandende analytische Jordankurven \Gamma_n = \partial \Omega_n einschließlich ihrer Ableitungen bis zur zweiten Ordnung für n \to \infty gegen die C2-Jordankurve \Gamma = \partial \Omega konvergieren. Wir betrachten nun die konformen Abbildungen

g_n: \overline{B} \to \overline{\Omega}_n \in C^1(\overline{B}, \overline{\Omega}_n)

mit den Umkehrabbildungen

f_n: \overline{\Omega}_n \to \overline{B} \in C^1(\overline{\Omega}_n, \overline{B})

gemäß Satz 2 für alle n \in \mathbb{N}, welche im Innern gleichmäßig mit ihren Ableitungen gegen die Funktion g \in C^0(\overline{B}, \overline{\Omega}) bzw. deren Umkehrfunktion f \in C^0(\overline{\Omega}, \overline{B}) für n \to \infty konvergieren. Nun gibt es ein festes \varrho > 0 unabhängig von n \in \mathbb{N}, so dass jedes Gebiet Ωn in jedem Randpunkt z_2 \in \Gamma_n = \partial \Omega_n einen Stützkreis

B_\varrho(z_1) \subset \Omega_n mit z_1 \in \Omega_n, \quad z_2 \in \partial B_\varrho(z_1) \cap \Gamma_n

zulässt. Weiter gibt es wegen f_n \to f für n \to \infty ein \varepsilon > 0 unabhängig von n \in \mathbb{N}, so dass die Abschätzung

(19) |f_n(z_1)| \le |f(z_1)| + |f_n(z_1) - f(z_1)| \le 1 - \varepsilon für alle n \ge n_0(\varepsilon)

richtig ist, wobei n_0(\varepsilon) derart gewählt wird, dass

|f(z_1)| \le 1 - 2\varepsilon, \quad |f_n(z_1) - f(z_1)| \le \varepsilon

erfüllt sind. Nach Satz 3 folgt dann

|f_n'(z_2)| \ge \frac{\varepsilon^2}{\varrho}, \quad n \ge n_0(\varepsilon)

und mit w2 = fn(z2) erhalten wir für die Umkehrabbildung

(20) |g_n'(w_2)| \le \frac{\varrho}{\varepsilon^2} für alle w_2 \in \partial B und n \ge n_0(\varepsilon).

Das Maximumprinzip für holomorphe Funktionen liefert

(21) \sup_B |g_n'(w)| \le \frac{\varrho}{\varepsilon^2}, \quad n \ge n_0(\varepsilon)

und für n \to \infty erhalten wir schließlich mit

(22) \sup_B |g'(w)| < +\infty

die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 5 (C1,1-Regularität)

Sei g: B \to \Omega eine konforme Abbildung auf das C2-Jordangebiet \Omega \subset \mathbb{C} mit der berandenden C2-Jordankurve \Gamma = \partial \Omega. Dann folgt g \in C^1(\overline{B}, \overline{\Omega}) und
g'(w) \neq 0 für alle w \in \overline{B}.
Weiter gibt es eine Lipschitzkonstante L = L(g) \in (0, + \infty), so dass
|g'(w_1) - g'(w_2)| \le L |w_1 - w_2| für alle w_1, w_2 \in \overline{B}
erfüllt ist.

[Bearbeiten] Beweis

Wie im Beweis von Satz 4 approximieren wir g: \overline{B} \to \overline{\Omega} gleichmäßig in \overline{B} durch konforme Abbildungen g_n: \overline{B} \to \overline{\Omega}_n, n = 1, 2, \ldots mit

\sup_B |g_n'(w)| \le c_1, \quad n \in \mathbb{N}.

Setzen wir

(22) G_n(w) := \log g_n'(w) = \log |g_n'(w)| + i \arg g_n'(w), \quad w \in \overline{B}, \quad n \in \mathbb{N},

so ist offenbar

(23) \lim_{n \to \infty} G_n(0) = \lim_{n \to \infty} \log g_n'(0) = \log g'(0) \in \mathbb{C}

richtig. Wir haben nun noch

(24) \sup_{w \in B} |G_n'(w)| \le c_2, \quad n \in \mathbb{N}

nachzuweisen. Hierzu assoziieren wir mit der Abbildung gn = gn(w) die Gaußsche Metrik

(25) ds^2_n = E_n(w) (du^2 + dv^2) = |g_n'(w)|^2 (du^2 + dv^2).

Für die geodätische Krümmung κn der Randkurve \Gamma_n = \partial \Omega_n entnehmen wir einer Vorlesung über Differentialgeometrie die Formel

(26) \frac{\partial}{\partial r} \log \sqrt{E_n(r \cos t, r \sin t)} \Big|_{r = 1} = \kappa_n \sqrt{E_n(\cos t, \sin t)} - 1, \quad t \in \mathbb{R}.

Die Abbildung G_n(w) = x_n(w) + iy_n(w), w \in \overline{B} aus (22) erfüllt dann wegen (26) und Satz 4 die Abschätzung

(27) \left| \frac{\partial}{\partial r} x_n (re^{it}) \right|_{r = 1} \le \tilde c_2 für alle t \in \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}

mit einer Konstante \tilde c_2. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen liefern

(28) \left| \frac{d}{dt} y_n (e^{it}) \right| \le \tilde c_2 für alle t \in \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}.

Wir erhalten somit die Abschätzung (24).

Die Funktionenfolge \{G_n\}_{n = 1, 2, \ldots} ist also gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt. Nach dem Satz von Arzelà-Ascoli können wir übergehen zu einer auf \overline{B} gleichmäßig konvergenten Teilfolge \{G_{n_k}\}_{k = 1, 2, \ldots} und erhalten die stetige Funktion

G(w) := \lim_{k \to \infty} G_{n_k}(w), \quad w \in \overline{B}.

Nun haben wir

G(w) = \lim_{k \to \infty} G_{n_k}(w) = \lim_{k \to \infty} \log g_{n_k}'(w) = \log g'(w), \quad w \in B.

Also ist

\Phi(w) := \log g'(w), \quad w \in B

stetig auf \overline{B} fortsetzbar und wir erhalten die Stetigkeit von g'(w): \overline{B} \to \mathbb{C} \setminus \{0\}. Da die Funktionen \{G_n\}_{n = 1,2, \ldots} gemeinsam einer Lipschitzbedingung in \overline{B} genügen, bleibt dieses auch für die Grenzfunktion G = G(w) bzw. für g = g(w), w \in \overline{B} richtig.

q.e.d.

Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_III/Kapitel_IV:_Verallgemeinerte_analytische_Funktionen“
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