Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 6
Bei den beiden folgenden Aufgaben soll mit den Peano-Axiomen der zweiten Stufe argumentiert werden.
Aufgabe *
Zeige ausgehend von den Dedekind-Peano-Axiomen, dass jedes Element , , einen Vorgänger besitzt.
Aufgabe
Man gebe Beispiele für Mengen mit einem ausgezeichneten Element und einer Abbildung an, die je zwei der Dedekind-Peano-Axiome erfüllen, aber nicht das dritte.
Aufgabe
Zeige, dass in der arithmetischen Sprache erster Stufe mit den Konstanten , dem Nachfolgersymbol und den zweistelligen Funktionssymbolen und nur abzählbar viele Teilmengen von „adressierbar“ sind und dass daher das zweitstufige Induktionsaxiom der Dedekind-Peano-Axiome nicht in dieser Sprache formulierbar ist.
Aufgabe
Zeige, dass man für jede Teilmenge die arithmetische Sprache erster Stufe um ein einstelliges Relationssymbol und die erststufigen Peano-Axiome um geeignete Axiome ergänzen kann, derart, dass diese neue Axiomatik in der Standardinterpretation genau dann gilt, wenn als interpretiert wird. Man folgere daraus, dass mit überabzählbar vielen Relationssymbolen alle Teilmengen der natürlichen Zahlen „adressierbar“ sind.
(Dies bedeutet aber nicht, dass für jede Struktur einer solchen Axiomatik jede Teilmenge adressierbar ist, noch, dass das zweitstufige Induktionsaxiom, das eine Aussage über alle Teilmengen macht, erststufig formulierbar ist).
Aufgabe *
Aufgabe
Es seien Ausdrücke und es seien Elemente aus . Zeige, dass
gilt.
Aufgabe
Zeige
Aufgabe
Begründe die folgende Ableitungsregel: Aus und folgt .
Aufgabe
Es seien Terme, ein -stelliges Funktionssymbol und ein -stelliges Relationssymbol. Zeige, dass die folgenden Aussagen im Prädikatenkalkül ableitbar sind.
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