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Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 12/latex

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\setcounter{section}{12}






\zwischenueberschrift{Das projektive Spektrum eines graduierten Ringes}

Das projektive Spektrum wird üblicherweise für $\N$-\definitionsverweis {graduierte Ringe}{}{} eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit $\Z$-Graduierungen zu arbeiten.


\inputdefinition
{}
{

Zu einem $\Z$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{} nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad $\neq 0$ \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{} das \definitionswort {irrelevante Ideal}{.} Es wird mit $R_+$ bezeichnet.

}

Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal
\mathl{\bigoplus_{n \geq 1 } R_n}{.} Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein.




\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Dann nennt man die Menge der \definitionsverweis {homogenen Primideale}{}{} von $R$, die nicht $R_+$ umfassen, das \definitionswort {projektive Spektrum}{} von $R$. Es wird mit
\mathl{\operatorname{Proj} { \left( R \right) }}{} bezeichnet.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Dann nennt man die Menge der \definitionsverweis {homogenen Primideale}{}{} von $R$, die nicht $R_+$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+ { \left( {\mathfrak a} \right) } }
{ =} { { \left\{ {\mathfrak p} \in \operatorname{Proj} { \left( R \right) } \mid {\mathfrak a} \not\subseteq {\mathfrak p} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als offen erklärt werden, das \definitionswort {projektive Spektrum}{} von $R$.

}

Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+( {\mathfrak a}) }
{ =} { \bigcup_{f \in {\mathfrak a} \text{ homogen} } D_+(f) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(f) }
{ =} { { \left\{ {\mathfrak p} \in \operatorname{Proj} { \left( R \right) } \mid f \notin {\mathfrak p} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese
\mathl{D_+(f)}{} bilden eine Basis der Topologie.




\inputdefinition
{}
{

Das \definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{} des \definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
\mathl{R [X_0,X_1 , \ldots , X_n]}{} nennt man den \definitionswort {projektiven Raum}{} der Dimension $n$ über $R$.

}

Zu einem $\Z$-graduierten Ring $S$ bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit $S_0$. Wenn $R$ $\N$-graduiert ist, so ist $R_0$ häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme $R_f$ in natürlicher Weise $\Z$-graduiert und ${ \left( R_f \right) }_0$ kann beliebig kompliziert sein.

Zu einem homogenen Primideal ${\mathfrak p}$ ist
\mathl{R \setminus {\mathfrak p}}{} ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von $R \setminus {\mathfrak p}$ mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{ ( {\mathfrak p} )} }
{ =} { ( R_{ (R \setminus {\mathfrak p}) \cap \{ \text{homogene Elemente} \} })_0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bezeichnet.





\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Homogenes Primideal/Lokalisierung/Nullte Stufe/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu einem \definitionsverweis {homogenen}{}{} \definitionsverweis {Primideal}{}{} ${\mathfrak p}$ in einem $\N$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{} $R$}
\faktfolgerung {ist
\mathl{R_{ ( {\mathfrak p} )}}{} ein \definitionsverweis {lokaler Ring}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s }
{ \in }{ R_{({\mathfrak p})} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Nichteinheiten. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{ { \frac{ a }{ f } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{ { \frac{ b }{ g } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit homogenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g }
{ \notin }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und homogenen Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ag+bf }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ f } } + { \frac{ b }{ g } } }
{ =} { { \frac{ ag+bf }{ fg } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls eine Nichteinheit in $R_{( {\mathfrak p} )}$.

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das mit der Zariski-Topologie versehene \definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{} von $R$. Unter der \definitionswort {Strukturgarbe}{} auf $Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{Y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den kommutativen Ring
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Gamma (U, {\mathcal O}_Y ) }
{ =} { { \left\{ { \left( s_{\mathfrak p} \right) }_{ {\mathfrak p} \in U} \in \prod_{ {\mathfrak p} \in U } R_{ ( {\mathfrak p}) } \mid \text{ für alle } {\mathfrak p} \in U \text{ gibt es homogene Elemente } a,b \in R \text{ mit } {\mathfrak p} \in D_+(b) \subseteq U \text{ und } s_{\mathfrak q} = { \frac{ a }{ b } } \text{ in } R_{ ( {\mathfrak q})} \text{ für alle } {\mathfrak q} \in D_+(b) \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die natürliche Projektion zuordnet.

}

Diese Definition beinhaltet insbesondere, dass in jeder Darstellung die Differenz
\mathl{\operatorname{Grad} \, (a) - \operatorname{Grad} \, (b)}{} gleich $0$ ist. Man kann dies als Vergarbung der durch
\mathdisp {D_+( {\mathfrak a} ) \mapsto \operatorname{colim}_{ D_+( {\mathfrak a} ) \subseteq D_+(f) }\, (R_f)_0} { }
definierten Prägarbe auffassen, wodurch klar wird, dass eine Garbe aus kommutativen Ringen vorliegt.


\inputdefinition
{}
{

Es sei $R$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.} Unter dem \definitionswort {projektiven Spektrum}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y }
{ = }{ \operatorname{Proj} { \left( R \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene \definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{} von $R$.

}





\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Homogene Einheit/Homöomorphie/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $R$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{,} der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.}
\faktfolgerung {Dann ist die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Proj} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R_0 \right) } } { {\mathfrak p} } { {\mathfrak p} \cap R_0 } {,} eine Bijektion, die bezüglich der Zariski-Topologien eine \definitionsverweis {Homöomorphie}{}{} und bezüglich der Strukturgarben ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist. Ferner ist dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_{ ( {\mathfrak p} )} }
{ =} { { \left( R_0 \right) }_{ {\mathfrak p} \cap R_0 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Zunächst ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}_0 }
{ \defeq }{ {\mathfrak p} \cap R_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei $g$ eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich ${\mathfrak p}$ aus ${\mathfrak p}_0$ rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von ${\mathfrak p}$, die ja das Ideal festlegen, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap H }
{ =} { { \left\{ h \text{ homogen} \mid \text{ es gibt } i\in \Z,j\in \N_+ \text{ mit } g^i h^j \in {\mathfrak p}_0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ist die Inklusion $\subseteq$ klar, da man \mathkor {} {i} {und} {j} {} so wählen kann, dass der Grad von
\mathl{g^i h^j}{} gleich $0$ wird. Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^i h^j }
{ \in }{ {\mathfrak p}_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so ist zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h^j }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und wegen der Primeigenschaft dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h }
{ \in }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${\mathfrak q}$ ein Primideal aus $R_0$ und wir betrachten das von
\mathdisp {{ \left\{ h \text{ homogen} \mid \text{ es gibt } i\in \Z,j\in \N_+ \text{ mit } g^i h^j \in {\mathfrak q} \right\} }} { }
erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz $R_+$, da es nicht $g$ enthält, da ${\mathfrak q}$ nicht die $1$ enthält. Wenn
\mathl{h_1h_2}{} zu dieser Menge gehört, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^i h_1^j h_2^j }
{ \in }{ {\mathfrak q} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für gewisse $i,j$ und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( g^i h_1^j h_2^j \right) }^n }
{ =} { { \left( g^ah_1^b \right) } { \left( g^c h_2^d \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad $0$ haben. Dann muss ein Faktor zu ${\mathfrak q}$ gehören und somit \mathkor {} {h_1} {oder} {h_2} {} zu der angegebenen Menge.

Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen \mathkor {} {D_+(f)} {bzw.} {D(f)} {} zu homogenen Elementen \zusatzklammer {vom Grad $0$} {} {} jeweils eine \definitionsverweis {Basis der Topologie}{}{} bilden, dass das Urbild von $D(f)$ gleich
\mathl{D_+(f)}{} ist und dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_+(f) }
{ = }{ D_+(fg^j) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}





\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Hauptmenge/Schema/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu einem $\Z$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{} $R$ und einem \definitionsverweis {homogenen Element}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von einem Grad $\neq 0$ ist}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+(f) }
{ \cong} { \operatorname{Spek} { \left( { \left( R_f \right) }_0 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als \definitionsverweis {beringte Räume}{}{.} Insbesondere ist das \definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Proj} { \left( R \right) }}{} ein \definitionsverweis {Schema}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Lemma 12.8, angewendet auf $R_f$, unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von $D_+(f)$ den homogenen Primidealen von $R_f$ entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die
\mathl{D_+(f)}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das projektive Spektrum überdecken.

}





\inputbeispiel{}
{

Das \definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{} zum standard-graduierten Polynomring
\mathl{R[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]}{,} also der projektive Raum, wird durch die
\mathl{D_+ { \left( X_i \right) }}{} überdeckt. Man spricht von der \stichwort {affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes} {.} Dabei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D_+(X_i), {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{R} } \right) } }
{ =} { { \left( R[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]_{X_i} \right) }_0 }
{ =} { R [ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , { \frac{ X_1 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_n }{ X_i } } ] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Polynomring in $n$ Variablen und daher ist \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Y_j }
{ = }{ { \frac{ X_j }{ X_i } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{j }
{ \neq }{i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D_+ { \left( X_i \right) } }
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( R[Y_0,Y_1, \ldots , Y_{i-1} , Y_{i+1} , \ldots , Y_n ] \right) } }
{ =} { { {\mathbb A}_{ R }^{ n } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der projektive $n$-dimensionale Raum wird also durch $n+1$ affine Räume überdeckt.


}





\inputfaktbeweis
{Graduierter Ring/Z/Homogener Ringhomomorphismus/Morphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {A} {und} {B} {} $\Z$-\definitionsverweis {graduierte Ringe}{}{} über einem kommutativen Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{A_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabb {\theta} { A} {B } {} ein \definitionsverweis {homogener Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabbeledisp {} {D_+( \theta(A_+)B) } { \operatorname{Proj} { \left( A \right) } } { {\mathfrak p} } { \theta^{-1}( {\mathfrak p} ) } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ist wieder ein Primideal und das Urbild eines homogenen Ideals ist wieder ein homogenes Ideal. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} }
{ \in} { D_+ ( \theta(A_+)B) }
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( B \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es ein homogenes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{A_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\theta(f) }
{ \notin }{ {\mathfrak p} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_+ }
{ \not \subseteq }{ \theta^{-1} ( {\mathfrak p} ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta^{-1} ( {\mathfrak p} ) }
{ \in }{ \operatorname{Proj} { \left( A \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gibt also eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { D_+ ( \theta(A_+)B) } { \operatorname{Proj} { \left( A \right) } } {.} Für ein homogenes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{A_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (D_+(f)) }
{ = }{D_+( \theta(f)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da dies auch für die Spektrumsabbildung gilt. Daher ist die Abbildung stetig. Nach Korollar 10.10 ist die Spektrumsabbildung in eindeutiger Weise ein Morphismus von Schemata. Auf jedem $D(f)$ ist dieser durch den Ringhomomorphismus \maabbdisp {\theta_f} {A_f} {B_{\theta(f)} } {} gegeben. Bei $f$ homogen ist dieser Ringhomomorphismus wieder homogen und induziert insbesondere einen Ringhomomorphismus \maabbdisp {{ \left( \theta_f \right) }_0} { { \left( A_f \right) }_0} { { \left( B_{\theta(f)} \right) }_0 } {} in der nullten Stufe. Da dies nach Lemma 12.9 die Schnittringe zu \mathkor {} {D_+(f)} {bzw.} {D_+(\theta(f))} {} sind, und da diese Ringhomomorphismen mit den Restriktionen verträglich sind, und da das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} D_+(\theta(f)) & \stackrel{ \varphi = \theta^{-1} }{\longrightarrow} & D_+(f) & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Spec} { \left( (B_{\theta(f)})_0 \right) } & \stackrel{ (\theta_f)_0^{-1} }{\longrightarrow} & \operatorname{Spec} { \left( (A_f)_0 \right) } & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert, handelt es sich um einen Morphismus lokal beringter Räume.

}





\inputbeispiel{}
{

Die Unterringbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ \subseteq} {K[X_0, X_1 , \ldots , X_n] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt im Sinne von Satz 12.11 zu einem \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{K} \supset D_+(X_1 , \ldots , X_n)} { {\mathbb P}^{n-1}_{K} } {.} Einem $K$-Punkt mit den homogenen Koordinaten
\mathl{(x_0,x_1 , \ldots , x_n)}{} wird der Punkt
\mathl{(x_1 , \ldots , x_n)}{} zugeordet, und diese Abbildung ist nur auf der angegebenen offenen Teilmenge definiert, es gibt keine sinnvolle Fortsetzung auf den Punkt
\mathl{(1,0 , \ldots , 0 )}{.} Man spricht von der \stichwort {Projektion weg von einem Punkt} {.} In den affinen Räumen \mathkor {} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n+1 } }} {bzw.} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} {} interpretiert bedeutet die Abbildung, dass eine jede Gerade auf eine Hyperebene projiziert wird. Für die Gerade, die \anfuehrung{senkrecht}{} auf der Hyperebene steht, ist dies nicht wohldefiniert, da die Projektion keine Gerade liefert.


}

Die folgende Definition werden wir insbesondere über einem Körper verwenden.




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} über einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ heißt \definitionswort {projektiv}{,} wenn es eine Faktorisierung
\mathdisp {X \stackrel{i}{\longrightarrow} {\mathbb P}^{n}_{R} \longrightarrow \operatorname{Spek} { \left( R \right) }} { }
gibt, bei der $i$ eine \definitionsverweis {abgeschlossene Einbettung}{}{} ist.

}





\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Projektives Schema/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Zu einem \definitionsverweis {standard-graduierten Ring}{}{} $A$}
\faktfolgerung {ist das \definitionsverweis {projektive Spektrum}{}{} $\operatorname{Proj} { \left( A \right) }$ ein \definitionsverweis {projektives Schema}{}{} über $\operatorname{Spec} { \left( A_0 \right) }$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A }
{ =} {A_0 [X_0,X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem \definitionsverweis {homogenen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ A_0 [X_0,X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zur Restklassenabbildung \maabbdisp {\theta} {A_0 [X_0,X_1 , \ldots , X_n] } { A } {} gehört nach Satz 12.11 der \definitionsverweis {Schemamorphismus}{}{} \maabbdisp {i} {\operatorname{Proj} { \left( A \right) }} { {\mathbb P}^{n}_{A_0} } {.} So wie die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Spek} { \left( A \right) } } { V( {\mathfrak a} ) \subseteq { {\mathbb A}_{ A_0 }^{ n+1 } } } { {\mathfrak p} } { \theta^{-1}({\mathfrak p}) } {,} eine Homöomorphie ist, ist auch die vorliegende projektive Variante eine Homöomorphie auf
\mathl{V_+( {\mathfrak a} )}{.} D.h. insbesondere, dass
\mathl{\operatorname{Proj} { \left( A \right) }}{} in natürlicher Weise einer abgeschlossenen Teilmenge des projektiven Raumes über $A_0$ entspricht. Wir müssen noch zeigen, dass der Garbenhomomorphismus \maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{n}_{A_0} } } { i_* {\mathcal O}_{ \operatorname{Proj} { \left( A \right) } } } {} surjektiv ist. Auf
\mathl{D_+(f)}{} zu einem homogenen Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{A_0[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dies aber die Abbildung \maabbdisp {} { { \left( A_0[X_0,X_1 , \ldots , X_n ]_{f} \right) }_0} { { \left( A_f \right) }_0 } {,} und diese ist surjektiv.

}


In der vorstehenden Aussage sind die Ringhomomorhismen nur auf den Mengen der Form
\mathl{D_+(f)}{} surjektiv, nicht auf allen offenen Mengen. Da diese aber eine Basis der Topologie bilden, liegt auch die Surjektivität in den Halmen vor. Daher handelt es sich einen surjektiven Garbenhomomorphismus.




\inputdefinition
{}
{

Zu einem \definitionsverweis {homogenen Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(F) }
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F) \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionswort {projektive Hyperfläche}{} zu $F$.

}




\inputdefinition
{}
{

Zu einer \definitionsverweis {projektiven Hyperfläche}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+(F) }
{ =} { \operatorname{Proj} { \left( K[X_0,X_1 , \ldots , X_n]/(F) \right) } }
{ \subset} { {\mathbb P}^{n}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu einem \definitionsverweis {homogenen Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man den \definitionsverweis {Grad}{}{} von $F$ auch den \definitionswort {Grad der Hyperfläche}{.}

}

Eine Hyperfläche vom Grad $1$ nennt man \stichwort {Hyperebene} {,} das sind projektiv-lineare Unterräume der Kodimension $1$.





\inputfaktbeweis
{Standard-graduierter Ring/Proj/Affine Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ K[X_0,X_1 , \ldots , X_d]/ { \left( f_1 , \ldots , f_s \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{} mit homogenen Erzeugern $f_j$ vom Grad $d_j$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( R_{X_i} \right) }_0 }
{ = }{ K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{d} }{ X_i } } ]/ { \left( { \frac{ f_1 }{ X_i^{d_1} } } , \ldots , { \frac{ f_s }{ X_i^{d_s} } } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {Dieser Restklassenring wird durch die \definitionsverweis {Dehomogenisierungen}{}{} der $f_\ell$ bezüglich der Variablen $X_i$ beschrieben.}
\faktzusatz {}

}
{

Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ R_{X_i} }
{ =} { K[ X_0 , \ldots , X_d ,X_i^{-1} ]/ { \left( f_1 , \ldots , f_s \right) } }
{ =} { K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{d} }{ X_i } }, X_i,X_i^{-1} ]/ { \left( { \frac{ f_1 }{ X_i^{d_1} } } , \ldots , { \frac{ f_s }{ X_i^{d_s} } } \right) } }
{ =} { { \left( K[ { \frac{ X_0 }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{i-1} }{ X_i } } , { \frac{ X_{i+1} }{ X_i } } , \ldots , { \frac{ X_{d} }{ X_i } } ]/ { \left( { \frac{ f_1 }{ X_i^{d_1} } } , \ldots , { \frac{ f_s }{ X_i^{d_s} } } \right) } \right) } [ X_i,X_i^{-1} ] }
{ } { }
} {} {}{.} In dieser letzten Beschreibung ist klar, was der Ring in Grad $0$ ist.

Wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_k }
{ = }{ { \frac{ X_k }{ X_i } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Y_i }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} schreibt, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ f_\ell }{ X_i^{d_\ell} } } }
{ =} { { \frac{ \sum_\nu a_\nu X^\nu }{ X_i^{d_\ell} } } }
{ =} { \sum_\nu a_\nu Y^\nu }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und dies ist die Dehomogenisierung von $f_\ell$ bezüglich der Variablen $X_i$.

}