Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit Elementen
\mathl{x,y,z,w\in R}{,} wobei $z$ und $w$
\definitionsverweis {Einheiten}{}{} seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
\aufzaehlungacht{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ 1 } }
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ x } }
}
{ =} { x^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ -1 } }
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 0 }{ z } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ z }{ z } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } }
}
{ =} { { \frac{ xw }{ zw } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } \cdot { \frac{ y }{ w } }
}
{ =} { { \frac{ xy }{ zw } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } }
}
{ =} { { \frac{ xw+yz }{ zw } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-z) \cdot (y-w)
}
{ =} { (x+w)(y+z)-(z+w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
Zeige, dass die \anfuehrung{beliebte Formel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ z } } + { \frac{ y }{ w } }
}
{ =} {{ \frac{ x+y }{ z+w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gilt, außer im Nullring.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
das \anfuehrung{umgekehrte Distributivgesetz}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a+(bc)
}
{ =} { (a+b) \cdot (a+c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( { \left( f+g \right) }^2 - { \left( f-g \right) }^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ die folgenden Eigenschaften.
(1) Für jedes
\mathl{a \in K}{} ist die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha_a} {K} {K
} {x} {x+a
} {,}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
(2) Für jedes
\mathbed {b \in K} {}
{b \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ist die Abbildung
\maabbeledisp {\mu_b} {K} {K
} {x} {bx
} {,}
bijektiv.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die einelementige Menge $\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass $0=1$ ist.
}
{} {}
Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {inversen Elemente}{}{} der folgenden \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungdrei{$3$. }{$5 { \mathrm i}$. }{$3+5 { \mathrm i}$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {komponentenweisen}{}{}
Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die folgenden Teilmengen.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \geq -3 \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 2 \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 5 \right\} }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }
b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 3+4 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die folgenden Aussagen zu
\definitionsverweis {Real}{}{-}
und
\definitionsverweis {Imaginärteil}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) }
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } +
\operatorname{Re} \, { \left( w \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) }
}
{ = }{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass innerhalb der
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
folgende Rechenregeln gelten.
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ = }{ \frac{z+ \overline{ z } }{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }
}
{ = }{ \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z }
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z^{-1}
}
{ = }{ { \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Regeln für den
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
von
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.}
\aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ =} { \betrag { \overline{ z } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw }
}
{ =} { \betrag { z } \betrag { w }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { 1/z }
}
{ = }{ 1/ \betrag { z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag {
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
}
{ \leq} { \betrag { z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
von
\mathl{\Z/(8)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{f \in R}{} ein
\definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.}
Zeige, dass $1+f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne die
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 1,2,3,4,5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(4- { \mathrm i}) z
}
{ =} {(6+5 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
die folgenden Rechenregeln gelten.
\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z+w }
}
{ = }{ \overline{ z } + \overline{ w }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ -z }
}
{ = }{ - \overline{ z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z \cdot w }
}
{ = }{ \overline{ z } \cdot \overline{ w }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 1/z }
}
{ = }{ 1/\overline{ z }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \overline{ z } }
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z }
}
{ = }{ z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
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