Kurs:Elementare Algebra/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	4	4	2	4	2	7	3	2	4	4	3	5	4	6	1	3	7	65

Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Einheit ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Eine ${}n$-te Einheitswurzel ${}z$ in einem Körper ${}K$ ($n\in \mathbb {N} _{+}$).
4. Die Charakteristik eines Körpers ${}K$.
5. Eine algebraische Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
6. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
7. Eine aus einer Teilmenge ${}T\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ elementar konstruierbare Gerade ${}G$.
8. Ein konstruierbares ${}n$-Eck ($n\in \mathbb {N} _{+}$).

Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes ${}g\in G$ in einer endlichen Gruppe ${}G$.
2. Das Lemma von Bezout für zwei Elemente ${}a,b$ in einem Hauptidealbereich.
3. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$.
4. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

1. ${}n$ ist negativ.
2. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}8$, aber nicht von ${}-16$.
3. ${}n$ ist kein Vielfaches von ${}36$.
4. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}150$, aber nicht von ${}125$.
5. In der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gibt es keine Primzahl, die größer als ${}5$ ist.

Was ist ${}n$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Einheiten im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} ]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien ${}k$ und ${}n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}k$ teilt ${}n$.
2. Es ist ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k$.
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).$

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}11$ und ${}13$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(11)\times \mathbb {Z} /(13)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=5\!\!\mod 11{\text{ und }}x=6\!\!\mod 13.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$:

${}{\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl ${}n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$

in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}X^{6}-1$ über den Körpern ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(7)$ und ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Zeige, dass durch

${}K=\mathbb {Z} /(7)[T]/(T^{3}-2)\,$

ein Körper mit ${}343$ Elementen gegeben ist.

b) Berechne in ${}K$ das Produkt ${}(T^{2}+2T+4)(2T^{2}+5)$.

c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu ${}T+1$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(-5,5)$, der durch den Punkt ${}(-4,-1)$ läuft.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Aus einer Menge ${}T\subseteq E$ seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge ${}M$ der Punkte, die aus der Anfangsmenge ${}\{0,1\}$ auf diese Weise konstruierbar ist.