Kurs:Analysis III/Kapitel V: Potenzialtheorie und Kugelfunktionen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] §1 Die Poissonsche Differentialgleichung

[Bearbeiten] Definition 1

Mit
\Gamma(z) := \int\limits_0^{+ \infty} t^{z - 1} e^{- t}\, dt, \quad z \in \mathbb{C} mit \operatorname{Re}\, z > 0
bezeichnen wir die Gammafunktion.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei \Omega \subset \mathbb{R}^n, n \ge 2 eine offene Menge, so nennen wir die Funktion \varphi = \varphi(x) \in C^2(\Omega, \mathbb{R}) harmonisch in Ω, falls sie der Laplaceschen Differentialgleichung
(1) \Delta \varphi(x) = \varphi_{x_1 x_1}(x) + \ldots + \varphi_{x_n x_n}(x) = 0 für alle x \in \Omega
genügt.

[Bearbeiten] Definition 3

Ein Gebiet G \subset \mathbb{R}^n, das den Voraussetzungen des Gaußschen Satzes aus Kapitel I, §5 genügt, nennen wir ein Normalgebiet im \mathbb{R}^n.

[Bearbeiten] Definition 4

Sei G \subset \mathbb{R}^n ein Normalgebiet. Wir erklären die Funktion
(2) \varphi(y; x) := \frac{1}{2\pi} \log |y - x| + \psi(y; x), \quad x, y \in G mit x \neq y, \quad n = 2
bzw.
(3) \varphi(y; x) := \frac{1}{(2 - n) \omega_n} |y - x|^{2 - n} + \psi(y; x), \quad x, y \in G mit x \neq y, \quad n \ge 3.
Hierbei ist für jedes feste x \in G die Funktion \psi(\cdot; x) mit y \mapsto \psi(y; x) harmonisch in G sowie aus der Klasse C^1(\overline{G}) und es ist \psi \in C^0(\overline{G} \times \overline{G}). Dann nennen wir \varphi(y; x) eine Grundlösung der Laplacegleichung in G.

[Bearbeiten] Definition 5

Eine Funktion \varphi = \varphi(x_1, \ldots, x_n): \Omega \to \mathbb{R} auf der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n nennen wir reell analytisch in Ω, wenn es für jeden Punkt \stackrel{\circ}{x} = \left( \stackrel{\circ}{x}_1, \ldots, \stackrel{\circ}{x}_n \right) \in \Omega eine für hinreichend kleines \varepsilon = \varepsilon \left( \stackrel{\circ}{x} \right) > 0 konvergente Potenzreihe
\mathcal{P}(z_1, \ldots, z_n) = \sum^\infty_{k_1, \ldots, k_n = 0} a_{k_1 \ldots k_n} z_1^{k_1} \cdot \ldots \cdot z_n^{k_n} für z_j \in \mathbb{C} mit |z_j| \le \varepsilon, \quad j = 1, \ldots, n
mit den reellen Koeffizienten a_{k_1 \ldots k_n} \in \mathbb{R} für k_1, \ldots, k_n = 0, 1, 2, \ldots so gibt, dass
\varphi(x_1, \ldots, x_n) = \mathcal{P} \left( x_1 - \stackrel{\circ}{x}_1, \ldots, x_n - \stackrel{\circ}{x}_n \right), \quad \left| x_j - \stackrel{\circ}{x}_j \right| \le \varepsilon, \quad j = 1, \ldots, n
erfüllt ist.

[Bearbeiten] Satz 1 (Analytizitätstheorem für die Poissongleichung)

In der offenen Menge \Omega \subset \mathbb{R}^n, n \ge 2 sei die reell analytische Funktion f = f(x_1, \ldots, x_n): \Omega \to \mathbb{R} gegeben. Ferner sei u = u(x_1, \ldots, x_n) \in C^2(\Omega) eine Lösung der Poissonschen Differentialgleichung
\Delta u(x_1, \ldots, x_n) = f(x_1, \ldots, x_n), \quad (x_1, \ldots, x_n) \in \Omega.
Dann ist u(x) reell analytisch in Ω.

[Bearbeiten] Beweis

Sei \stackrel{\circ}{x} \in \Omega und B_R \left( \stackrel{\circ}{x} \right) \subset \subset \Omega, so stellen wir die Lösung u durch die Grundlösung \varphi dar als

u(x) = \int\limits_{\partial B_R \left( \stackrel{\circ}{x} \right)} \left( u(y) \frac{\partial \varphi}{\partial \nu} (y; x) - \varphi(y; x) \frac{\partial u}{\partial \nu} (y) \right)\, d\sigma(y) + \int\limits_{B_R \left( \stackrel{\circ}{x} \right)} \varphi(y; x) f(y)\, dy

mit x \in B_R \left( \stackrel{\circ}{x} \right). Nun stellt das erste Integral auf der rechten Seite eine um den Punkt \stackrel{\circ}{x} reell analytische Funktion dar. Es wurde gezeigt, dass auch das zweite Integral eine um den Punkt \stackrel{\circ}{x} reell analytische Funktion liefert.

q.e.d.

[Bearbeiten] §2 Die Poissonsche Integralformel mit ihren Folgerungen

[Bearbeiten] Definition 1

In einem Normalgebiet G \subset \mathbb{R}^n sei eine Grundlösung \varphi = \varphi(y; x) gegeben. Diese nennen wir Greensche Funktion für das Gebiet G, falls für alle x \in G die Randbedingung
(1) \varphi(y; x) = 0 für alle y \in \partial G
erfüllt ist.

[Bearbeiten] Satz 1 (Poissonsche Integralformel)

In der Kugel B_R := \{y \in \mathbb{R}^n: |y| < R\} vom Radius R \in (0, +\infty) im \mathbb{R}^n, n \ge 2 löse die Funktion u = u(x) = u(x_1, \ldots, x_n) \in C^2(B_R) \cap C^0(\overline{B}_R) die Poissonsche Differentialgleichung
\Delta u(x) = f(x), \quad x \in B_R
mit der rechten Seite f = f(x) \in C^0(\overline{B}_R). Dann gilt für alle x \in B_R die Poissonsche Integraldarstellung
(2) u(x) = \frac{1}{R\omega_n} \int\limits_{|y| = R} \frac{|y|^2 - |x|^2}{|y - x|^n} u(y)\, d\sigma(y) + \int\limits_{|y| \le R} \varphi(y; x) f(y)\, dy.
Dabei ist \varphi = \varphi(y; x) die Greensche Funktion
\varphi(y; x) = \frac{1}{2\pi} \log \left| \frac{R(y - x)}{R^2 - \overline{x} y} \right|.

[Bearbeiten] Beweis

1. Wir setzen zunächst u \in C^2(\overline{B}_R) voraus. Dann gilt die Identität

u(x) = \int\limits_{|y| = R} u(y) \frac{\partial \varphi}{\partial \nu} (y; x)\, d\sigma(y) + \int\limits_{|y| \le R} \varphi(y; x) f(y)\, dy, \quad x \in B_R.

Wir beschränken uns zunächst auf den Fall n \ge 3. Dann haben wir als Greensche Funktion

\varphi(y; x) = \frac{1}{(2 - n) \omega_n} \Bigl( |y - x|^{2 - n} - K |y - \lambda x|^{2 - n} \Bigr), \quad y \in \overline{B}_R, \quad x \in B_R mit \lambda := \left( \frac{R}{|x|} \right)^2 und K = \left( \frac{R}{|x|} \right)^{n - 2} = \lambda^{\frac{n - 2}{2}}.

Ist nun x \in B_R fest und y \in \partial B_R beliebig, so berechnen wir

\frac{\partial}{\partial \nu} \varphi(y; x) = \frac{y}{R} \cdot \nabla_y \varphi(y; x) = \frac{1}{R\omega_n} y \cdot \left( |y - x|^{1 - n} \frac{y - x}{|y - x|} - K |y - \lambda x|^{1 - n} \frac{y - \lambda x}{|y - \lambda x|} \right)
= \frac{1}{R\omega_n} y \cdot \left( \frac{y - x}{|y - x|^n} - K \frac{y - \lambda x}{|y - \lambda x|^n} \right).

Diese Formel bleibt auch für n = 2 richtig, wobei dann K = 1 erfüllt ist. Wir beachten noch

|y - \lambda x|^2 = R^2 - 2\lambda (x \cdot y) + \lambda^2 |x|^2 = R^2 - 2 \frac{R^2}{|x|^2} (x \cdot y) + \frac{R^4}{|x|^2}
= \frac{R^2}{|x|^2} \Bigl( |x|^2 - 2 (x \cdot y) + R^2 \Bigr) = \lambda |y - x|^2

bzw.

|y - \lambda x|^n = \lambda^{\frac{n}{2}} |y - x|^n.

Es folgt schließlich

\frac{\partial}{\partial \nu} \varphi(y; x) = \frac{1}{R\omega_n |y - x|^n} y \cdot \Bigl( x - y - K \lambda^{- \frac{n}{2}} (y - \lambda x) \Bigr)
= \frac{1}{R\omega_n |y - x|^n} y \cdot \Bigl( (1 - K \lambda^{- \frac{n}{2}}) y - (1 - K \lambda^{\frac{- n + 2}{2}}) x \Bigr)
= \frac{|y|^2}{R\omega_n |y - x|^n} \left( 1 - \frac{1}{\lambda} \right) = \frac{|y|^2}{R\omega_n |y - x|^n} \left( 1 - \frac{|x|^2}{R^2} \right)
= \frac{|y|^2 - |x|^2}{R\omega_n |y - x|^n} für alle y \in \partial B_R und x \in B_R.

Wir erhalten somit die Poissonsche Integraldarstellung

u(x) = \frac{1}{R\omega_n} \int\limits_{|y| = R} \frac{|y|^2 - |x|^2}{|y - x|^n} u(y)\, d\sigma(y) + \int\limits_{|y| \le R} \varphi(y; x) f(y)\, dy, \quad x \in B_R.

2. Ist nun u \in C^2(B_R) \cap C^0(\overline{B}_R), so gilt nach Teil 1 des Beweises für alle \varrho \in (0, R) die Identität

u(x) = \frac{1}{\varrho \omega_n} \int\limits_{|y| = \varrho} \frac{|y|^2 - |x|^2}{|y - x|^n} u(y)\, d\sigma(y) + \int\limits_{|y| \le \varrho} \varphi(y; x, \varrho) f(y)\, dy,

wobei \varphi(y; x, \varrho) die Greensche Funktion für B_\varrho bezeichnet. Für \varrho \to R erhalten wir dann

u(x) = \frac{1}{R\omega_n} \int\limits_{|y| = R} \frac{|y|^2 - |x|^2}{|y - x|^n} u(y)\, d\sigma(y) + \int\limits_{|y| \le R} \varphi(y; x, R) f(y)\, dy

für alle x \in B_R.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Harnacksche Ungleichung)

Die Funktion u(x) \in C^2(B_R) sei in der Kugel B_R = \{y \in \mathbb{R}^n: |y| < R\} mit R \in (0, + \infty) harmonisch und es gelte u(x) \ge 0 für alle x \in B_R. Dann folgt
(3) \frac{1 - \frac{|x|}{R}}{\left( 1 + \frac{|x|}{R} \right)^{n - 1}} u(0) \le u(x) \le \frac{1 + \frac{|x|}{R}}{\left( 1 - \frac{|x|}{R} \right)^{n - 1}} u(0) für alle x \in B_R.

[Bearbeiten] Beweis

Wir nehmen zunächst u \in C^2(\overline{B}_R) an und können dann durch Grenzübergang die Ungleichung auch für Funktionen u \in C^2(B_R) beweisen . Satz 1 entnehmen wir

u(x) = \int\limits_{|y| = R} P(x, y, R) u(y)\, d\sigma(y), \quad x \in B_R.

Für beliebige y \in \mathbb{R}^n mit | y | = R und x \in B_R ist die folgende Ungleichung erfüllt:

\frac{|y|^2 - |x|^2}{(R + |x|)^n} \le \frac{|y|^2 - |x|^2}{|y - x|^n} \le \frac{|y|^2 - |x|^2}{(R - |x|)^n}.

Multiplizieren wir diese Ungleichung mit \frac{1}{R\omega_n} u(y) und integrieren anschließend über \partial B_R, so folgt

\frac{1}{R\omega_n} \frac{R^2 - |x|^2}{(R + |x|)^n} \int\limits_{|y| = R} u(y)\, d\sigma(y) \le u(x) \le \frac{1}{R\omega_n} \frac{R^2 - |x|^2}{(R - |x|)^n} \int\limits_{|y| = R} u(y)\, d\sigma(y).

Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen ausnutzend erhalten wir nun

R^{n - 2} \frac{R^2 - |x|^2}{(R + |x|)^n} u(0) \le u(x) \le R^{n - 2} \frac{R^2 - |x|^2}{(R - |x|)^n} u(0)

bzw.

\frac{1 - \frac{|x|^2}{R^2}}{\left( 1 + \frac{|x|}{R} \right)^n} u(0) \le u(x) \le \frac{1 - \frac{|x|^2}{R^2}}{\left( 1 - \frac{|x|}{R} \right)^n} u(0), \quad x \in B_R

Hieraus ergibt sich

\frac{1 - \frac{|x|}{R}}{\left( 1 + \frac{|x|}{R} \right)^{n - 1}} u(0) \le u(x) \le \frac{1 + \frac{|x|}{R}}{\left( 1 - \frac{|x|}{R} \right)^{n - 1}} u(0), \quad x \in B_R.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 3 (Liouvillescher Satz für harmonische Funktionen)

Sei u(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} eine harmonische Funktion, welche u(x) \le M für alle x \in \mathbb{R}^n mit einer Konstante M \in \mathbb{R} erfüllt. Dann folgt u(x) \equiv \operatorname{const}, x \in \mathbb{R}^n.

[Bearbeiten] Beweis

Wir betrachten die harmonische Funktion v(x) := M - u(x), x \in \mathbb{R}^n und stellen v(x) \ge 0 für alle x \in \mathbb{R}^n fest. Die Harnacksche Ungleichung liefert somit

\frac{1 - \frac{|x|}{R}}{\left( 1 + \frac{|x|}{R} \right)^{n - 1}} v(0) \le v(x) \le \frac{1 + \frac{|x|}{R}}{\left( 1 - \frac{|x|}{R} \right)^{n - 1}} v(0), \quad x \in B_R, \quad R > 0.

Für R \to +\infty erhalten wir v(x) = v(0) für alle x \in \mathbb{R}^n und damit u(x) \equiv \operatorname{const}, x \in \mathbb{R}^n.

q.e.d.

[Bearbeiten] Definition 2

Sei G \subset \mathbb{R}^n ein Gebiet und u = u(x) = u(x_1, \ldots, x_n): G \to \mathbb{R} \in C^0(G) eine stetige Funktion. Wir nennen u schwach harmonisch (superharmonisch, subharmonisch), falls
u(a) = (\ \ge,\ \le\ )\ \frac{1}{r^{n - 1} \omega_n} \int\limits_{|x - a| = r} u(x)\, d\sigma(x) = \frac{1}{\omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} u(a + r\xi)\, d\sigma(\xi)
für alle a \in G und r \in (0, \vartheta(a)) mit einem gewissen \vartheta(a) \in (0, \operatorname{dist}\, (a, \mathbb{R}^n \setminus G)] richtig ist.

[Bearbeiten] Satz 4 (Maximums- und Minimumsprinzip)

Eine im Gebiet G \subset \mathbb{R}^n superharmonische (subharmonische) Funktion u = u(x): G \to \mathbb{R} nehme in einem Punkt \stackrel{\circ}{x} \in G ihr globales Minimum (Maximum) an, d. h. es gilt
u(x) \ge u(\stackrel{\circ}{x}) \quad \left( u(x) \le u(\stackrel{\circ}{x}) \right) für alle x \in G.
Dann folgt
u(x) \equiv \operatorname{const} in G.

[Bearbeiten] Beweis

Da durch u \to -u subharmonische Funktionen in superharmonische übergehen, ist die Aussage nur für superharmonische Funktionen zu zeigen. Nun nehme die superharmonische Funktion u: G \to \mathbb{R} \in C^0(G) ihr globales Minimum in einem Punkt \stackrel{\circ}{x} \in G an. Wir betrachten dann die nicht leere Menge

G^* := \left\{ x \in G: u(x) = \inf_{y \in G} u(y) = u(\stackrel{\circ}{x}) \right\},

welche in G abgeschlossen ist. Wir zeigen nun, dass G * auch offen ist. Ist nämlich a \in G^* ein beliebiger Punkt, so haben wir

\inf_{y \in G} u(y) = u(a) \ge \frac{1}{\omega_n} \int\limits_{|\xi| = 1} u(a + r\xi)\, d\sigma(\xi) für alle r \in (0, \vartheta(a)).

Somit folgt u(x) = u(a) für alle x \in \mathbb{R}^n mit |x - a| < \vartheta(a). Folglich ist G * offen. Da nun G ein Gebiet ist, sieht man durch Fortsetzung leicht u(x) \equiv u(\stackrel{\circ}{x}) für alle x \in G ein, d. h. es gilt u(x) \equiv \operatorname{const}, x \in G.

q.e.d.

[Bearbeiten] §3 Das Dirichletproblem für die Laplacegleichung im \mathbb{R}^n

[Bearbeiten] Satz 1 (Eindeutigkeitssatz)

Seien u(x),v(x) zwei Lösungen des Dirichletproblems bei gegebenem G und f. Dann folgt
u(x) \equiv v(x) in \overline G.

[Bearbeiten] Beweis

Die Funktion w(x) := v(x) - u(x), x \in \overline G gehört zur Klasse C^2(G) \cap C^0(\overline G), ist insbesondere schwach harmonisch in G und hat die Randwerte

w(x) = u(x) − v(x) = f(x) − f(x) = 0 für alle x \in \partial G.

Es folgt w(x) \equiv 0 in \overline G bzw.

v(x) \equiv u(x), \quad x \in \overline G.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 2 (Regularitätssatz)

In einem Gebiet G \subset \mathbb{R}^n sei die schwach harmonische Funktion u = u(x): G \to \mathbb{R} \in C^0(G) gegeben. Dann ist u reell analytisch in G und genügt der Laplacegleichung Δu(x) = 0 für alle x \in G.

[Bearbeiten] Beweis

Sei a \in G beliebig gewählt, so betrachten wir zu geeignetem R \in (0, +\infty) die Kugel B_R(a) \subset \subset G. In dieser Kugel lösen wir das Dirichletproblem

(1) \begin{matrix} v = v(x) \in C^2(B_R(a)) \cap C^0(\overline{B_R(a)}), \\ \Delta v(x) = 0\quad \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ x \in B_R, \\ v(x) = u(x)\quad \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ x \in \partial B_R. \end{matrix}

Es gilt nun u(x) \equiv v(x) in \overline{B_R(a)}. Somit gilt u \in C^2(G) und Δu(x) = 0 für alle x \in G. Nach §1, Satz 1 ist ferner u reell analytisch in G.

[Bearbeiten] Definition 1

Sei G \subset \mathbb{R}^n ein beschränktes Gebiet und u = u(x): G \to \mathbb{R} \in C^0(G) eine stetige Funktion. Dann erklären wir die harmonisch abgeänderte Funktion
v(x) := [u]_{a, R}(x) := \begin{cases} u(x), & x \in G\ mit\ |x - a| \ge R \\ \frac{1}{R\omega_n} \int\limits_{|y - a| = R} \frac{|y - a|^2 - |x - a|^2}{|y - x|^n} u(y)\, d\sigma(y), & x \in G\ mit\ |x - a| < R \end{cases}
für alle a \in G und R \in (0, \operatorname{dist}\, (a, \mathbb{R}^n \setminus G)).

[Bearbeiten] Definition 2

Sei G \subset \mathbb{R}^n ein beschränktes Gebiet. Einen Randpunkt x \in \partial G nennen wir regulär, wenn es eine superharmonische Funktion \Phi(y) = \Phi(y; x): G \to \mathbb{R} mit
\lim_{y \to x \atop y \in G} \Phi(y) = 0
und
\varrho(\varepsilon) \inf_{y \in G \atop |y - x| \ge \varepsilon} \Phi(y) > 0
für alle \varepsilon > 0 gibt. Ist jeder Randpunkt von G regulär, so sprechen wir von einem Dirichletgebiet.

[Bearbeiten] Satz 3 (Existenzsatz)

Sei G \subset \mathbb{R}^n ein beschränktes Gebiet mit n \ge 2. Dann ist das Dirichletproblem
(2) \begin{matrix} u = u(x) \in C^2(G) \cap C^0(\overline{G}), \\ \Delta u(x) = 0 \ in\ G, \\ u(x) = f(x) \ auf\ \partial G \end{matrix}
für alle stetigen Randfunktionen f: \partial G \to \mathbb{R} genau dann lösbar, wenn G im Sinne von Definition 2 ein Dirichletgebiet ist.

[Bearbeiten] Beweis

„\Rightarrow“ Das Dirichletproblem sei für alle stetigen f: \partial G \to \mathbb{R} lösbar. Ist nun \xi \in \partial G beliebig, so wählen wir f(y) := |y - \xi|, y \in \partial G und lösen zu diesen Randwerten das Dirichletproblem (2). Für die harmonische Funktion u = u(x): \overline{G} \to \mathbb{R} folgt nach dem Minimumprinzip

u(x) > 0 für alle x \in \overline{G} \setminus \{\xi\}.

Somit ist ξ ein regulärer Randpunkt.

„\Leftarrow“ Sei G ein Dirichletgebiet und x \in \partial G ein beliebiger, regulärer Randpunkt. Dann gibt es eine zugehörige superharmonische Funktion \Phi(y) = \Phi(y; x): G \to \mathbb{R} gemäß Definition 2. Da f: \partial G \to \mathbb{R} stetig ist, existiert zu vorgegebenem \varepsilon > 0 ein \delta = \delta(\varepsilon) > 0mit |f(y) - f(x)| \le \varepsilon für alle y \in \partial G mit |y - x| \le \delta. Wir erklären nun

\eta(\varepsilon) := \inf_{y \in \partial G \atop |y - x| \ge \delta(\varepsilon)} \Phi(y) > 0.

1. Die obere Barrierefunktion

v^+(y) := f(x) + \varepsilon + (M - m) \frac{\Phi(y)}{\eta(\varepsilon)}, \quad y \in G

sei gegeben. Offenbar ist v + superharmonisch in G. Ferner gilt für eine beliebige Folge \{y^{(k)}\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset G mit y^{(k)} \to y^+ \in \partial G für k \to \infty

\liminf_{k \to \infty} v^+(y^{(k)}) \ge f(y^+).

Also ist v^+ \in \mathcal{M} erfüllt.

2. Nun betrachten wir die untere Barrierefunktion

v^-(y) := f(x) - \varepsilon - (M - m) \frac{\Phi(y)}{\eta(\varepsilon)}, \quad y \in G

Sei v \in \mathcal{M} beliebig gewählt. Für eine Folge \{y^{(k)}\}_{k = 1, 2, \ldots} \subset G mit y^{(k)} \to y^- \in \partial G für k \to \infty berechnen wir

\liminf_{k \to \infty} \left( v(y^{(k)}) - v^-(y^{(k)}) \right) \ge \liminf_{k \to \infty} \left( v(y^{(k)}) - f(y^-) \right) + \liminf_{k \to \infty} \left( f(y^-) - v^-(y^{(k)}) \right) \ge 0.

Weiter ist v − v − superharmonisch in G und es gilt v - v^- \ge 0 in G bzw.

v(y) \ge v^-(y), \quad y \in G

für alle v \in \mathcal{M}.

3. Für die harmonische Funktion

u(y) := \inf_{y \in \mathcal{M}} v(y), \quad y \in G

zeigen wir nun, dass u stetig die Randwerte f annimmt. Wegen 1. und 2. ist

v^-(y) \le u(y) \le v^+(y) für alle y \in G

erfüllt, d. h. es gilt

f(x) - \varepsilon - (M - m) \frac{\Phi(y)}{\eta(\varepsilon)} \le u(y) \le f(x) + \varepsilon + (M - m) \frac{\Phi(y)}{\eta(\varepsilon)}, \quad y \in G.

Beachten wir noch \lim_{y \in G \atop y \to x} \Phi(y) = 0, so erhalten wir

|f(x) - u(y)| \le \varepsilon + (M - m) \frac{\Phi(y)}{\eta(\varepsilon)} \le 2\varepsilon

für alle y \in G mit |y - x| \le \delta^*(\varepsilon). Somit folgt

\lim_{y \in G \atop y \to x} u(y) = f(x).

Also löst u das Dirichletproblem (2) für die Randwerte f.

q.e.d.

[Bearbeiten] Satz 4 (Poincarébedingung)

Ein Randpunkt x \in \partial G ist regulär, wenn es eine Kugel Br(a) mit a \in \mathbb{R}^n und r \in (0, +\infty) gibt, so dass \overline{G} \cap \overline{B_r(a)} = \{x\} erfüllt ist. Insbesondere sind dann beschränkte Gebiete mit regulärem C2-Rand Dirichletgebiete.

[Bearbeiten] Beweis

Indem man für n = 2 die in G harmonische Funktion

\Phi(y) := \log \left( \frac{|y - a|}{r} \right), \quad y \in G

und für n \ge 3 die harmonische Funktion

\Phi(y) := r^{2 - n} - |y - a|^{2 - n}, \quad y \in G

betrachtet, folgt unmittelbar die Behauptung.

q.e.d.

[Bearbeiten] §4 Die Theorie der Kugelfunktionen: Fourierreihen

[Bearbeiten] Satz 1 (Fourierreihen)

Das System der Funktionen
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \quad \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos k\varphi, \quad \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin k\varphi, \quad \varphi \in [0, 2\pi], \quad k = 1, 2, \ldots
bildet ein vollständiges Orthonormalsystem, kurz v. o. n. S., im Prä-Hilbertraum \mathcal{H} := C^0(S^1, \mathbb{R}) ausgestattet mit dem in
(1) (u, v) := \int\limits_0^{2\pi} u(e^{i\varphi}) v(e^{i\varphi})\, d\varphi, \quad u, v \in C^0(S^1, \mathbb{R})
angegebenen inneren Produkt.

[Bearbeiten] Beweis

1. Man rechnet leicht nach, dass das angegebene Funktionensystem \mathcal{S} orthonormiert ist, d. h. \|u\| = 1 für alle u \in \mathcal{S} und (u,v) = 0 für alle u, v \in \mathcal{S} mit u \neq v. Es bleibt zu zeigen, dass dieses Orthonormalsystem von Funktionen vollständig im Prä-Hilbertraum \mathcal{H} ist. Es ist zu zeigen, dass für jedes u \in \mathcal{H} ihre zugehörige Fourierreihe diese Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm \|\cdot\| approximiert.

2. Sei also

u = u(x) \in \mathcal{H} = C^0(S^1, \mathbb{R})

beliebig gegeben. Wir setzen dann u harmonisch in die Kreisscheibe

B = \{x \in \mathbb{R}^2: |x| < 1\}

fort mittels

(2) u(z) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1 - r^2}{|e^{i\varphi} - z|^2} u(e^{i\varphi})\, d\varphi, \quad |z| < 1,

wobei wir z = r e^{i\vartheta} gesetzt haben. Wir entwickeln nun den Poissonschen Kern wie folgt:

\frac{1 - r^2}{|e^{i\varphi} - z|^2} = \frac{1 - r^2}{|e^{i\varphi} - r e^{i\vartheta}|^2} = \frac{1 - r^2}{|1 - r e^{i(\vartheta - \varphi)}|^2}
= \frac{1 - r^2}{(1 - r e^{i(\vartheta - \varphi)}) (1 - r e^{i(\varphi - \vartheta)})} = - 1 + \frac{1}{1 - r e^{i(\varphi - \vartheta)}} + 1 - r e^{- i(\varphi - \vartheta)}
= - 1 + \sum^\infty_{k = 0} r^k e^{i k (\varphi - \vartheta)} + \sum^\infty_{k = 0} r^k e^{- ik (\varphi - \vartheta)} = 1 + 2 \sum^\infty_{k = 1} r^k \cos k (\varphi - \vartheta).

Die Reihe konvergiert hierbei lokal gleichmäßig für 0 \le r < 1 und \varphi, \vartheta \in \mathbb{R}. Nun gilt

\cos k (\varphi - \vartheta) = \cos k\varphi \cos k\vartheta + \sin k\varphi \sin k\vartheta

und wir erhalten mit g(\varphi) := u(e^{i\varphi}), \varphi \in [0, 2\pi)

u(r e^{i\vartheta}) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \left\{ 1 + 2 \sum^\infty_{k = 1} r^k \Bigl( \cos k\varphi \cos k\vartheta + \sin k\varphi \sin k\vartheta \Bigr) \right\} g(\varphi)\, d\varphi
= \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} g(\varphi)\, d\varphi + \sum^\infty_{k = 1} \left\{ \left( \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} g(\varphi) \cos k\varphi\, d\varphi \right) r^k \cos k\vartheta + \left( \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} g(\varphi) \sin k\varphi\, d\varphi \right) r^k \sin k\vartheta \right\}.

Wir setzen schließlich

(3) a_k := \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} g(\varphi) \cos k\varphi\, d\varphi, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

und

(4) b_k := \frac{1}{\pi} \int\limits_0^{2\pi} g(\varphi) \sin k\varphi\, d\varphi, \quad k = 1, 2, \ldots.

Damit erhalten wir in

(5) u(re^{i\vartheta}) = \frac{1}{2} a_0 + \sum^\infty_{k = 1} \Bigl( a_k \cos k\vartheta + b_k \sin k\vartheta \Bigr) r^k, \quad 0 \le r < 1, 0 \le \vartheta < 2\pi

die Fourierentwicklung einer in | z | < 1 harmonischen Funktion.

3. Da u(z) stetig in \overline{B} ist, gibt es zu vorgegebenem \varepsilon > 0 ein r \in (0, 1), so dass

(6) |u(re^{i\vartheta}) - g(\vartheta)| \le \varepsilon für alle \vartheta \in [0, 2\pi)

richtig ist. Weiter können wir ein N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N} so wählen, dass

(7) \left| \frac{a_0}{2} + \sum^N_{k = 1} r^k \Bigl( a_k \cos k\vartheta + b_k \sin k\vartheta \Bigr) - g(\vartheta) \right| \le \varepsilon für alle \vartheta \in [0, 2\pi)

erfüllt ist. Zu vorgegebenem \varepsilon > 0 finden wir also reelle Koeffizienten A_0, \ldots, A_N und B_1, \ldots, B_N, so dass für das trigonometrische Polynom

F_\varepsilon(\vartheta) := A_0 + \sum^\infty_{k = 1} \Bigl( A_k \sin k\vartheta + B_k \cos k\vartheta \Bigr), \quad 0 \le \vartheta < 2\pi

die Ungleichung

(8) |F_\varepsilon(\vartheta) - g(\vartheta)| \le 2\varepsilon für alle \vartheta \in [0, 2\pi)

richtig ist. Wir erhalten damit

(9) \|F_\varepsilon - g\| \le 2 \sqrt{2\pi} \varepsilon.

Wegen der Minimaleigenschaft der Fourierkoeffizienten approximiert die zum angegebenen Funktionensystem zugehörige Fourierreihe die vorgegebene Funktion bezüglich der Hilbertraumnorm. Nun ist dieses Funktionensystem ein vollständiges Orthonormalsystem in \mathcal{H}.

q.e.d.

[Bearbeiten] §5 Die Theorie der Kugelfunktionen in n Variablen

[Bearbeiten] Definition 1

Sei H_k = H_k(x_1, \ldots, x_n) \in C^2(\mathbb{R}^n) eine harmonische Funktion auf der Menge \mathbb{R}^n := \mathbb{R}^n \setminus \{0\}, welche homogen vom Grade k ist, d. h.
H_k(tx_1, \ldots, tx_n) = t^k H(x_1, \ldots, x_n) für alle x \in \mathbb{R}^n, \quad t \in (0, +\infty).
Dann heißt
H_k = H_k(\xi_1, \ldots, \xi_n): S^{n - 1} \to \mathbb{R}
eine n-dimensionale Kugelfunktion oder auch sphärisch harmonische Funktion vom Grade k; hierbei bezeichnet
S^{n - 1} := \{\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n) \in \mathbb{R}^n: \xi_1^2 + \ldots + \xi_n^2 = 1\}
die (n − 1)-dimensionale Einheitssphäre im \mathbb{R}^n.
Von „http://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Analysis_III/Kapitel_V:_Potenzialtheorie_und_Kugelfunktionen“
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