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Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 10/latex

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\setcounter{section}{10}






\zwischenueberschrift{Schemata}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionswort {Schema}{} ist ein \definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} derart, dass es eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, für die die
\mathl{(U_i, {\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i})}{} \definitionsverweis {affine Schemata}{}{} sind.

}





\inputfaktbeweis
{Schema/Punkt/Offene Umgebung/Affin/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein \definitionsverweis {Schema}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt.}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jeder \definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene affine Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V }
{ \subseteq }{U }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ \in} {W }
{ =} { \operatorname{Spec} { \left( R \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine offene affine Umgebung von $P$. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ U \cap W }
{ \subseteq }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Teilmenge von
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} und damit von der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U \cap W }
{ = }{ D { \left( {\mathfrak a} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D { \left( {\mathfrak a} \right) } }
{ = }{ \bigcup_{f \in {\mathfrak a} } D(f) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ \in} {D(f) }
{ \subseteq} { D { \left( {\mathfrak a} \right) } }
{ \subseteq} { U }
{ } { }
} {}{}{} für ein $f$ und
\mathl{D(f)}{} ist affin nach Lemma 9.13.

}






\inputfaktbeweis
{Schema/Offene Teilmenge/Affine Überdeckung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {Schemas}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{}}
\faktfolgerung {besitzt eine Überdeckung mit affinen offenen Mengen und ist somit selbst ein Schema.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Als offene Teilmengen eines beringten Raumes ist $U$ ebenfalls ein beringter Raum. Die Existenz der affinen Überdeckung folgt unmittelbar aus Lemma 10.2.

}





\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{X }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {affinen Schemas}{}{} $X$ nennt man ein \definitionswort {quasiaffines Schema}{.}

}





\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} $(R, {\mathfrak m} )$ nennt man
\mathdisp {\operatorname{Spek} { \left( R \right) } \setminus \{ {\mathfrak m} \}} { }
das \definitionswort {punktierte Spektrum}{} von $R$.

}

Als beringte Räume kann man Schemata grundsätzlich entlang offener Teilmengen im Sinne von Lemma 7.10 miteinander verkleben. Wir geben dafür zwei Beispiele.


\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S] \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T] \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit den offenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U' }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (S) \} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S,S^{-1}] \right) } }
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V' }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (T) \} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T,T^{-1}] \right) } }
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten den \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U'} {V' } {,} der durch
\mathl{S \mapsto T}{} festgelegt ist und wir wollen \mathkor {} {U} {und} {V} {} im Sinne von Lemma 7.10 miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde $X$ ist ein Schema, das man die in einem Punkt verdoppelte Gerade nennt. Die beiden durch \mathkor {} {(S)} {bzw.} {(T)} {} gegebenen Punkte auf $X$ nennen wir \mathkor {} {P} {bzw.} {Q} {.} Es liegt das kommutative Diagramm \zusatzklammer {von Restriktionshomomorphismen} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) = K[S] & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma (V, {\mathcal O}_X ) = K[S] & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma (U', {\mathcal O}_X ) = K[S,S^{-1}] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei wir die Identifizierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ =} { K[S] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die globalen Funktionen haben in $P$ und in $Q$ den gleichen Wert. Mit einer ähnlichen Überlegung lässt sich zeigen, dass die Halme
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{X,P} }
{ = }{ {\mathcal O}_{X,Q} }
{ = }{ K[S]_{(S)} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} übereinstimmen \zusatzklammer {alles spielt sich im Funktionenkörper $K(S)$ ab} {} {.}


}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die affine Gerade zweifach, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S] \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T] \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit den offenen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U' }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (S) \} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[S,S^{-1}] \right) } }
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V' }
{ = }{ {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{ (T) \} }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( K[T,T^{-1}] \right) } }
{ \subset }{{\mathbb A}^{1}_{K} }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten den \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U'} {V' } {,} der durch
\mathl{S \mapsto T^{-1}}{} festgelegt ist und wir wollen \mathkor {} {U} {und} {V} {} im Sinne von Lemma 7.10 miteinander verkleben. Das sich ergebende Gebilde
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X }
{ = }{ {\mathbb P}^{1}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist ein Modell für die projektive Gerade über $K$. Die beiden durch \mathkor {} {(S)} {bzw.} {(T)} {} gegebenen Punkte auf $X$ nennen wir \mathkor {} {P} {bzw.} {Q} {.} Wenn bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit der metrischen Topologie} {} {} eine Folge in $U'$ gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiert, so divergiert sie in $V$ bestimmt gegen unendlich.

Es liegt das kommutative Diagramm \zusatzklammer {von Restriktionshomomorphismen} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K} , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( U , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } = K[S] & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma { \left( V, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } = K[T] = K[S^{-1} ] & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( U' , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } \right) } = K[S,S^{-1}] & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei wir die Identifizierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ = }{T^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgenommen haben. Aus der Garbenbedingung folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ =} { K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da nur die konstanten Funktionen sowohl in
\mathl{K[S]}{} als auch in
\mathl{K[S^{-1}]}{} sind \zusatzklammer {es wird der Durchschnitt im \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(S)}{} genommen} {} {.} Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{X,P} }
{ = }{ K[S]_{(S)} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal O}_{X,Q} }
{ = }{ K[S^{-1} ]_{(S^{-1})} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{.}


}






\zwischenueberschrift{Morphismen von Schemata}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionswort {Schemamorphismus}{} \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} zwischen \definitionsverweis {Schemata}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} ist ein \definitionsverweis {Morphismus}{}{} der lokal beringten Räume.

}

Wir wollen zuerst die zu einem Ringhomomorphismus \maabb {\theta} {R} {S } {} gehörende Spektrumsabbildung \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {} zu einem Schemamorphismus machen. Dies ergibt sich als Spezialfall des folgenden Satzes.




\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein \definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {affines Schema}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es zu jedem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {\theta} {R} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) } {} einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{} \maabb {} {X} {Y } {,} der $\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wegen Lemma 7.18 muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(x) }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid x \notin X_{\theta(f) } \right\} } }
{ =} { (\rho_x \circ \theta)^{-1} { \left( {\mathfrak m}_x \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein, wobei \maabb {\rho_x} { \Gamma (X, {\mathcal O} ) } { {\mathcal O}_{X,x} } {} den Restriktionshomomorphismus in den Halm
\mathl{{\mathcal O}_{X,x}}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}_x }
{ \subseteq }{ {\mathcal O}_{X,x} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (D(f)) }
{ =} { X_{\theta (f)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt, die
\mathl{D(f)}{} nach Proposition 8.4  (8) eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden und da die
\mathl{X_{\theta (f)}}{} nach Lemma 7.16 offen sind. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegen die Ringhomomorphismen
\mathdisp {R \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) \longrightarrow \Gamma ( X_{\theta(f)} , {\mathcal O}_X )} { }
vor, wobei $\theta(f)$ rechts zu einer Einheit wird. Nach Satz 15.13 (Kommutative Algebra) gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus \maabbdisp {} {R_f} { \Gamma (X_{\theta(f)} , {\mathcal O}_X ) } {,} der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus \maabbdisp {} { \Gamma ( D( {\mathfrak a} ) , {\mathcal O}_Y )} { \Gamma ( \varphi^{-1} (D( {\mathfrak a} )) , {\mathcal O}_X ) } {} für jede offene Menge
\mathl{D( {\mathfrak a} )}{} festgelegt. Es gilt nämlich mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D( {\mathfrak a} ) }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} D(f_i) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma ( D( {\mathfrak a} ) , {\mathcal O}_Y ) }
{ =} { { \left\{ (s_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} R_{f_i} \mid s_i = s_j \text{ in } R_{f_if_j} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma ( \varphi^{-1}( D( {\mathfrak a} )) , {\mathcal O}_X ) }
{ =} { { \left\{ (t_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} \Gamma ( X_{\theta(f_i)} , {\mathcal O}_X ) \mid t_i = t_j \text{ in } \Gamma ( X_{\theta(f_if_j)} , {\mathcal O}_X ) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da wir rechts auf den $R_{f_i}$ bzw. $R_{f_if_j}$ wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.

}





\inputfaktbeweis
{Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und \maabb {\theta} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {} { \operatorname{Spek} { \left( S \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {,} der $\theta$ als globalen Homomorphismus besitzt. Topologisch handelt es sich um die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt unmittelbar aus Satz 10.9. Die Überlegung zu Beginn des Beweises von diesem Satz zeigt, dass es sich um die Spektrumsabbildung handelt.

}





\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Spek Z/Kanonischer Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein \definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen kanonischen \definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{} \maabb {} {X} { \operatorname{Spek} { \left( \Z \right) } } {.}}
\faktzusatz {Dabei wird ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf die \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} seines \definitionsverweis {Restekörpers}{}{}
\mathl{\kappa (x)}{} abgebildet.}
\faktzusatz {}

}
{

Der kanonische Ringhomomorphismus \maabbdisp {} {\Z} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) } {} legt nach Satz 10.9 einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{} \maabbdisp {} {X} { \operatorname{Spek} { \left( \Z \right) } } {} fest.

}





\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Globale Funktion/Affine Gerade/Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein \definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann definiert jede globale Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{} \maabb {} {X} { {\mathbb A}^{1}_{\Z} } {,} wobei die Variable \zusatzklammer {der affinen Geraden} {} {} auf $f$ abgebildet wird.}
\faktzusatz {Wenn
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} eine $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist, so definiert $f$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume \maabb {} {X} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {.} Dabei wird ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf den Kern des Ringhomomorphismus \maabbeledisp {} { K[T]} { \kappa (x) } {T} { f(x) } {,} abgebildet.}
\faktzusatz {}

}
{

Das Ringelement
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definiert einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {} { \Z[T]} { \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) } {,} nämlich den \definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{.} Nach Satz 10.9 gibt es dazu einen eindeutig bestimmten Morphismus lokal beringter Räume \maabbdisp {} { { \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( \Z[T] \right) } = {\mathbb A}^{1}_{\Z} } {.} Der Zusatz ergibt sich entsprechend.

}


\inputfaktbeweis
{Lokal beringter Raum/Affiner Raum/Morphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei ${ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }$ ein \definitionsverweis {lokal beringter Raum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann definiert jedes Funktionstupel
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n }
{ \in }{ \Gamma (X, {\mathcal O}_X ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen eindeutig bestimmten \definitionsverweis {Morphismus lokal beringter Räume}{}{} \maabb {} {X} { { {\mathbb A}_{ \Z }^{ n } } } {,} wobei die Variable $T_i$ \zusatzklammer {des affinen Raumes} {} {} auf $f_i$ abgebildet wird.}
\faktzusatz {Wenn
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} eine $R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} über einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ ist, so definieren die $f_1 , \ldots , f_n$ auch einen Morphismus lokal beringter Räume \maabb {} {X} { { {\mathbb A}_{ R }^{ n } } } {.} Dabei wird ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf den Kern des Ringhomomorphismus \maabbeledisp {} { R[T_1 , \ldots , T_n ]} { \kappa (x) } {T_i} { f_i(x) } {,} abgebildet.}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 10.3. }

Ein Morphismus in einen affinen Raum ist also nichts anderes als ein Tupel von globalen Funktionen.

Wenn \maabbdisp {\varphi} {X} {Y } {} ein Morphismus ist, so ist für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch die induzierte Abbildung \maabbdisp {} {\varphi^{-1}(V)} {V } {} ein Morphismus. Wenn $V$ zusätzlich affin ist, so wird ein solcher Morphismus lokal \zusatzklammer {bezogen auf $Y$} {} {} wegen Satz 10.9 durch einen Ringhomomorphismus gegeben. Dies bedeutet, dass ein Schemamorphismus \maabb {\varphi} {X} {Y } {} mit Hilfe einer affinen Überdeckung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y }
{ =} { \bigcup_{i \in I} V_i }
{ =} { \bigcup_{i \in I} \operatorname{Spek} { \left( R_i \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Wesentlichen durch die Ringhomomorphismen \maabbdisp {} {R_i} { \Gamma ( \varphi^{-1}(V_i) , {\mathcal O}_X ) } {} bestimmt ist.






\zwischenueberschrift{Schema über Basisschema}

Bei einer kommutativen $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} $A$ über einem Körper $K$ ist durch den kanonischen Ringhomomorphismus \maabb {} {K} {A } {} eine kanonische Spektrumsabbildung \maabbdisp {} { \operatorname{Spek} { \left( A \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( K \right) } } {} festgelegt, die ja topologisch einfach die konstante Abbildung ist, die aber dennoch festlegt, wie die Konstanten aus $K$ zu interpretieren sind. Im Kontext von Schemata wird die Rolle eines Grundringes von einem Basisschema übernommen.




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Schema}{}{} $X$ zusammen mit einem fixierten \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabb {p} {X} {S } {} zu einem weiteren Schema $S$ heißt ein \definitionswort {Schema über}{} $S$. Dabei heißt $S$ das \definitionswort {Basisschema}{.}

}

Häufig ist das Basisschema einfach das Spektrum eines Körpers. Wegen Korollar 10.11 ist jedes Schema in eindeutiger Weise ein Schema über
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( \Z \right) }}{.} Bei einem Schema über
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} spricht man auch von einem Schema über $R$. Die Rolle von Algebrahomomorphismen wird durch Morphismen übernommen, die mit der Basis verträglich sind.




\inputdefinition
{}
{

Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {Schemata über}{}{} dem Basisschema $S$. Ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {X} {Y } {} heißt \definitionswort {Schemamorphismus über}{} $S$, wenn das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}X & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & Y & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & S & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {X} {Y } {} heißt \definitionswort {von endlichem Typ}{,} wenn es eine affine offene Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (V_i) }
{ =} { \bigcup_{i \in I_j} U_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt so, dass zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \in }{ I_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} \maabbdisp {} { \Gamma (V_j, {\mathcal O}_Y ) } { \Gamma (U_i, {\mathcal O}_X ) } {} \definitionsverweis {von endlichem Typ}{}{} sind.

}






\zwischenueberschrift{Einbettungen}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {f} {Y} {X } {} heißt \definitionswort {offene Einbettung}{,} wenn $f$ einen \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} mit einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{} von $X$ induziert.

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {f} {Y} {X } {} heißt \definitionswort {abgeschlossene Einbettung}{,} wenn das \definitionsverweis {Bild}{}{} $f(Y)$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{} von $X$ ist, ein \definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{} \maabb {} {Y} {f(Y) } {} vorliegt und der zugehörige \definitionsverweis {Garbenhomomorphismus}{}{} \maabb {} { {\mathcal O}_{ X } } { f_* {\mathcal O}_{ Y } } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabb {f} {Y} {X } {} heißt \definitionswort {Einbettung}{,} wenn es eine Faktorisierung
\mathdisp {Y \stackrel{g}{\longrightarrow} Z \stackrel{h}{\longrightarrow} X} { }
mit einer \definitionsverweis {offenen Einbettung}{}{} $g$ und einer \definitionsverweis {abgeschlossenen Einbettung}{}{} $h$ gibt.

}