Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {trivialen Zusammenhang}{}{}
auf dem trivialen Vektorbündel
\maabbdisp {} {\R^2 \times \R } { \R^2
} {}
über $\R^2$. Es seien die
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { y^3 \partial_1 + xy\partial_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ =} { { \left( x^2- y \right) } \partial_1 + 4x^3y^2\partial_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { x^3-xy^2+y^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne die folgenden Funktionen bzw. Vektorfelder.
\aufzaehlungsechs{
\mathl{\nabla_V f}{,}
}{
\mathl{\nabla_W f}{,}
}{
\mathl{[V,W]}{,}
}{
\mathl{\nabla_W \nabla_V f}{,}
}{
\mathl{\nabla_V \nabla_W f}{,}
}{
\mathl{\nabla_{[V,W]} (f)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten auf dem
\definitionsverweis {trivialen Vektorbündel}{}{}
\maabbdisp {p} {\R^2 \times \R} { \R^2
} {}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$ über $\R^2$ den
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{,}
der durch die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 (x,y)
}
{ = }{ x^5-x^2y^2+3y^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2 (x,y)
}
{ = }{ 7x^3 +xy^2-4y^5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Berechne den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R { \left( \partial_1, \partial_2 \right) }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf dem
\definitionsverweis {trivialen Vektorbündel}{}{}
\maabbdisp {p} {\R^2 \times \R} { \R^2
} {}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$ über $\R^2$ den
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{,}
der durch die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 (x,y)
}
{ = }{ 2x^3-xy^2+ \sinh { \left( xy^3 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2 (x,y)
}
{ = }{ x y^4 - \exp \left( x^3-y^4 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Berechne den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R { \left( \partial_1, \partial_2 \right) }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine eindimensionale $C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} und sei \maabb {} {E} {M } {} ein zweifach stetig \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} über $M$ mit einem \definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{} $\nabla$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabb {} {E} {M } {} ein \definitionsverweis {differenzierbares Vektorbündel}{}{} vom \definitionsverweis {Rang}{}{} $1$ über einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} $M$. Es sei $\nabla$ ein \definitionsverweis {linearer Zusammenhang}{}{} auf $E$, dessen \definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{} trivial sei. Zeige, dass $\nabla$ \definitionsverweis {lokal integrabel}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {trivialen Zusammenhang}{}{}
auf dem trivialen Vektorbündel
\maabbdisp {} {\R^2 \times \R } { \R^2
} {}
über $\R^2$. Es seien die
\definitionsverweis {Vektorfelder}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { 6xy^4 \partial_1 -3 y^2 e^{xy} \partial_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ =} { { \left( x+ y^3 \right) } \partial_1 + 2x^2y \partial_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { 5x^2-2 \cos \left( x^2y^3 \right) -3y^5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne die folgenden Funktionen bzw. Vektorfelder.
\aufzaehlungsechs{
\mathl{\nabla_V f}{,}
}{
\mathl{\nabla_W f}{,}
}{
\mathl{[V,W]}{,}
}{
\mathl{\nabla_W \nabla_V f}{,}
}{
\mathl{\nabla_V \nabla_W f}{,}
}{
\mathl{\nabla_{[V,W]} (f)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \R_+ \times \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten auf dem
\definitionsverweis {trivialen Vektorbündel}{}{}
\maabbdisp {p} {U \times \R} { U
} {}
vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$ über $U$ den
\definitionsverweis {linearen Zusammenhang}{}{,}
der durch die
\definitionsverweis {Christoffelsymbole}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1 (x,y)
}
{ = }{ \ln \left( xy \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_2 (x,y)
}
{ = }{ 5x^4 - \cos x^2y^2 + \ln \left( x+x^3 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Berechne den
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
$R { \left( \partial_1, \partial_2 \right) }$.
}
{} {}