- Übungsaufgaben
Es sei das
erststufige Symbolalphabet,
das aus den Variablen , den Konstanten , dem einstelligen Funktionssymbol , den zweistelligen Funktionssymbolen und dem zweistelligen Relationssymbol bestehe. Überprüfe, ob die folgenden Wörter zur Sprache
(bei korrekter Klammerung)
gehören.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Man formalisiere die folgenden Aussagen, indem man geeignete Prädikate erklärt. Man gebe die Negation der Aussagen
(umgangssprachlich und formal)
an.
- Alle Vögel sind schon da.
- Alle Wege führen nach Rom.
- Faulheit ist aller Laster Anfang.
- Alle Menschen werden Brüder, wo dein sanfter Flügel weilt.
- Wem der große Wurf gelungen, eines Freundes Freund zu sein, wer ein holdes Weib errungen, mische seinen Jubel ein![1]
- Freude trinken alle Wesen an den Brüsten der Natur.
- Alle Macht geht vom Volk aus.
- Alle Achtung.
- Alle Neune.
In der folgenden Aufgabe geht es nicht um die Wahrheit der Aussagen, sondern nur um die quantorenlogische Formulierung. Man darf und soll sich natürlich trotzdem Gedanken über die Gültigkeit machen.
Formuliere die folgenden Aussagen über die natürlichen Zahlen allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.
- .
- .
- .
- ist eine Primzahl.
- ist eine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- Jede natürliche Zahl besitzt mindestens einen Primfaktor.
- Jede natürliche Zahl größer gleich besitzt mindestens einen Primfaktor.
- Wenn eine Primzahl ein Produkt teilt, so teilt sie auch mindestens einen der Faktoren.
- Es gibt Zahlen, die ein Produkt teilen, obwohl sie keinen der Faktoren teilen.
Formuliere die folgenden Beziehungen
(ein- oder mehrstellige Prädikate)
innerhalb der natürlichen Zahlen allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren.
- .
- .
- teilt .
- teilt nicht .
- ist eine Quadratzahl.
- ist eine Primzahl.
- ist keine Primzahl.
- ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen.
- wird von einer Primzahl geteilt.
Man mache sich den Unterschied zwischen den
Aussagenvariablen
in der Sprache der Aussagenlogik und den Variablen in der Sprache der Prädikatenlogik klar.
Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden wahren Aussagen.
- Es gibt unendlich viele Primzahlen.
- Jede natürliche Zahl wird von einer Primzahl geteilt.
Wie sieht es mit der Aussage aus, dass jede natürliche Zahl eine Primfaktorzerlegung besitzt?
Erstelle einen prädikatenlogischen Ausdruck , der in einer Struktur genau dann gilt, wenn die Grundmenge der Struktur genau Elemente besitzt.
Es sei das arithmetische Alphabet zusammen mit der Variablenmenge gegeben. Interpretiere den Term
-
unter den folgenden Interpretationen.
- mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung und .
- mit der Standardinterpretation
-
und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung und .
- , mit
-
und wo als Multiplikation und als Addition interpretiert wird.
- , mit
-
und wo sowohl als auch als Subtraktion interpretiert werden.
-
Potenzmenge von mit
-
und wo als und als interpretiert wird.
Es sei ein einstelliges Funktionssymbol, ein zweistelliges Funktionssymbol, sei eine Konstante und seien Variablen. Interpretiere den Term
-
unter den folgenden Interpretationen, wobei die Grundmenge der Interpretation bezeichne.
- ,
ist die Nachfolgerfunktion, die Addition,
,
und
.
- ,
ist das Quadrieren, die Multiplikation,
,
und
.
- ,
ist das Differenzieren von Funktionen, die Multiplikation von Funktionen, ist die Identität, ist die Sinusfunktion und ist die Exponentialfunktion zur Basis .
Es sei das arithmetische Alphabet zusammen mit der Variablenmenge gegeben. Interpretiere den Ausdruck
-
unter den in
Aufgabe 7.10
angeführten Interpretationen und überprüfe die Gültigkeit.
Es sei die
prädikatenlogische Sprache,
die neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol und einem dreistelligen Relationssymbol bestehe. Wir betrachten
-
Interpretationen
, wobei die Grundmenge jeweils aus einem
Vektorraum über einem
Körper
bestehe und als die
lineare Unabhängigkeit
von zwei und als die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren interpretiert werde.
- Zeige
-
- Gilt
-
für einen beliebigen Vektorraum?
- Gibt es Vektorräume, für die die Aussage in Teil 2 gilt?
- Es sei und sei die Standardbasis. Gilt
-
- Es sei als -Vektorraum betrachtet. Gilt
-
Es sei
-
die durch
-
gegebene
bijektive Abbildung
mit der
Umkehrabbildung
. Auf seien die zweistelligen Funktionen
und
durch
-
und
-
gegeben, wobei
und
die üblichen Verknüpfungen auf seien. Die Menge zusammen mit diesen Verknüpfungen nennen wir .
a) Berechne in
-
b) Es sei das Symbolalphabet, das aus den Variablen , einer Konstanten und zwei zweistelligen Funktionssymbolen bestehe. Es sei die Interpretation von in , die als , als , als und die Variablen als interpretiere. Berechne
für den Term
-
c) Gilt bei der Interpretation der Ausdruck
-
- Aufgaben zum Abgeben
Es sei das
erststufige Symbolalphabet,
das aus den Variablen , den Konstanten , den einstelligen Funktionssymbolen , den zweistelligen Funktionssymbolen , den einstelligen Relationssymbolen und dem zweistelligen Relationssymbol bestehe. Überprüfe, ob die folgenden Wörter zur Sprache
(bei korrekter Klammerung)
gehören.
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
Es genügt, die korrekten Ausdrücke aufzuschreiben; Punkte gibt es nur bei einer komplett richtigen Lösung.
Schreibe die folgenden Aussagen mit Quantoren:
- Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.
- Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere natürliche Zahl.
- Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.
- Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.
Welche sind wahr, welche falsch?
Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden zahlentheoretischen Vermutungen.
- Die Goldbach-Vermutung.
- Die Vermutung über die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge.
- Die Vermutung über die Unendlichkeit der Mersenne-Primzahlen.
Man beachte bei (3), dass das Potenzieren mit einem unbekannten Exponenten nicht zur arithmetischen Sprache gehört.
Es sei das arithmetische Alphabet zusammen mit der Variablenmenge gegeben. Interpretiere den Term
-
unter den folgenden Interpretationen.
- mit der Standardinterpretation und der Variablenbelegung und .
- mit der Standardinterpretation
-
und der üblichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation und der Variablenbelegung und .
- , mit
-
und wo sowohl als auch als Subtraktion interpretiert werden.
-
Potenzmenge
von mit
-
und wo als und als interpretiert wird.
- Fußnoten
- ↑ Dieser Satz ist im Konjunktiv formuliert, was eher auf eine Aufforderung hindeutet als auf eine Aussage. Man kann hier „soll mischen“ als Prädikat nehmen und damit arbeiten.