Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 23/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.
Aufgabe Aufgabe 23.4 ändern
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Polynom. Zeige: besitzt genau dann eine Nullstelle in , wenn es einen - Algebrahomomorphismus gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige: ist genau dann algebraisch über , wenn ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Körpererweiterung und ein Zwischenkörper. Es sei algebraisch über . Zeige, dass dann auch algebraisch über ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen keine endliche Körpererweiterung von ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
a) Man gebe eine Gerade in der Ebene an, die keine algebraische Zahl enthält.
b) Man gebe einen Kreis in der Ebene an, der keine algebraische Zahl enthält.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei der rationale Funktionenkörper über . Zeige, dass es zu jedem einen Ringhomomorphismus derart gibt, dass eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.
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